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1、高一第二学期三角函数与数列综合试卷（含答案） 高一数学 201641 一、填空题 （本大题共14 题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷 相应位置上） . 1. 已知 3 cos() 25 ，且 3 (,) 22 ，则tan的值为 _ . 2. 已知点(tan,cos)Maa 在第二象限，则角 a的终边在第 _象限 . 3. 222 sin 6 sin 6 sin_ . 4. 已知 1 tan() 42 ，则sincos=_ . 5. 设在各项为正数的等比数列n a中，若 654 2aaa ，则公比q _ . 6. 已知 an= n n n 10 ) 1(9 （nN *） ，则
2、数列 a n的最大项是第_项 . 7. 函数cosyx的图象向左平移 3 个单位， 横坐标缩小到原来的 1 2 ，纵坐标扩大到原来的 3 倍，所得的函数图象解析式为_ . 8. 已知数列 n a的前n项和 1 31 n n S，则 n a_ . 9. 若 n a 是等差数列， 首项01a， 0 20152014 aa， 0 20152014 aa， 则使前 n项和0 n S 成立的最小正整数 n是_ . 10. 在ABC中，CBA,所对的边分别是,ab c，若 222 3bcbca，且 2 b a ，则C=_ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈: 若将此若干个圈依此 规律继续下去，得到
3、一系列的圈，那么在前2011 个圈中的 的个数是 _ . 12. 已知,均为锐角 ,且 3 sin 5 , 1 tan() 3 .则 cos的值为 _ . 13. 在ABC中 ， 内 角 A、B、C所 对 的 边 分 别 为 a、b、c，ca且 满 足 0cos)sin3(coscosBAAC，若点O是ABC外一点，42OBOA，则四边 形OACB的面积的最大值为_ . 14. 我们知道，如果定义在某区间上的函数( )f x满足对该区间上的任意两个数 1 x、 2 x，总 有不等式 1212 ()() () 22 f xf xxx f成立，则称函数( )f x为该区间上的向上凸函数（简称 上凸
4、）. 类比上述定义， 对于数列 n a， 如果对任意正整数n， 总有不等式： 2 1 2 nn n aa a 成立，则称数列 n a为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列 n a满足如下两个条件： （1）数列 n a为上凸数列，且 110 1,28aa； （2）对正整数n（ * ,101Nnn） ，都有20 nn ab，其中 2 610 n bnn. 则数列 n a中的第五项 5 a的取值范围为 _ . 二、解答题（本大题共6 题，共 90 分，请在答题卷 指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题 14 分) 如图，在四边形ABCD 中， AD=8，CD=
5、6，AB=13， ADC=90 ，且 50AB AC （1）求 sinBAD的值； （2）设 ABD 的面积为SABD， BCD 的面积为SBCD，求 ABD BCD S S 的值 16. (本小题 14 分) 已知向量(4, 5cos),(3,4 tan)ab （1）若/ab，试求sin； （2）若ab，且(0,) 2 ，求cos(2) 4 的值 . A C D B 17. (本小题 14 分) 已知函数 22 1 sincos 42 fxxx ，x R (1)求函数fx最值与最小正周期； (2)求使不等式 3 2 fx0,x成立的x的取值范围 . 18. (本小题 16 分) 已知数列 n
6、 a 的首项11 1,21 nn aaa (1)求证 :1 n a是等比数列； (2)求数列 n na的前 n 项和 n S 19. (本小题 16 分) 已知数列 n a满足1 1 a，2 1nn aa，等比数列 n b满足 11 ab，1 44 ab （）求数列 n a、 n b的通项公式； （）设 nnn bac，求数列 n c的前n项和 n S 20. (本小题 16 分) 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 且 5133 349aaS， （1）求数列 n a的通项公式及前n项和公式； （2）设数列 n b的通项公式为 n n n a b at ，问 : 是否存在正整数t，使
