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1、三角函数 一、重点知识回顾 1、弧度角度制 2、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式 3、公式： （1）诱导公式 （2）和（差）角公式 （3）二倍角公式 （4）经常使用的公式 升（降）幂公式：辅助角公式： 22 sincossin()abab 4、三角函数的图象与性质 5、解三角形 (1)正、余弦定理正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin （R2是 ABC外接圆直径） 余弦定理： bc acb A 2 cos 222 二、常考题型与解法 题型一、三角函数的基础知识与基本运算： 1（全国卷）sin 585 。 的值为 (A) 2 2 (B) 2 2
2、(C) 3 2 (D) 3 2 【答案】 A 【解析】 2 sin585sin(360225 )sin(18045 )-sin 45 2 oooooo ，故选择 A。 2（北京文）若 4 sin,tan0 5 ，则 cos 【答案】 3 5 【解析】由已知，在第三象限， 2 2 43 cos1sin1 55 ，应填 3 5 3(2008 浙江)cos2sin5,tan( )若则 （A） 1 2 （B）2 （C） 1 2 （D）2 【答案】 B 【解析】由cos2sin5可得：cos52sin， 又由 22 sincos1， 可 得 ： 22 sin(52sin)1可 得 2 5 sin 5 ，
3、 5 cos52sin 5 ，所以， sin tan2 cos 题型二、图像： 1（浙江理）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax的图象不可能 是 ( ) 2.（辽宁卷理）已知函数( )f x=Acos(x)的图象如图所示， 2 () 23 f，则(0)f= （A） 2 3 (B) 2 3 (C) 1 2 (D) 1 2 w.w.w.s.5.u.c.o.m 【解析】由图象可得最小正周期为 2 3 于是 f(0)f( 2 3 ),注意到 2 3 与 2关于 7 12对称 所以 f( 2 3 ) f( 2) 2 3 【答案】 B 3.（江苏卷）函数sin()yAx（,A为常数，0,0A）在
4、闭区间,0上的图象如 图所示，则= . 【解析】考查三角函数的周期知识。 3 2 T， 2 3 T，所以3， 题型、性质 1、（安徽卷理）已知函数( )3sincos(0)f xxx， ( )yfx 的图像与直 线2y的两个相邻交点的距离等于，则( )f x的单调递增区间是 （A） 5 , 1212 kkkZ（B） 511 , 1212 kkkZ （C）, 36 kkkZ （D） 2 , 63 kkkZ 【答案】 C 【解析】( )2sin() 6 f xx，由题设( )fx的周期为 T，2， 由222 262 kxk得，, 36 kxkkz，故选 C 2 （全国卷理） 如果函数3sin(2)
5、yx的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称，那么|的 最小值为（ C） （A） 6 （B） 4 （C） 3 (D) 2 【答案】 C 【解析】函数3sin(2)yx的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称 4 2 3 k 4 2() 3 kkZ 由此易得 min | 3 故选 C 3.（重庆卷理）（本小题满分13 分，（）小问7 分，（）小问6 分） 设函数 2 ( )sin()2cos1 468 xx fx （）求( )fx的最小正周期 （）若函数( )yg x与( )yf x的图像关于直线 1x 对称，求当 4 0, 3 x时( )yg x的 最大值 解：（）( )f x=sincosc
6、ossincos 46464 xxx = 33 sincos 2424 xx =3sin() 43 x w.w.ws.5.u.c.o.m 故( )f x的最小正周期为T = 2 4 =8 () 因区间 4 0, 3 关于 x = 1 的对称区间为 2 ,2 3 ，且( )yg x与( )yf x的图象关于 x = 1 对称，故( )yg x在 4 0, 3 上的最大值为( )yf x在 2 ,2 3 上的最大值 由（）知( )f x3sin() 43 x 当 2 2 3 x时， 6436 因此( )yg x在 4 0, 3 上的最大值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max 3 3
