第四章向量组的线性相关性.pdf

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1、1 第四章向量组的线性相关性 1设 TTT vvv)0,4,3(,)1, 1,0(,)0, 1,1( 321 , 求 21 vv及 321 23vvv. 解 21 vv TT ) 1, 1, 0()0,1, 1( T )10, 11, 01( T )1,0,1( 321 23vvv TTT )0,4,3()1,1,0(2)0, 1, 1(3 T )01203,41213,30213( T )2, 1, 0( 2设)( 5)(2)(3 321 aaaaaa其中 T a)3, 1 , 5,2( 1 , T a)10, 5, 1 ,10( 2 , T a)1 , 1, 1 , 4( 3 ,求a 解由

2、)(5)(2)(3 321 aaaaaa整理得 )523( 6 1 321 aaaa)1 ,1,1 ,4(5)10,5, 1,10(2)3, 1,5,2(3 6 1 TTT T )4, 3,2, 1( 3举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 maaa,21 是线性相关的 ,则 1a 可由, 2maa 线性表示 . (2)若有不全为 0 的数 m , 21 使 0 1111mmmm bbaa 成立,则 m aa, 1 线性相关 , m bb, 1 亦线性相关 . (3)若只有当 m , 21 全为 0 时,等式 0 1111mmmm bbaa 才能成立 ,则 m aa, 1 线性无关 ,

3、 m bb, 1 亦线性无关 . (4)若 m aa, 1 线性相关 , m bb, 1 亦线性相关 ,则有不全为 0 的数, m , 21 使0,0 1111mmmmbbaa 同时成立 . 解(1) 设)0 ,0, 0, 1( 11 ea 0 32m aaa 满足 m aaa, 21 线性相关 ,但 1 a不能由, 2m aa线性表示 . (2) 有不全为零的数 m , 21 使 0 1111mmmm bbaa 原式可化为 2 0)()( 111mmm baba 取 mmmbeabeabea,222111 其中 m ee, 1 为单位向量 ,则上式成立 ,而 m aa, 1 , m bb,

4、1 均线性相关 (3) 由0 1111mmmm bbaa(仅当0 1m ) mm bababa, 2211 线性无关 取0 21m aaa 取 mbb,1 为线性无关组 满足以上条件 ,但不能说是 m aaa, 21 线性无关的 . (4) T a)0 , 1( 1 T a)0, 2( 2 T b)3,0( 1 T b)4 ,0( 2 212211 212211 4 3 0 20 bb aa 0 21 与题设矛盾 . 4设 144433322211 ,aabaabaabaab,证明向量组 4321 ,bbbb线性相关 . 证明设有 4321 ,xxxx使得 0 44332211 bxbxbxb

5、x则 0)()()()( 144433322211 aaxaaxaaxaax 0)()()()( 443332221141 axxaxxaxxaxx (1) 若 4321 ,aaaa线性相关 ,则存在不全为零的数 4321 ,kkkk, 411 xxk; 212 xxk; 323 xxk; 434 xxk; 由 4321 ,kkkk不全为零 ,知 4321 ,xxxx不全为零 ,即 4321 ,bbbb线性相 关. (2) 若 4321 ,aaaa线性无关 ,则 0 0 0 0 43 32 21 41 xx xx xx xx 0 1100 0110 0011 1001 4 3 2 1 x x

6、x x 由0 1100 0110 0011 1001 知此齐次方程存在非零解 则 4321 ,bbbb线性相关 . 综合得证 . 3 5设 rr aaabaabab 2121211 ,且向量组 r aaa, 21 线性无关 ,证明向量组 r bbb, 21 线性无关 . 证明设0 2211rrb kbkbk则 prprr akkakkakk)()()( 2211 0 rra k 因向量组 r aaa, 21 线性无关 ,故 0 0 0 2 21 r r r k kk kkk 0 0 0 100 110 11 2 1 r k k k 因为01 100 110 11 故方程组只有零解 则0 21r

