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1、专题二万能答题模板 助你解题得高分 数学解答题题型解读 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较 好的区分层次和选拔功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和 能力的综合型解答题要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运 算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的 万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化 万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散 的解题方法与技
2、巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做 到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解 题得高分 模板 1三角函数的性质问题 例 1已知函数f(x)cos2 x 12 ，g(x)1 1 2sin 2x. (1)设 xx0是函数 yf(x)图象的一条对称轴，求 g(x0)的值； (2)求函数 h(x)f(x)g(x)的单调递增区间 审题破题(1)由 x x0是 yf(x)的对称轴可得g(x0)取到 f(x)的最值； (2)将 h(x)化成 y Asin(x )的形式 解(1)f(x) 1 2 1 cos 2x 6 ， 因为 x x0是
3、函数 yf(x)图象的一条对称轴， 所以 2x0 6k (kZ)， 即 2x0k 6 (kZ) 所以 g(x0)1 1 2sin 2x01 1 2sin k 6 ，kZ. 当 k 为偶数时， g(x0)1 1 2sin 6 1 1 4 3 4. 当 k 为奇数时， g(x0)1 1 2sin 6 1 1 4 5 4. (2)h(x) f(x)g(x) 1 21cos 2x 6 1 1 2sin 2x 1 2 3 2 cos 2x 1 2sin 2x 3 2 1 2sin 2x 3 3 2. 当 2k 22x 32k 2 (kZ)， 即 k 5 12xk 12(kZ)时， 函数 h(x) 1 2
4、sin 2x 3 3 2是增函数 故函数 h(x)的单调递增区间为 k 5 12，k 12 (kZ) 第一步 ：三角函数式的化简，一般化成yAsin(x )h 的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式； 第二步 ：由 ysin x、ycos x 的性质，将x 看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围； 第三步 ：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步 ：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误 跟踪训练1已知函数f(x)2cos x sin x 3 3sin2xsin xcos x1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的最
5、大值及最小值； (3)写出函数f(x)的单调递增区间 解f(x)2cos x 1 2sin x 3 2 cos x 3sin 2xsin x cos x1 2sin xcos x3(cos 2xsin2x)1 sin 2x3cos 2x1 2sin 2x 3 1. (1)函数 f(x)的最小正周期为 2 2 . (2)1sin 2x 3 1， 12sin 2x 3 13. 当 2x 3 2 2k ，kZ，即 x 12k ， kZ 时， f(x)取得最大值 3； 当 2x 3 2 2k ，kZ，即 x 5 12k ，kZ 时， f(x)取得最小值 1. (3)由 22k 2x 3 22k ，k
6、Z， 得 5 12k x 12k ，kZ. 函数 f(x)的单调递增区间为5 12k ， 12k (k Z) 模板 2三角函数与向量、三角形 例 2在锐角 ABC 中，已知内角A、B、C 的对边分别为a、 b、c，且3(tan Atan B)1 tan A tan B，又已知向量m(sin A，cos A)，n(cos B，sin B)，求 |3m2n|的取值范 围 审题破题由已知 A，B 关系式化简， 利用向量的数量积求出|3m2n|并化简为一个角的 三角函数形式 解因为3(tan Atan B)1tan A tan B， 所以 tan A tan B 1tan A tan B 3 3 ，即
7、 tan(AB) 3 3 ， 又 ABC 为锐角三角形，则00，且 a 1)的图象上的一点等比数列 an的 前 n 项和为 f(n)c.数列 bn ( bn0)的首项为 c， 且前 n 项和 Sn满足 SnSn1 SnSn1 (n2) (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)若数列 1 bnbn1 的前 n 项和为 Tn，问满足Tn1 001 2 012的最小正整数 n 是多少？ 解(1)f(1)a1 3， f(x) 1 3 x. 由题意知， a1f(1)c1 3c， a2f(2)cf(1)c 2 9， a3f(3)cf(2)c 2 27. 又数列 an 是等比数列， a1 a 2 2
8、a3 4 81 2 27 2 3 1 3c， c1. 又公比 qa 2 a1 1 3， an 2 3 1 3 n1 2 1 3 n (nN*) Sn Sn1(SnS n1)(Sn Sn1) SnSn1 (n2) 又 bn0， Sn0，Sn Sn11. 数列 Sn构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列， Sn1(n1)1n，即 Snn 2. 当 n2 时， bnSnSn1n2(n1)2 2n1， 当 n1 时， b11 也适合此通项公式 bn 2n1 (nN *) (2)Tn 1 b1b2 1 b2b3 1 b3b4, 1 bnbn1 1 13 1 3 5 1 57, 1 2n1 2n 1