7、sin 62 g. 题型三、图像的变换： 1(湖南卷理 )将函数sinyx的图象向左平移(0 2)的单位后，得到函数 sin() 6 yx的图象，则等于（ D） A 6 B 5 6 C. 7 6 D. 11 6 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】： D 【解析】解析由函数sinyx向左平移的单位得到sin()yx的图象，由条件知函 数sin()yx可 化 为 函 数sin() 6 yx， 易 知 比 较 各 答 案 ， 只 有 11 sin() 6 yxsin() 6 x，所以选 D 项。 2（全国卷文）若将函数)0)( 4 tan( xy的图像向右平移 6 个单位长度后，与 函
8、数) 6 tan(xy的图像重合，则的最小值为 (A) 6 1 (B) 4 1 (C) 3 1 (D) 2 1 21 世纪教育网 【答案】 D 【解析】 6 tantan(ta) 6446 nyxyxx 向右平移个单位 1 6 4 () 662 kkkZ，又 min 1 0 2 故选 D 3( 山东卷理 ) 将函数sin 2yx的图象向左平移 4 个单位 , 再向上平移 1 个单位,所得图 象的函数解析式是 ( ) Acos2yxB 2 2cosyxC) 4 2sin(1xyD 2 2sinyx 【答案】 B 【解 析】 将 函 数si n 2yx的图象 向 左平 移 4 个单 位 ,得 到
9、函数si n 2() 4 yx即 sin(2)cos2 2 yxx的图象 ,再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式 为 2 1cos22cosyxx,故选 B ， 题型四、三角恒等变换： 1（辽宁卷文）已知tan2，则 22 sinsincos2cos （A） 4 3 （B） 5 4 （C ） 3 4 （D） 4 5 【答案】 D 【解析】 22 22 22 sinsincos2cos sinsincos2cos sincos 2 2 tantan24224 tan1415 2（福建卷理）函数( )sincosf xxx最小值是 A-1 B 1 2 C 1 2 D1 【答案】 B 【解析
10、】 1 ( )sin 2 2 f xx min 1 ( ) 2 f x故选 B 3（重庆卷理）设函数 2 ( )sin()2cos1 468 xx fx （）求( )f x的最小正周期 （）若函数( )yg x与( )yf x的图像关于直线1x对称，求当 4 0, 3 x时 ( )yg x的最大值 【解析】（）( )f x=sincoscossincos 46464 xxx = 33 sincos 2424 xx=3sin() 43 x21 世纪教育网 故( )f x的最小正周期为T = 2 4 =8 ( ) 在( )yg x的 图 象 上 任 取 一 点( ,( )x g x， 它 关 于1
11、x的 对 称 点 (2,( )x g x 由题设条件，点(2,( )x g x在( )yf x的图象上，从而 21 世纪教育网 ()( 2)3 s i n ( 2) 43 g xfxx=3sin 243 x=3cos() 43 x 当 3 0 4 x时， 2 3433 x，因此( )yg x在区间 4 0, 3 上的最大值为 max 3 3 c o s 32 g21 世纪教育网 4（重庆卷文）设函数 22 ( )(sincos)2cos(0)fxxxx的最小正周期为 2 3 （）求的最小正周期 （）若函数( )yg x的图像是由( )yf x的图像向右平移 2 个单位长度得到，求 OIJ( )
12、yg x的单调增区间 【解析】 （） 2222 ( )(sincos)2cossincossin 212cos 2fxxxxxxxx sin 2cos222 sin(2)2 4 xxx 依题意得 22 23 ，故的最小正周期为 3 2 21世纪教育网 （）依题意得 : 5 ( )2 sin 3()22 sin(3)2 244 g xxx 由 5 232() 242 kxkkZ解得 227 () 34312 kxkkZ 故( )yg x的单调增区间为 : 227 ,() 34312 kkkZ 题型五、三角函数与解三角形综合： 1（湖南卷文）在锐角ABC 中，1,2 ,BCBA则 cos AC A