7、 kkk所以 r bbb, 21 线性无关 6利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) 48203225 134549475 132539475 43173125 ; (2) 14011 31302 15120 12211 . 解(1) 48203225 134549475 132539475 43173125 14 13 12 3 3 rr rr rr 5310 5310 3210 43173125 23 34 rr rr 0000 3100 3210 43173125 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 . 4 (2) 14011 31302 15120 1221

8、1 14 13 2 rr rr 22200 15120 15120 12211 43 23 rr rr 00000 22200 15120 12211 ， 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 7求下列向量组的秩 ,并求一个最大无关组 : (1) 4 1 2 1 1 a, 4 10 100 9 2 a, 8 2 4 2 3 a; (2)3, 1 , 2, 1( 1 T a,)6,5, 1, 4( 2 T a,)7, 4,3, 1( 3 T a. 解(1) 3131 ,2aaaa线性相关 . 由 8242 4101009 4121 3 2 1 T T T a a a 0000 3219820

9、 4121 秩为 2,一组最大线性无关组为 21,a a. (2) 7431 6514 3121 3 2 1 T T T a a a 10550 18990 3121 0000 18990 3121 秩为 2,最大线性无关组为 TT aa 21 ,. 8 设 n aaa, 21 是一组n维向量 ,已知n维单位坐标向量 n eee, 21 能 由它们线性表示 ,证明 n aaa, 21 线性无关 . 证明n维单位向量 n eee, 21 线性无关 5 不妨设 : nnnnnn nn nn akakake akakake akakake 2211 22221212 12121111 所以 T n

10、T T nnnn n n T n T T a a a kkk kkk kkk e e e 2 1 21 22221 11211 2 1 两边取行列式，得 T n T T nnnn n n T n T T a a a kkk kkk kkk e e e 2 1 21 22221 11211 2 1 由00 2 1 2 1 T n T T T n T T a a a e e e 即n维向量组 n aaa, 21 所构成矩阵的秩为n 故 n aaa, 21 线性无关 . 9设 n aaa, 21 是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n维向量都可由它们线性表示. 证明设 n , 2

11、1 为一组n维单位向量，对于任意n维向量 T n kkka),( 21 则有 nnk kka 2211 即任一n维向量都 可由单位向量线性表示 . 必要性 naaa,21线性无关，且naaa,21能由单位向量线性表示， 即 nnnnnn nn nn kkk kkk kkk 2211 22221212 12121111 故 n T T T nnnn n n T n T T kkk kkk kkk a a a 2 1 21 22221 11211 2 1 两边取行列式，得 6 T n T T nnnn n n T n T T kkk kkk kkk a a a 2 1 21 22221 11211

12、 2 1 由00 21 22221 11211 2 1 nnnn n n T n T T kkk kkk kkk a a a 令 nnnn n n nn kkk kkk kkk A 21 22221 11211 则 由 T n T T T n T T T n T T T n T T a a a AA a a a 2 1 2 1 12 1 2 1 即 n , 21 都能由 n aaa, 21 线性表示，因为任一n维向量能由单 位向量线性表示，故任一n维向量都可以由 n aaa, 21 线性表示 . 充分性 已知任一n维向量都可由 n aaa, 21 线性表示，则单位向量组： n , 21 可由

13、n aaa, 21 线性表示，由 8题知 n aaa, 21 线性无关 . 10设向量组A: s aaa, 21 的秩为 1 r,向量组B: t bbb, 21 的秩 2 r 向量组 C : rs bbbaaa, 2121 的秩 3 r,证明 21321,maxrrrrr 证明设CBA,的最大线性无关组分别为CBA,含有的向量个数 (秩)分别为 221 ,rrr,则CBA,分别与CBA,等价,易知BA,均可由 C 线性表示 ,则秩(C )秩(A),秩(C )秩(B )，即 321 ,maxrrr 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组D,则BA,均可由D线性表 示, 即C 可由D线性表示 ,从

