高三数学一轮复习配套讲义：第6篇第4讲基本不等式.pdf

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1、第 4 讲基本不等式 最新考纲 1了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 . 知 识 梳 理 1基本不等式：ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号 (3)其中 ab 2 称为正数 a，b 的算术平均数，ab称为正数 a，b 的几何平均数 2几个重要的不等式 (1)重要不等式： a 2b22ab(a，bR)当且仅当 ab 时取等号 (2)ab ab 2 2(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 (3)a 2b2 2 ab 2 2(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 (4)b a a b2(a，b 同号

2、)，当且仅当 ab 时取等号 3利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积 定和最小 ) (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是 s 2 4(简记：和定积 最大) 辨 析 感 悟 1对基本不等式的认识 (1)当 a0，b0 时， ab 2 ab.() (2)两个不等式 a 2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的 () 2对几个重要不等式的认识 (3)(ab) 24ab(a，bR)() (4) 2ab ab 2 1 a 1 b abab 2 a 2b2 2 .()

3、 (5)a 2b2c2abbcca(a，b，cR)() 3利用基本不等式确定最值 (6)函数 ysin x 4 sin x，x 0， 2 的最小值为 4.() (7)(2014 福州模拟改编 )若 x3，则 x 4 x3的最小值为 1.() (8)(2013 四川卷改编 )已知函数 f(x)4x a x(x0，a0)在 x3 时取得最小值， 则 a36.() 感悟 提升 两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件， 就 是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等 等号能否取得 ”， 若忽略了某个条件，就会出现错误对于公式ab2 ab，ab ab 2 2，要弄 清它们的作

4、用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和 ab 的转化关 系如 (2)、(4)、(6) 二是在利用不等式求最值时， 一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次 使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 学生用书第 103 页 考点一利用基本不等式证明简单不等式 【例 1】 已知 x0，y0，z0. 求证： y x z x x y z y x z y z 8. 证明x0，y0，z0， y x z x 2 yz x 0，x y z y 2 xz y 0， x z y z 2 xy z 0， y x z x x y z y x z y z 8 yzxzxy xyz 8. 当且仅当 xyz时

5、等号成立 规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思 路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理， 经过 逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 【训练 1】 已知 a0，b0，c0，且 abc1. 求证： 1 a 1 b 1 c9. 证明a0，b0，c0，且 abc1， 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 32229， 当且仅当 abc 1 3时，取等号 考点二利用基本不等式求最值 【例 2】 (1)(2013 山东卷 )设

6、正实数 x，y，z满足 x23xy4y2z0，则当 xy z 取 得最大值时， 2 x 1 y 2 z的最大值为 () A0 B1 C.9 4 D3 (2)(2014 广州一模 )已知 2 x 2 y1，(x0，y0)，则 xy 的最小值为 A1 B2 C4 D8 审题路线(1)x23xy4y 2z0? 变形得 zx23xy4y2? 代入z xy? 变形后利 用基本不等式 ? 取等号的条件把 2 x 1 y 2 z转化关于 1 y的一元二次函数 ? 利用配方 法求最大值 解析(1)由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2， xy z xy x 23xy4y2 1 x y 4y x 3

7、. 又 x，y，z为正实数， x y 4y x 4， 当且仅当 x2y 时取等号，此时z2y 2. 2 x 1 y 2 z 2 2y 1 y 2 2y 2 1 y 22 y 1 y1 21，当1 y1，即 y1 时，上式有最大值 1. (2)x0，y0，xy(xy) 2 x 2 y 42 x y y x 44 x y y x8. 当且仅当 x y y x，即 xy4 时取等号 答案(1)B(2)D 规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个 量之间的函数关系， 然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变 形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用

8、基本不等式求解最 值 【训练 2】 (1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 A. 24 5 B.28 5 C5 D6 (2)(2014 浙江十校联考 )若正数 x，y 满足 4x 29y23xy30，则 xy的最大值是 A. 4 3 B.5 3 C2 D.5 4 解析(1)由 x3y5xy 可得 1 5y 3 5x1， 3x4y(3x4y) 1 5y 3 5x 9 5 4 5 3x 5y 12y 5x 13 5 12 5 5(当且仅当 3x 5y 12y 5x ，即 x1，y 1 2时，等号成立 )， 3x4y 的最小值是 5. (2)由 x0，y0，得 4x 29

9、y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等 号成立 )，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2. 答案(1)C(2)C 考点三基本不等式的实际应用 【例 3】 (2014济宁期末 )小王大学毕业后， 决定利用所学专业进行自主创业经 过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3 万元，每生产 x 万件， 需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)1 3x 2x(万元) 在 年产量不小于 8 万件时，W(x)6x100 x 38(万元)每件产品售价为5 元通过 市场分析，小王生产的商品能当年全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元 )

10、关于年产量 x(万件 )的函数解析式； (注：年利润年销 售收入固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是 多少？ 解(1)因为每件商品售价为5 元，则 x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得， 当 0x8 时， L(x)5x 1 3x 2x 31 3x 24x3； 当x8 时 ， L(x) 5x 6x100 x 38 3 35 x 100 x . 所 以L(x) 1 3x 24x3，0x8， 35 x 100 x ，x8. (2)当 0x8 时，L(x) 1 3(x6) 29. 此时，当 x6 时，L(x)取得最大值 L(6)9 万元，

