沪教版初中数学知识点汇总.pdf

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1、整式 第一节整式的概念 9.1.2.3、字母表示数 代数式 ：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。 代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。 2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。 3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。 4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。 5、代数式不能含有“=、 、”符号。 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。 注意： 1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加。 2、若

2、带入的值是负数时，应添上括号。 3、注意解题格式规范，应写“当 时，原式 = ”. 4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。 9.4 整式 1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母 也是单项式。 2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项 式的次数。 4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 6、整式：单项式和多项式统称为整式。 9.5 合并同类项 1、同类项：所含字母相同，并

3、且相同字母的指数也相同的项叫做 同类项。 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。 3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后 的系数，字母和字母的指数不变。 第二节 9.6 整式的加减： 去括号法则： （1）括号前面是“ 号，去掉 “ “ 号和括号，括号里各项的不变号； （2）括号前面是“ 号，去掉 “ “ 号和括号，括号里的各项都变号。 添括号法则 （1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号。 第三节整式的乘法9.7 同底数幂的乘法

4、、9.8 幂的乘方、 9.9 积的乘方： 同底数幂的乘法 a m a n=am+n (m、n 都是正整数 )。 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 幂的乘方与积的乘方 （a m ） n=amn (m、n 都是正整数 ) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （ab） n=anbn (n 都是正整数 ) 积的乘方等于各因式乘方的积。 同底数幂的除法 a m a n=am-n(a 0,mn 都是正整数，且 m n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 a 0=1（a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 1。 a -p= (a0,p 是正整数 ) 任何一个不等零的数 的-p(p 是正整数 )指数幂，等

5、这个数的p 指数幂的倒数。 9.10 整式的乘法： 单项式与单项式相乘： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数 作为积的一个因式。 单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。 多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加， 即（） （）。 第四节、乘法公式 9.11 平方差公式 内容： （） （） 22 意义： 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数

6、的平方差。 特征： . 左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互 为相反数； . 右边是乘式中两项的平方差； . 公式中的和可以使有理数，也可以是单项式或多项式。 几何意义： 平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等 的表达式。 拓展： . 立方和公式：（）（2 2） 33； . 立方差公式：（）（2 2） 33。 （）（ 2 2）- 。 9.12 完全平方公式： 内容： （） 222； （） 222。 意义： 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的倍。 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的倍。 特征： . 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中

7、有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另 1 a p 一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简记为“首平方，尾平方，积的倍在中央。” . 公式中的、可以是单项式，也可以是多项式。 推广： . （） 2222c； . （） 333 2 2； . （） 333 2 2。 第五节因式分解 因式分解的意义： 把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式， 即多项式化为几个整式的积。 注意：因式分解的要求： . 结果一定是积的形式，分解的对象是多项式； . 每个因式必须是整式； . 各因式要分解到不能分解为止。 因式分解与整式乘法的关系： 是两种不同的变形过

8、程，即互逆关系。 9.13 提取公因式法： 提公因式法分解因式： （），这个变形就是提公因式法分解因式。 这里的可以代表单项式，也可以代表多项式，称为公因式。 确定公因式方法： 系数：取多项式各项系数的最大公约数。 字母（或多项式因式） ：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。 9.14 公式法 利用公式法分解因式： . 平方差公式： 22（） （）。 . 完全平方公式： 22（） 2； 22（） 2。 . 立方和与立方差公式：33（）（2 2）； 33（） （2 2）。 注意：（）公式中的字母、可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 （）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是

9、二项式 应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可 考虑用完全平方公式。 9.15. 十字相乘法 ：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解 因式的方法叫做十字相乘法。 2（）（）（）。 9.16 分组分解法： . 将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。 . 适用范围：适合四项以上的多项式的分解。 分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。 其他方法： . 求根公式法：若 2+ （）的两根是 、， 2+=（- ） （-） 。 因式分解的一般步骤及注意问题： 对多项式各项有公因式时，应先提供因式。 多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平

