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1、高一数学寒假专题二次函数与二次方程人教版 【本讲教育信息 】 一. 教学内 容： 寒假专题二次函数与二次方程 来源 学+科+ 网 二. 教学重、难点 重点：二次函数的性质 难点：二次函数与二次方程之间的关系 【典型例题】 来源 :学。科。网 例 1 已知xx32 2 求函数1)( 2 xxxf的最值。 解： 由xx32 2 得 2 3 0x 4 3 ) 2 1 ()( 2 xxf对称轴 2 1 x 当0x时，1 min y当 2 3 x时， 4 19 max y 来源 :Z&xx&k.Com 例 2 已知1 2 x，02a求3)( 2 axxxf的最值。 解： 由1 2 x得11x 4 3)
2、2 ()( 2 2aa xxf 2a1 2 a 1 2 a 来源:Zxxk.Com 当1x时，ay4 min 当1x时，ay4 max 例 3 已知14)( 22 aaxaxxf在1,4上最大值是5，求实数a 的值。 解： （1）0a时，1)(xf不成立 （2）0a时，2 2 4 a a x 当1x时，515)( 2 max aaxf065 2 aa 6a或 1 由0a1a （3）0a时，5 4 16)1(4 )( 22 max a aaa xf064 2 aa 来源 学科网 102a由0a102a 例 4 已知0 2 xx，0a求函数axxxf2)( 2 的最值。 解： 由0 2 xx 得
3、10x)(xf 的对称轴ax 22 )()(aaxxf 来源 学 科网 （1） 2 1 0a时，当 ax时， 2 max )(axf，当1x时，12)( min axf （2） 2 1 a时，当 2 1 x时， 4 1 )( max xf，当0x时，0)( min xf 来源 学 * 科*网 （3）1 2 1 a时，当ax时， 2 max )(axf，当0x时，0)( min xf （4）1a时，当1x时，12)( max axf，当0x时，0)( min xf 来源:Zxxk.Com 例 5 已知)(4 2 axay（0a）且当ax时， 22 )3(yxS的最小值为4，求 参数 a 的值。
4、解： 把)(4 2 axay代入 2222 49)32(2)3(axaxyxS 22 49)32(2axaxS的对称轴为ax23 （1）aa23即1a时，当ax时，496 2 min aaS1a或 5 （2）aa23即1a时，当ax23时， 4 )32(4)49(4 22 min aa S 4128 2 aa 0132 2 aa 2 1 a 或 1（舍） 由（ 1） 、 （2）知： 2 1 a或 1 或 5 例 6 设x、y是关于 m 的方程062 2 aamm的两个实根， 求 22 ) 1() 1(yx的 最小值是多少？ 解： 原式22)(2)(2)(2 222 xyyxyxyxyx 由根与
5、系数关系 6 2 axy ayx 代入上式得：原式1064 2 aa 设1064 2 aat原方程0)6(44 2 aa2a或3a 当3a时，8 min t 例 7 已知函数1)3()( 2 xmmxxf的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧， 求 m 的取值范围。 解： （1）0m时，013)(xxf 3 1 x成立 （2）0m时 2 个正根 0 1 0 3 04)3( 21 21 2 m xx m m xx mm 0 30 91 m m mm或 10m 1 个正根 1 个负根 0 0 21x x 0 91 m mm或 0m 来源 :Z+xx+k.Com 由（ 1） 、 （ 2）知1m
6、来源 学科网 ZXXK 【模拟试题】（答题时间： 45 分钟） 1. 函数24 2 xxy在 3,0上的最大值，最小值是多少？ 来源 学 科网 2. 函数1) 1( 2 xy在 1,tt上求最小值。 3. 已知 a、b 为常数0a，bxaxxf 2 )(且0)2(f并使方程xxf)(有等根。 （1）求)(xf的解析式。 （2）是否存在m、n)(nm使)(xf的定义域为,nm，值域为2,2nm。 4. )(xf在 R 上是增函数且0)239()3( xxx fkf对任意的Rx成立，求k 的 取值范围。 5. 已知)0( 2 )( 2 a a axxxf在1,0上的最 小值为)(ag求)(ag的最
7、大值。 6. 已知 22 )()(aeaey xx （0a）求 min y。 来源 学科网 ZXXK 【试题答案】 1. 最大值： 2 最小值：2 2. 1t时，1) 1( 2 min ty10t时，1 min y0t时，1 2 min ty 3. （1）0) 1( 2 xbax有等根0) 1( 2 b即1b又0)2(f 024ba 2 1 axxxf 2 2 1 )( （2） 2 1 2 1 )1( 2 1 )( 2 xxf 2 1 2n即 4 1 n 4 1 n时，)(xf在,nm上为增函数 nnf mmf 2)( 2)( 0 2 1 0 2 1 2 2 nn mm 又 4 1 nm2m，
8、0n 存在实数2m，0n使)(xf的定义域为0,2，值域为0,4 4. 解：)239()3( xxx fkf恒成 立)(xf在 R 上是增函数 2393 xxx k恒成立令 x t3则0t 设02)1()( 2 tkttg在),0(t上恒成立 0)0( 0 2 1 g k 或 08)1( 0 2 1 2 k k 即 02 1k 或 221221 1 k k 122k 5. 解： 42 ) 2 ()( 2 2 aaa xxf又 1,0x且0a 当20a时， 4 1 4 1 )1( 4 1 )( 2 aag 当2a时，0 2 2 1 2 1)( a ag 当0a时， 4 1 )( max ag 2 1)1( 1 2 0) 2 ( )( a f aa f ag 2 2 1 20 42 2 a a a aa 6. 解：22)(2)( 22 aeeaeey xxxx 令 xx eet则222)( 22 aatttf 2 xx eet2)()( 22 aattf的定义域为),2 当2a时，2)( 2 min aafy 当2a且0a时， 2 min )1(2)2(afy