14、而 C 可由D线性表示，所以秩 (C )秩(D), D为 21 rr阶矩阵，所以秩 (D) 21 rr即 213 rrr. 11.证明BRARBAR. 7 证明:设 T n aaaA),( 21 T n bbbB),( 21 且BA,行向量组的最大无关组分别为 T r TT , 21 T s TT , 21 显然,存在矩阵BA ,使得 T s T T T n T T A a a a 2 1 2 1 , T s T T T n T T B b b b 2 1 2 1 T n T n TT TT ba ba ba BA 22 11 T s T T T s T T BA 2 1 2 1 因此BRAR

15、BAR 12设向量组:B r bb, 1 能由向量组:A s aa, 1 线性表示为 Kaabb sr ),(),( 11 ， 其中K为rs矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩rKR)(. 证明若 B组线性无关 令),(),( 11sr aaAbbB则有AKB 由定理知)()(),(min)()(KRKRARAKRBR 由 B组: r bbb, 21 线性无关知rBR)(，故rKR)(. 又知 K 为sr阶矩阵则,min)(srKR 由于向量组B : rbbb,21 能由向量组 A : saaa,21 线性表示 ,则 sr rsr,min 综上所述知rKRr)(

16、即rKR)( 若rkR)( 令0 2211rrbxbxbx ,其中 ix 为实数ri,2,1 则有0),( 1 21 r r x x bbb 8 又Kaabb sr ),(),( 11 ,则0),( 1 1 r s x x Kaa 由于 s aaa, 21 线性无关 ,所以0 2 1 r x x x K 即 0 0 0 0 2211 2211 2222112 1221111 rrsss rrrrr rr rr xkxkxk xkxkxk xkxkxk xkxkxk （1） 由于rKR)(则(1)式等价于下列方程组 : 0 0 0 2211 2222112 1221111 rrrrr rr rr

17、 xkxkxk xkxkxk xkxkxk 由于0 21 22212 12111 rrrr r r kkk kkk kkk 所以方程组只有零解0 21r xxx.所以 r bbb, 21 线性无关 , 证毕. 13设 0,),( 211211nn T n xxxRxxxxxxV满足 1,),( 211212nn T n xxxRxxxxxxV满足 问 21,V V是不是向量空间？为什么？ 证明集合V 成为向量空间只需满足条件： 若VV ,，则V 若RV ,，则V 1 V是向量空间，因为： 9 0),( 2121n T n 0),( 2121n T n T nn ),( 2211 且)()()(

18、 2211nn 0)()( 2121nn 故 1 V ),(, 21n R 00)( 2121nn 故 1 V 2 V不是向量空间，因为： )()()( 2211nn 211)()( 2121nn 故 2 V ),(, 21n R 1)( 2121nn 故当1时， 2 V 14试证 :由 TTT aaa)0 , 1 , 1(,) 1 , 0, 1(,)1 , 1 , 0( 321 所生成的向量空间 就 是 3 R . 证明设),( 321 aaaA 011 101 110 , 321 aaaA02 110 101 011 )1( 1 于是3)(AR故线性无关 .由于 321 ,aaa均为三维

19、,且秩为 3, 所以 321 ,aaa为此三维空间的一组基 ,故由 321 ,aaa所生成的向量空间 就是 3 R . 15由,)1 , 1 ,0 ,1(,)0 ,0 , 1 , 1( 21 TT aa所生成的向量空间记作 1 V,由 ,) 1, 1, 1 ,0(,)3 ,3, 1, 2( 21 TT ab所生成的向量空间记作 2V ,试证 21 VV. 证明设RkkakakxV 1122111 , RxV 1122112 , 任取 1 V中一向量 ,可写成 2211 akak, 要证 22211 Vakak,从而得 21 VV 由 22112211 akak得 10 121 211 212