10、方差 公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的 因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。 分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。 第六节整式除法： 9.17 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于零的数的零次幂为1，既： 9.18 单项式除以单项式： 单项式与单项式相除的法则： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指 数作为商的一个因式。 注意：两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。 只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 9.19 多项式与单项式相除

11、： 多项式与单项式相除的法则： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加， 即（+ + +） =+ +。 注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。 整式的混合运算： 关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括 号里的。 内容整理 多项式的乘法 单项式的除法 幂 的 运 算 a man=am+n (a m)n=amn (ab) n=anbn a man=am-n 单项式的乘法 乘法公式 因 式 分 解 提公因式法 公 式 法 多项式除以单项式 第十章分式

12、 10.1、 （1） 、分式的意义 两个整式A/B 相除，即AB 时，可以表示为A/B. 如果 B 中含有字母，那么A/B 叫做分式。 A 叫做分式的分 子， B 叫做分式的分母。 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。 10.2（ 2） 、分式的基本性质整式 整式和分式统称为有理式：即有理式 分式 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0 的整式， 分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=AC/B C （A,B,C 为整式，且B、C0 ） 约分 :把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式 的约分 分式的约分步骤： (1)如果分式的分子和分母都是或者

13、是几个乘积的形式,将它们的 公因式约去 (2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别,再将公因式约去. 注:公因式的提取方法:取分子和分母系数的,字母取分子和分 母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式 .约分 时，一般将一个分式化为最简分式。 通分 ：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式, 叫做分式的通分。 分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母 所扩大的倍数 ,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字

14、母的及单独字母的幂的乘积。 注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质。 (2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。 10.3 、分式的运算： 分式的乘法法则:两个分式相乘 ,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 分式的除法法则: .两个分式相除 ,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 ：a/b c/d=ad/bc . 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b c/d=a/b*d/c异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各 分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 10.4 分式的加减 同分

15、母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变 ,把分子相加减 .用字母表示为：a/c b/c=a b/c 异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分 ,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计 算.用字母表示为： a/b c/d=ad cb/bd 10.5 分式方程： 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的解法: . 去分母 (方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方 程); . 按解整式方程的步骤求出未知数的值; . 验根 (求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产 生增根 ). 10.

16、6 整数指数幂及其运算 内容整理 第十一章图形的运动 1、平移定义和规律 （1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移（Translation ）。 平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。 关键： a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。 b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。 （2）平移的规律(性质 )：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。 （3）简单的平移作图： 平移作图要注意：方向；距离。整个平移作图，就是把整个图案的

17、每一个特征点按一定方向和一定的距离 平行移动。 2、旋转的定义和规律 （1）旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转 （Circumrotate ）。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。 关键： a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。 b. 图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。 （2）旋转的规律(性质 )： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线 所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对

18、应角相等。) 分 式 分式的性质 分式运算 分式方程 约分 通分 乘除法 加减法 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。 （3）简单的旋转作图： 旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按 一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。 3、图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。 4、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形， 这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角 满足 0

19、 360 ） 5、中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180 后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 这个点叫做对称中心。 6、把一个图形绕着一个定点旋转180 后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个 图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 7、轴对称知识回顾 （1）轴对称图形定义：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴 对称图形（ Axially Symmetric Figure）。折痕所在的直线叫做对称轴。 （2）两个图形关于这条直线成轴对称：如果把一个图形沿某一

20、条直线翻，能与另一个图形重合，那么叫做这两个 图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。 （3）注意： 轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。 成轴对称的两个图形，必定是全等图形。 （4）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。 （3）简单的轴对称作图： 求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。后依次 连结各特征点即可。 图形的平移 旋转对称图形中心对称图形 图形的运动图形的旋转 中心对称 轴对称图形 图形的翻折 轴对称 轴对称和轴对称图形之间的区别与联系： 轴 对 称轴对称图形 区 别 指两个图形而言； 指两个图形的一种形状与位置 对一个图形而言； 指一个图形的特殊形状。