11、当 x8 时，L(x)35 x100 x 352x 100 x 352015， 此时，当且仅当 x 100 x 时，即 x10 时，L(x)取得最大值 15 万元 915， 所以当年产量为 10 万件时， 小王在这一商品的生产中所获利润最大最 大利润为 15 万元 规律方法(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题 意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用 基本不等式求解 (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调 性求解 【训练 3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经 调查测算，该

12、产品的年销量(即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用t(t0)万元满 足 x4 k 2t1(k 为常数 )如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万 件已知 2013 年生产该产品的固定投入为6 万元，每生产 1 万件该产品需要再 投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品 成本包括固定投入和再投入两部分) (1)将该厂家 2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家 2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解(1)由题意有 14 k 1，得 k3，故 x4 3 2t1. y1.5612x x x(612

13、x)t 36xt36 4 3 2t1 t27 18 2t1t(t0) (2)由(1)知：y27 18 2t1t27.5 9 t 1 2 t 1 2 . 由基本不等式 9 t1 2 t1 2 2 9 t1 2 t1 2 6， 当且仅当 9 t1 2 t1 2， 即 t2.5 时等号成立， 故 y27 18 2t1t27.5 9 t1 2 t1 2 27.5621.5. 当且仅当 9 t1 2 t1 2时，等号成立， 即 t2.5 时，y 有最大值 21.5.所以 2013 年的 年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5 万元 1基本不等式具有将 “和式”转化为 “积式

14、”和将“积式”转化为 “和式”的 放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不 等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点 2连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存 在且一致 教你审题 7如何挖掘基本不等式中的 “相等” 【典例】(2013天津卷 )设 ab2，b0，则 1 2|a| |a| b 取得最小值为 _ 审题一审条件： ab2，b0，转化为条件求最值问题； 二审问题： 1 2|a| |a| b 转化为 “ 1” 的代换； 三审过程：利用基本不等式时取等号的条件 解析因为 ab2，所以 1 2|a| |a| b ab 4|a

15、| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b a 4|a| 2 b 4|a| |a| b a 4|a|1 1 41 3 4，当且仅当 b 4|a| |a| b ，aa 2a2 ab 0，va. 答案A 5(2014 兰州模拟 )已知函数 yx4 9 x1(x1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 ab() A3 B2 C3 D8 解析yx4 9 x1x1 9 x15，由 x1，得 x10， 9 x10，所以 由基本不等式得 yx1 9 x152 x1 9 x151，当且仅当 x1 9 x1，即(x1) 29，所以 x13，即 x2 时取等号，所以 a2，b1，ab 3. 答案C

16、二、填空题 6(2014 广州模拟 )若正实数a，b 满足 ab2，则 (12a) (1b)的最小值为 _ 解析(12a)(1b)52ab52 2ab9.当且仅当 2ab，即 a1，b2 时取等号 答案9 7已知 x，yR，且满足 x 3 y 41，则 xy 的最大值为 _ 解析x0，y0 且 1 x 3 y 42 xy 12，xy3.当且仅当 x 3 y 4，即当 x 3 2，y 2 时取等号 答案3 8 函数 ya 1x(a0， a1)的图象恒过定点 A， 若点 A 在直线 mxny10(mn 0)上，则 1 m 1 n的最小值为 _ 解析ya 1x 恒过点 A(1,1)，又 A 在直线上

17、， mn1.而 1 m 1 n mn m mn n 2 n m m n 224，当且仅当 mn1 2时， 取“”， 1 m 1 n的最小值为 4. 答案4 三、解答题 9已知 a0，b0，ab1，求证： 1 a 1 b 1 ab8. 证明 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b ab ab 2 1 a 1 b ， ab1，a0，b0， 1 a 1 b ab a ab b 2a b b a224， 1 a 1 b 1 ab8 当且仅当 ab 1 2时等号成立 . 10已知 x0，y0，且 2x5y20. (1)求 ulg xlg y 的最大值； (2)求 1 x 1 y的最小值 解(1)x0，

18、y0， 由基本不等式，得2x5y2 10xy. 2x5y20， 2 10xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立因此有 2x5y20， 2x5y， 解得 x5， y2， 此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1. (2)x0，y0， 1 x 1 y 1 x 1 y 2x5y 20 1 20 75y x 2x y 1 20 72 5y x 2x y 72 10 20 ， 当且仅当 5y x 2x y 时，等号成立 由 2x5y20， 5y x 2x y ， 解得 x 10 1020 3 ， y 2

19、04 10 3 . 1 x 1 y的最小值为 72 10 20 . 能力提升题组 (建议用时： 25 分钟) 一、选择题 1已知 x0，y0，且 2 x 1 y1，若 x2ym 22m 恒成立，则实数 m 的取值范 围是() A(， 24， ) B(， 42， ) C(2,4) D(4,2) 解析x0，y0 且2 x 1 y1， x2y(x2y) 2 x 1 y 44y x x y 42 4y x x y8，当且仅当 4y x x y， 即 x4，y2 时取等号， (x2y)min8，要使 x2ym22m 恒成立， 只需(x2y)minm 22m 恒成立， 即 8m22m，解得 41 ， xy