9、1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 1 7 , 1 2 1 2n1 1 2n1 1 2 1 1 2n1 n 2n1. 由 Tn n 2n1 1 001 2 012 ，得 n1 001 10 ， 满足 Tn1 001 2 012的最小正整数 n的值为 101. 模板 6概率与统计问题 例 6某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在 六月份的降雨量X(单位：毫米 )有关据统计，当X70 时， Y460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为： 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200
10、,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量70110140160200220 频率 1 20 4 20 2 20 (2)假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概 率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率 审题破题(1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几 个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算 解(1)在所给数据中，降雨量为110 毫米的有3个， 160 毫米
11、的有 7 个，200 毫米的有3 个故近20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量70110140160200220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 (2)由题意知，当X70 时， Y460； X 每增加 10，Y 增加 5， 故 Y 4605 X70 10 X 2 425. P(“ 发电量低于490 万千瓦时或超过530 万千瓦时 ” ) P(Y530)P(X210) P(X70)P(X110)P(X220) 1 20 3 20 2 20 3 10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率为 3 10. 第一
12、步 ：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表； 第二步 ：利用互斥事件的概率公式求概率、作答. 跟踪训练6(2013 陕西 )有 7 位歌手 (1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投 票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别A B C D E 人数5010015015050 (1)为了调查评委对7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其 中从 B 组中抽取了6 人请将其余各组抽取的人数填入下表 组别A B C D E 人数5010015015050 抽取人数6 (2)在(1)中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有2 人
13、支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的 评委中分别任选1 人，求这2 人都支持1 号歌手的概率 解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表： 组别A B C D E 人数5010015015050 抽取人数36993 (2)记从 A 组抽到的3 个评委为a1，a2，a3，其中 a1，a2支持 1 号歌手；从 B 组抽到的 6 个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中 b1，b2支持 1 号歌手从 a1，a2，a3 和b1，b2， b3，b4，b5， b6中各抽取1 人的所有结果为： 由以上树状图知所有结果共18 种，其中 2人都支持1 号歌手的有a1b1，a1b
14、2，a2b1，a2b2 共 4 种，故所求概率P 4 18 2 9. 模板 7圆锥曲线的定点问题 例 7已知椭圆E 的中心在原点， 焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2 1，离心率为e 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 (1,0)作直线 l 交 E 于 P、 Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点M， 使MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由 审题破题(1)利用待定系数法求E 的方程； (2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再 对一般情况进行证明 解(1)设椭圆 E 的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)
15、， 由已知得解得 所以 b2a2c21. 所以椭圆E 的方程为 x 2 2 y21. (2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)， 则MP (x1m，y1)，MQ (x2m，y2)，MP MQ (x1 m)(x2m)y1y2x1x2m(x1 x2) m2y1y2. 当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为yk(x1)， 由得 x22k2(x1)220， 即(2k21)x2 4k2x2k220， 则 x1x2 4k 2 2k 21，x1x2 2k 22 2k 21， y1y2k 2(x 1 1)(x21)k 2x 1x2(x1x2)1 k 2 2k 21
