1、精成教育学科教师辅导讲义学员姓名：年级：八年级辅导科目：数学学科教师：沈余良课题代数方程一无理方程概念及其运算.授课时间：2015.3.14.备课时间：教学目标1 .了解无理方程的概念.2 .知道无理方程、有理方程、代数方程三者的关系.3 .掌握无理方程的解题步骤和解题方法.重点、难点无理方程的解题方法.（用换元法解题）解无理方程时可能产生增根，因此必须验根.考点及考试要求解简单的无理方程并知道增根.教学内容教学过程：一、知识回忆：1、无理方程的定义。2、有理方程是（）和（）的统称。3、解无理方程的根本思想是什么？其解法有哪几种？4、解无理方程需注意什么？二引入新课：判断以下方程是否有实数解.
2、1JX+1+2=022x+i+x-3=0JX-I=Jx+2-Jx2+1=05x-+71-2x=26-x-22-x=4小结：上述各题都可以利用算术平方根的非负性质和二次根式的被开方数必须大于或等于零。三、例题讲解：例1、解方程J3x+1+Jx+1=2分析：方程的左边含有两个二次根式，需先移项，再平方解：略。让学生做例2、解方程1以19=0VX-Ix+13分析：此方程既是无理方程又具有分式方程的特征，分析其方程的特点，它的分母互为有理化因式，因而可先通分到达分母有理化的目的，使方程简化再求解；另外再分析方程中两个含未知数的项，它们恰好互为倒数，因而也可用换元法来解。解法一:=O+)2TG-)(Vx
3、l)(Vx+1)X-I33x=2(-1)两边平方：9x=4(X124x2-17x+4=0.X1=,Xz=44经检脸：Xl=L是原方程的增根4X2=4是原方程的根。i11Q解法二：设y=十一那么原方程变为：V-=0Gly3整理得：3/-8y-3=O解得:y1=-,y2=3当y:一!时，S+1_，整理得五二-/此方程无解。37-l32当y2=3时，+1=3,整理得五=2,x=4,x-l经检验：x=4是原方程的解。例3、解方程62+9x4J2l+3x-5-15=0分析：观察此方程的特点，根号内外所含未知数的对应项系数成比例，可用换元法较为简单。解：原方程变形为：3(x2+3x-5)-42+3x-5-
4、15=0令,2x2+3x-5=X那么原方程化为：3y2-4y-15=0解得：y=-,y2=33由y=-9得j22+3x-5=-*,Y算术平方根不能为负，33此方程无解。由丫2=3得，2x2+3x-5=3两边平方整理得：22+3-14=07经检脸：x1=,X2=2都是方程的根。2由于换元法是解无理方程中的一种非常重要的思想方法，它必须根据方程不同的特点采用不同的换元方法。课堂练习：(1)X2+3-y2x2+6x+1=1四、归纳总结1、解无理方程的方法有两种：两边同时方和换元法。2、无论用什么方法解无理方程都必须验根。有理化I3、我们解无理方程的根本思想是通过采用“转化”的思想，将无理方程转化为有
5、理方程，即：无理方程-有理方程。由于在这个“有理化”的过程中，扩大了原方程未知数的取值范围，有理方程的根可能不适合原方程，因此解无理方程与解分式方程一样必须验根，将不适合原方程的增根舍去。无理方程的常用解法有：(注：下面所用大写字母表示含未知数的整式或分式，小写字母表示常数)1、JA=8或JZ=B型：根式性质法。此法适用于不解方程判断方程根的情况。例1不解方程，判断以下方程是否有根：(DJX+1=T；(2)Jx2+3x+2+4=0;Jx+2=4-；x-2=l-xo分析：(1)、小题均可视为4=力型的无理方程，其中b均为负数，根据二次根式的非负性，这两个方程都无实数根；小题中X应同时满足：x+2
6、20且4-x20,即2WxW4,方程可能有解(用平方法，解为x=2)；小题中X应同时满足：x220且Lx2O,不等式组无解，故原方程也无解。2、4=8或JZJA=c型：平方法。此法通过“平方”将方程中的根号化去。例2解方程：(i)?z5=x-l.y2x4y/x+51略解：方程可用一次平方法解得x=3；方程用两次平方法化为x224x+80=0,解得l=4,x2=20,检验可知：x=4是增根，舍去，原方程的根为x=20说明：对于方程这种类型的无理方程，般要先移项，使得左边只有一个根式，这样求解起来较简捷。1.4A=b3、4+7A+c=或VA型：换元法。通过换元，原方程可化为较为简单的一元二次方程求
7、解。例3解方程：(l)2+15x+2x2+5x+l=2.lx+2Ix-I_5仁T+7=50破题：根据方程的特点，可设y=Jf+5x+l,那么原方程可化为3y2+2y-5=0;Jy-=-根据方程的特点，可设y=x-l,那么原方程可化为y24、+PA=0)或X+=14+8（三）等特殊型：特殊法。对于(I)有A=0；对于(II)有A=O或B=0。例4y=2x-l+l-2x+2求2-5xy+y2的值。_1_3略解:由条件可知x=2,y=2,原式=(x-y)2-3xy=4。例5解方程：ya-x+4h=Ja-bg2b)分析:；(a-x)+(x-b)=ab,由(II)可得ax=O或xb=O,x=a或x=b,
8、经检验x=a,x=b是原方程的根。注：此题假设对a、b无限制，那么应进行讨论。思考与练习:解以下方程IXyJx2.=4,2J2t+1JX+22/5.x2+3-2x2-3x+2=-(x + 1)3.2lx+2x-3_J24.Vx3-Vx+2V本节根底训练题。双基训练无理方程(一)一、填空：在以下方程后的括号内，填入方程的根，或“无实数根”.7-2=o()；7+2=o()JX2-16=3()：正+16=3()(g)3x+5+l=0()；JX+4x-4=0()1、解方程：x+7-x=l解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：检验：把代入原方程，左边右边，所以；把代入原方程，左边右边，所以.
9、所以，原方程的解是.2、解方程：x+4x-4=33、解方程：x2=x4、解方程：x+2=45、解方程：Tj2x+6-x=3双基训练无理方程(二)双基训练无理方程(二)一、选择题1、以下方程中，有实数根的方程是(A) x2 + l=0;(B) :2+- = 0;22、以下正确的选项是()(A)方程A = J2x + 3的根是一1利3；(C)方程J，斤=7-X的根是X = I0；二、解方程1、解方程：x2+x-l-l=0(C) x + = 2；(D) Vx-I + Vl-X = 2.(B)方程 Jd-2x+1 -4 = O 的根是 x=5；(D)方程+3 = -y的根是y = -1.2、解方程：J
10、X2 +无一1 =G3、解方程：3x-2+x+3=3解：移项得：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：,解得：.检验：把代入原方程，左边右边，所以.把代入原方程，左边右边，所以.所以，原方程的解是.2、解方程：2x-4-x+5=l3、解方程：x3-x=l双基训练无理方程(三)一、填空题1、解方程3x2+15x+2x2+5x+1=2解：设Jx2+5x+l=y,那么f+5+l=y2=3f+i5x=原方程可化为：,整理得：:解得：yi=或y2-.(1)当1=时，x2+5x+l=；/.(2)当=时，x2+5x+1=；.经检验：是原方程的解.所以，原方程的解是.2、解方程2一8%+J2-8工=6时,设y=4_8X换元后，整理得关于y的整式方程是3、解方程=4时，设二y换元后，整理得关于y的整式方程是.,居+照V2、2-5-3x-16x+5
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