13、 的值等于2 ， AC 的取值范围为( 2,3) 【解析】设,2 .AB由正弦定理得,12. sin 2sin2coscos ACBCACAC 由锐角ABC得0290045， 又01803903060，故 23 3045cos 22 ， 2cos(2,3).AC 2（浙江理）（本题满分14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满 足 2 5 cos 25 A ，3AB AC （I）求ABC 的面积；（II）若6bc，求a的值 【解析】（ I）因为 2 5 cos 25 A ， 2 34 cos2cos1,sin 255 A AA，又由3AB AC， 得cos3,bc
14、A5bc， 1 sin2 2 ABC SbcA21 世纪教育网 （ II ）对 于5bc， 又6bc，5,1bc或1,5bc，由 余弦 定 理得 222 2cos20abcbcA，2 5a 3（安徽卷理） （本小题满分 12 分） 在ABC 中，sin()1CA, 1 sin 3 B （I）求 sin A的值； (II) 设6AC，求ABC的面积 【解析】 （） 由 2 CA， 且 C AB， 42 B A， 2 s i ns i n ()( c o ss i n ) 4 2222 BBB A， 211 sin(1 sin) 23 AB，又 sin0A， 3 sin 3 A （）如图，由正弦定
15、理得 sinsin ACBC BA 3 6 sin 3 3 2 1 sin 3 ACA BC B ，又sinsin()sincoscossinCABABAB 32 2616 33333 , 116 sin63 23 2 223 ABC SAC BCC 4（江西卷理）（本小题满分12 分） ABC 中，,A B C所对的边分别为, ,a b c， sinsin tan coscos AB C AB ,sin()cosBAC （1）求,A C； （2）若33 ABC S, 求,a c 21 世纪教育网 【解析】 (1) 因为 sinsin tan coscos AB C AB ，即 sinsins
16、in coscoscos CAB CAB ， 所以 sincossincoscossincossinCACBCACB ， 即 sincoscossincossinsincosCACACBCB， 得sin()sin()CABC，所以 CABC ,或()CABC(不成立 ) 即 2CAB , 得 3 C，所以 2 3 BA 又因为 1 sin()cos 2 BAC，则 6 BA，或 5 6 BA（舍去） 得 5 , 412 AB (2) 162 sin33 28 ABC SacBac，又 sinsin ac AC , 即 23 22 ac ， 21 世纪教育网 得2 2,2 3.ac A B C
17、题型六、三角函数与向量综合： 1( 广东卷文 ) （本小题满分 12 分） 已知向量)2,(sina与)cos, 1(b互相垂直，其中) 2 ,0( （1）求 sin和cos的值 （2）若cos53)cos(5，0 2 ,求cos 的值 【解析】（）ab v v Q,sin2cos0a b v vg ,即 sin2cos 又 22 sincos1, 22 4coscos1,即 2 1 cos 5 , 2 4 sin 5 又 2 5 (0,)sin 25 , 5 cos 5 (2) 5cos()5(coscossinsin)5 cos2 5 sin3 5 cos c o ss i n, 222
18、cossin1cos,即 2 1 cos 2 又0 2 , 2 cos 2 21 世纪教育网 2（江苏卷）（本小题满分14 分） 设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abc （1）若a与2bc垂直，求tan()的值； （2）求|bc的最大值 ; （3）若tantan16，求证：ab 【解析】 2 2222 ( 1 )2,(2 )20 4 s i n ()8 c o s()0 , t a n ()2 ; ( 2 )( s i nc o s, 4 c o s4 s i n) , s i n2 s i nc o sc o s1 6 c o s3 2 c o ss i n1 6 s i n 1730sincos1715sin 2 , 3 abcabca ba c bc bc 由 与垂直 即 最大值为2,42. (3)tantan16sinsin16coscos, 4cos4cos- sinsin0,/ / bc ab 所以的最大值为 由得 即