20、0， 若目标函数 zxy 取得最大 值 4，则实数 a 的值为 () A4 B3 C2 D.3 2 解析 作出可行域，由题意可知可行域为ABC 内部及边界， yxz，则 z 的几何 意义为直线在 y 轴上的截距， 将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数 取得最大值 4，此时 A 点坐标为 (a，a)，代入得 4aa2a，所以 a2. 答案C 9(2014 湖州模拟 )设 x，y 满足约束条件 3xy60， xy20， x0，y0. 若目标函数 zax by(a0，b0)的最大值为 12，则 2 a 3 b的最小值为 ( ) A. 25 6 B.8 3 C.11 3 D4 解析不等式表示

21、的平面区域如图所示阴影部分当直线axbyz(a0，b 0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点 (4,6)时，目标函数 zaxby(a 0，b0)取得最大值 12，即 4a6b12，即 2a3b6. 所以 2 a 3 b 2 a 3 b 2a3b 6 13 6 b a a b 13 6 225 6 (当且仅当 ab6 5时等号成立 ) 答案A 10(2014 金丽衢十二校联考 )已知任意非零实数x，y 满足 3x 24xy (x2y2) 恒成立，则实数 的最小值为 () A4 B5 C.11 5 D.7 2 解析依题意，得 3x 24xy3x2x2(2y)24(x2y2)，因此有3x

22、24xy x 2y24， 当且仅当 x2y 时取等号，即 3x 24xy x 2y2的最大值是 4，结合题意得 3x 24xy x 2y2， 故 4，即 的最小值是 4. 答案A 二、填空题 11(2013 烟台模拟 )已知关于 x 的不等式 ax 22xc0 的解集为 1 3， 1 2 ，则不 等式 cx 22xa0 的解集为 _ 解析由 ax22xc0 的解集为 1 3， 1 2 知 a0，即 2x22x12k 的解集为 x|x2，求 k 的值； (2)若对任意 x0，f(x)t 恒成立，求实数 t 的范围 解(1)f(x)k? kx 22x6k2， 得 x13，x22 是方程 kx 22

23、x6k0 的两根， 所以 232 k，即 k 2 5. (2)x0，f(x) 2x x 26 2 x 6 x 6 6 ， 由已知 f(x)t 对任意 x0 恒成立，故实数 t 的取值范围是 6 6 ， . 17(2013 广州诊断 )某单位决定投资3 200 元建一仓库 (长方体状 )，高度恒定， 它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米 长造价 45 元，顶部每平方米造价20 元，求：仓库面积 S的最大允许值是多少？ 为使 S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积Sxy，依题设，得 4

24、0x 245y20xy3 200， 由基本不等式，得 3 2002 40x 90y20xy120 xy 20xy120 S20S， 则S6 S1600， 即(S10)( S16)0， 故 0S10， 从而 0S100， 所以 S的最大允许值是 100 平方米， 取得此最大值的条件是40x 90y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为15 米 18(2014 泉州调研 )已知函数 f(x)x 33ax23x1. (1)当 a2时，讨论 f(x)的单调性； (2)若 x2， )时，f(x)0，求 a 的取值范围 解(1)当 a2时，f(x)x33 2x23x1. f(x)3x 26 2

25、x3. 令 f(x)0，得 x21 或21. 当 x(，21)时，f(x)0，f(x)在(，21)上是增函数； 当 x( 21，21)时，f(x)0，f(x)在(21，21)上是减函数； 当 x( 21， )时，f(x)0，f(x)在(21， )上是增函数 (2)法一当 x2， )时，f(x)0， 3ax 2x33x1， a x 3 1 x 1 3x 2， 设 g(x) x 3 1 x 1 3x 2，求 g(x)的最大值即可，则g(x) 1 3 1 x 2 2 3x 3 x 33x2 3x 3 ， 设 h(x)x 33x2， 则 h(x)3x 23，当 x2 时，h(x)0， h(x)在2，

26、)上单调递减， g(x)在2， )上单调递减， g(x)g(2)0， g(x)在(2， )上单调递减， g(x)maxg(2) 5 4， a 5 4. 法二因为 x2， )时，f(x)0，所以由 f(2)0，得 a 5 4. 当 a 5 4，x(2， )时，f(x)3(x 22ax1) 3 x 25 2x1 3 x 1 2 (x2)0， 所以 f(x)在(2， )上是增函数，于是当x2， )时，f(x)f(2)0. 综上， a 的取值范围是5 4， . 学生用书第 105 页 教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。 马卡连柯 教师应当善于组织，善于行动，善于运用诙谐，既要快乐适时，又要生气得当。 教师应当能让自己的每一举动都能对自己起教育的作用，并且永远应当知道当时 自己所希望的是什么，所不希望的是什么。如果一个教师不了解这一点，那他还 能教育谁呢？ 马卡连柯