20、212 121 121 2 3 3 2 k kk k k k kk 上式中 ,把 21,k k看成已知数 ,把 21, 看成未知数 02 11 02 1D 21, 有唯一解 21 VV 同理可证 : 12 VV(0 01 11 2 D) 故 21 VV 16验证 TTT aaa)2, 1 ,3(,)3, 1 ,2(,)0, 1, 1( 321 为 3 R 的一个基 ,并把 TT vv)13,8,9(,)7, 0, 5( 21 用这个基线性表示 . 解由于06 230 111 321 , 321 aaa 即矩阵),( 321aaa 的秩为 3 故 321 ,aaa线性无关，则为 3 R 的一个基

21、 . 设 3322111 akakakv，则 723 0 532 32 321 321 kk kkk kkk 1 3 2 3 2 1 k k k 故 3211 32aaav 设 3322112 aaav，则 1323 8 932 32 321 321 2 3 3 3 2 1 k k k 故线性表示为 3212 233aaav 17求下列齐次线性方程组的基础解系: 11 (1) 02683 0542 02108 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx (2) 03678 02453 0232 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx (3)02)1( 121

22、nn xxxnnx. 解(1) 0000 4 1 4 3 10 0401 2683 1542 21081 初等行变换 A 所以原方程组等价于 432 31 4 1 4 3 4 xxx xx 取3, 1 43 xx得0,4 21 xx 取4,0 43 xx得1,0 21 xx 因此基础解系为 4 0 1 0 , 3 1 0 4 21 (2) 0000 19 7 19 14 10 19 1 19 2 01 3678 2453 1232 初等行变换 A 所以原方程组等价于 432 431 19 7 19 14 19 1 19 2 xxx xxx 取2, 1 43 xx得0,0 21 xx 取19,0

23、 43 xx得7, 1 21 xx 因此基础解系为 19 0 7 1 , 2 1 0 0 21 (3) 原方程组即为 121 2)1( nn xxnnxx 12 取0, 1 1321n xxxx得nxn 取0, 1 14312n xxxxx得1)1(nnxn 取0, 1 2211nn xxxx得2 n x 所以基础解系为 21 100 010 001 ),( 121 nn n 18设 8259 3122 A, 求一个24矩阵B, 使0AB, 且 2)(BR. 解由于2)(BR, 所以可设 43 21 10 01 xx xx B 则由 00 0010 01 8259 3122 43 21 xx

24、xx AB可得 5 9 2 2 8020 0802 3010 0301 4 3 2 1 x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 2 1 2 5 2 1 2 11 4 3 2 1 x x x x ，故所求矩阵 2 1 2 5 2 1 2 11 10 01 B 13 19求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 TT )0, 1 , 2,3(,)3 ,2, 1 , 0( 11 . 解显然原方程组的通解为 0 1 2 3 3 2 1 0 21 4 3 2 1 kk x x x x ,(Rkk 21, ) 即 14 213 212 21 3 2 2 3 kx kkx kkx kx 消去 21,

25、k k得 023 032 431 421 xxx xxx 此即所求的齐次线性方程组. 20设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 321 ,是它 的三个解向量且 5 4 3 2 1 ， 4 3 2 1 32 求该方程组的通解 解由于矩阵的秩为3，134rn，一维故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于 321 ,均为方程组的解， 由 非齐次线性方程组解的结构性质得 齐次解 齐次解齐次解 6 5 4 3 )( )( )( )()(2 2121321 14 为其基础解系向量，故此方程组的通解： 5 4 3 2 6 5 4 3 kx，)(Rk 21设BA,都是n阶方阵，且0A

26、B，证明nBRAR)()( 证明设A的秩为 1 r，B的秩为 2 r，则由0AB知，B 的每一列向量 都是以 A为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量 (1)当nr1时, 该齐次线性方程组只有零解, 故此时0B, nr1，0 2 r，nrr 21 结论成立 (2) 当nr1时, 该齐次方程组的基础解系中含有 1 rn个向量 , 从而 B 的列向量组的秩 1 rn,即 12 rnr, 此时 12 rnr, 结论成立。 综上,nBRAR)()( 22设n阶矩阵 A满足AA 2 ,E 为n阶单位矩阵 ,证明 nEARAR)()( (提示:利用题 11及题 21 的结论 ) 证明0)( 2 AAAAEAA