7、得 12m bbb， (3)mmN，成等差数列？若存在，求出t 和 m 的值；若不存在，请说明理由. 一、填空题 1. 3 4 2. 四3. 2 1 4. 3 10 5. 26. 8 或 97.3cos(2) 3 yx. 8. 8 1 22 3 n n n a n 9. 4029 10. 00 10515 或11. 61 12. ,(0,) 2 , 从而 22 . 又 1 tan()0 3 , 0 2 10 sin() 10 (2) 由(1) 可得 , 3 10 cos() 10 . 为锐角 , 3 sin 5 , 4 cos 5 coscos()coscos()sinsin() 43 103
8、10 () 510510 9 10 50 13. 【命题立意】三角恒等变换，余弦定理，考查分析能力，转化能力，较难题 【解析】因为0cos)sin3(coscosBAAC， 所以0cossin3coscos)cos(BABABA， 所以3tan B，因为 B0 ，所以 3 B，因为ca，所以ABC为等边三角形， 设AOB，所以 2 3 | 2 1 sin| 2 1 2 ABOBOASSS ABCAOBOACB )cos|2|(| 4 3 sin24 2 122 OBOAOBOA )cos24224( 4 3 sin4 22 )cos45(3sin4 35) 3 sin(8， 因为0，所以 3
9、4 33 ，所以1) 3 4 sin( 2 3 ， 所以四边形OACB的面积的最大值为358 14. 13, 25 二、解答题 15. 解（ 1）在 RtADC 中， AD=8，CD=6， 则 AC=10， 43 cos,sin 55 CADCAD 又50ABAC，AB=13， 5 cos 13| AB AC BAC ABAC 0180BAC， 12 sin 13 BAC 63 sinsin() 65 BADBACCAD （2） 1252 sin 25 BAD SAB ADBAD， 1 sin60 2 BAC SABACBAC，24 ACD S， 则 168 5 BCDABCACDBAD SS
10、SS， 3 2 ABD BCD S S 16. 已知向量(4, 5cos),(3,4tan)ab （）若/ab，试求sin （）若ab，且(0,) 2 ，求cos(2) 4 的值 解： （1）由ba /得，0tan16cos15， 3 5 sin（舍）或 5 3 sin （2）由 ba 得，0tancos2012， 5 3 sin，又) 2 ,0(， 5 4 cos 25 7 2cos, 25 24 2sin，2 50 31 ) 4 2cos( 17. （1） 1cos 2 1cos212 222 x x fx = 113 sin 2cos2 222 xx = 2223 sin2cos2 22
11、22 xx = 23 sin 2 242 x max 32 2 fx， min 32 2 fx，T （2）由 3 2 fx得： 2 sin 20 24 x ，sin 20 4 x ， 222 4 kxk， 3 88 kxkkZ 又 0,x ，x的取值范围为 37 0, 88 18. 【命题立意】本题重点考查了等比数列的定义、等比数列的求和公式、错位相减求和等 知识，属于中档题 【解析】（1）12 1nn aa， )1(21 1nn aa， 则2 1 1 1 n n a a 为常数，1 n a 是等比数列 （2）1 1 a,可得 n n a21，12 n n a， 则n-nna n n 2， 2
12、 231 231 1 1 2 1 1 22 22 21 2222 22222 2(1 2 ) 2 12 (1)22 (1)2212 2 n n n n nn n n n n n n Tn Tn Tn n n nn Sn 设，则 分 19. 【答案】（）21 n an， 1 2 n n b； （）)23(23nS n n 【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减求和，考查转化能力，计算能 力，中等题 【解析】（）21 n an， 14 1,8bb,2q, 1 2 n n b （） 1 (21)2 n n cn， 21 1 13 25 2(21)2 n n Sn 231 21 23
13、25 2(23) 2(21)2 nn n Snn 上述两式作差得 231 12 22 22 22 2(21)2 nn n Sn 1 2(12) 12(21)2 12 n n n Sn 32 (32 ) n n Sn . 20. 解： （1）设等差数列 n a的公差为d. 由已知得 513 2 34 39 aa a ， ， 即 1 1 817 3 ad ad ， ， 解得 1 1 2. a d ， 故 2 21 nn anSn，. （ 2）由（ 1）知 21 21 n n b nt .要使 12mbbb，成等差数列，必须212mbbb ，即 3121 2 3121 m ttmt ， 整理得 4 3 1 m t ， 因为 m，t 为正整数，所以1t只能取 1, 2, 4，t =2，3 或 5. 当2t时，7m；当3t时，5m； 当5t时，4m. 故存在正整数t，使得 12m bbb，成等差数列 .