27、 所以由 21 题所证可知nEARAR)()( 又)()(AEREAR 由 11 题所证可知 nERAEARAERAREARAR)()()()()()( 由此nEARAR)()( 23求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系： (1) ;32235 ,122 ,5 4321 4321 21 xxxx xxxx xx (2) .6242 , 1635 ,11325 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解(1) 21000 130110 80101 32235 12112 50011 初等行变换 B 15 0 1 1 1 , 2 0 13 8 (2) 0

28、0000 2 2 1 7 1 10 1 2 1 7 9 01 61242 11635 113251 初等行变换 B 2 0 1 1 , 0 7 1 9 , 0 0 2 1 21 24设是非齐次线性方程组bAx的一个解 , rn , 1 是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系, 证明: (1) rn , 1 线性无关； (2) rn , 1 线性无关。 证明 (1)反证法 , 假设 rn , 1 线性相关 , 则存在着不全为 0的数 rn CCC, 10 使得下式成立 : 0 110rnrn CCC (1) 其中,0 0 C否则, rn , 1 线性相关 , 而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾

29、。 由于为特解， rn , 1 为基础解系，故得 bCACCCCA rnrn00110 )( 而由(1) 式可得0)( 110rnrn CCCA 故0b，而题中 , 该方程组为非齐次线性方程组, 得0b 产生矛盾 , 假设不成立 , 故 rn , 1 线性无关 . (2) 反证法 , 假使 rn , 1 线性相关 . 则存在着不全为零的数 rn CCC, 10 使得下式成立 : 0)()( 110rnrn CCC（2） 即0)( 1110rnrnrn CCCCC 1) 若0 10rn CCC, 由于 rn , 1 是线性无关的一组基础解 16 2) 系, 故0 10rn CCC, 由(2) 式

30、得0 0 C此时 0 10rn CCC与假设矛盾 . 3) 若0 10rn CCC由题(1) 知, rn , 1 线性无关 , 故 0 2110rnrn CCCCCC与假设矛盾 , 综上, 假设不成立 , 原命题得证 . 25. 设 s , 1是非齐次线性方程组 bAx的s个解， s kk, 1为实数， 满足1 21s kkk. 证明 ss kkkx 2211 也是它的解 . 证明由于 s , 1 是非齐次线性方程组bAx的s个解. 故有), 1(sibA i 而 ssss AkAkAkkkkA 22112211 )( bkkb s) ( 1 即bAx（ ss kkkx 2211 ） 从而x也

31、是方程的解 26设非齐次线性方程组bAx的系数矩阵的秩为r， 11 , rn 是 它 的1rn个线性无关的解 ( 由题 24 知它确有1rn个线性无关的 解) 试证它的任一解可表示为 112211rnrn kkkx（其中1 11rn kk）. 证明设x为bAx的任一解 由题设知： 121 , rn 线性无关且均为bAx的解 取 11132121 , rnrn，则它的均为 bAx的 解 用反证法证： rn , 21 线性无关 反设它们线性相关，则存在不全为零的数： rn lll, 21 使得0 2211rnrn lll 即0)()()( 11132121rnrn lll 亦即0)( 13221121rnrnrn llllll 由 121 , rn 线性无关知 0)( 2121rnrn llllll 矛盾，故假设不对 rn , 21 线性无关，为bAx的一组基 由于 1 ,x均为bAx的解，所以 1 x为的bAx解 1 x可由 17 rn , 21 线性表出 rnrn kkkx 123121 )()()( 111133122rnrn kkk 0)1( 1133221321rnrnrn kkkkkkx 令 1321 1 rn kkkk则1 1321rn kkkk 112211rnrn kkkx,证毕