16、， 所以 MP MQ 2k 22 2k 21m 4k 2 2k 21m 2k 2 2k 21 2m 24m1 k2 m22 2k 21. 因为对于任意的k 值， MP MQ 为定值， 所以 2m24m12(m22)，得 m 5 4. 所以 M 5 4，0 ，此时， MP MQ 7 16. 当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x1， 则 x1x22， x1x21，y1y2 1 2， 由 m5 4，得 MP MQ 7 16. 综上，符合条件的点M 存在，且坐标为 5 4，0 . 第一步 ：引进参数 .从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是 直线的夹角、直线的斜率或直线的
17、截距等； 第二步 ：列出关系式 .根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步 ：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成yy0 k xx0的形式，则kR 时直线恒过定点x0，y0；若是动态的曲线方程，将动态的 曲线方程转化成f x，y g x，y 0 的形式，则 R 时曲线恒过的定点即是f x， y 0 与 g x，y 0 的交点； 第四步 ：下结论； 第五步 ：回顾反思 .在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的. 跟踪训练7已知抛物线y24x 的焦点为F，直线 l 过点 M(4
18、,0) (1)若点 F 到直线 l 的距离为3，求直线 l 的斜率； (2)设 A，B 为抛物线上的两点，且直线AB 不与 x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过 点 M，求证：线段AB 中点的横坐标为定值 (1)解由已知得直线l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为yk(x4)，由题意知抛物线的焦 点坐标为 (1,0)， 因为点 F 到直线 l 的距离为3，所以 |3k| 1k 2 3， 解得 k 2 2 ，所以直线l 的斜率为 2 2 . (2)证明设线段 AB 中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB 不与 x 轴垂直，所以AB 斜率存在， 所以直线
19、MN 的斜率为 y0 x04，直线 AB 的斜率为 4x0 y0 ， 直线 AB 的方程为 yy0 4x0 y0 (xx0)， 联立方程得 消去 x，得 1 x0 4 y 2y 0yy 2 0x0(x04)0， 所以 y1y2 4y0 4x0， 因为 N 为线段 AB 的中点， 所以 y1 y2 2 y0，即 2y0 4 x0y 0， 所以 x02.即线段 AB 中点的横坐标为定值2. 模板 8圆锥曲线中的范围、最值问题 例 8已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a1， b0)的焦距为2c，直线l 过点 (a,0)和(0，b)，且点 (1,0)到 直线 l 的距离与点 (1,0)到直
20、线 l 的距离之和s 4 5c，求双曲线的离心率 e 的取值范围 审题破题用 a，b 表示 s可得关于a，b，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求 e 的范围 解设直线 l 的方程为 x a y b1，即 bxayab0. 由点到直线的距离公式，且a1，得到点 (1,0)到直线 l 的距离 d1 b a1 a 2b2， 同理可得点 ( 1,0)到直线 l 的距离为d2 b a 1 a 2b2， 于是 s d1 d2 2ab a 2b2 2ab c . 由 s 4 5c，得 2ab c 4 5c，即 5a c 2a22c2， 可得 5e212e 2，即 4e425e2250， 解得 5
21、4e 25. 由于 e1，故所求e的取值范围是 5 2 ， 5 . 第一步 ：提取 .从题设条件中提取不等关系式； 第二步 ：解不等式 .求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集； 第三步 ：下结论 .根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围； 第四步 ：回顾反思 .根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c 的大小关 系等 . 跟踪训练8椭圆 C 的中心为坐标原点O，焦点在 y 轴上，短轴长为2，离心率为 2 2 ，直线 l 与 y 轴交于点P(0，m)，与椭圆C 交于相异两点
22、A，B，且 AP 3PB . (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 m 的取值范围 解(1)设椭圆 C 的方程为 y 2 a 2 x 2 b 2 1(ab0)， 设 c0， c 2a2b2， 由题意，知2b2， c a 2 2 ，所以 a1，bc 2 2 . 故椭圆 C 的方程为y2 x 2 1 2 1，即 y 22x21. (2)设直线 l 的方程为y kxm(k0)， l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k22)x22kmx(m21)0， (2km) 24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*) x1x2 2km k 22， x1x2 m 21
23、k 22. 因为 AP 3PB ，所以 x13x2， 所以 所以 3(x1x2)24x1x20. 所以 3 2km k 2 2 24 m 21 k 2 20. 整理得 4k2m 22m2k22 0， 即 k2(4m21)(2m22)0. 当 m 21 4时，上式不成立； 当 m 21 4时， k 222m 2 4m 21， 由(*) 式，得 k22m 22， 又 k0，所以 k2 2 2m 2 4m 210. 解得 10 f(x) a x 2a 2 x 21 (x0) 根据题意，有f(1) 2，所以 2a2 a30，解得 a 1 或 a 3 2. (2)解f(x) a x 2a 2 x 21
24、x 2ax2a2 x 2 xax 2a x 2 (x0) 当 a0 时，因为x0， 由 f(x)0 得(xa)(x2a)0，解得 xa； 由 f(x)0， 由 f(x)0 得(xa)(x2a)0，解得 x2a； 由 f(x)0，使得 |g(x)g(x0)|0 成立？若存在， 求出 x0 的取值范围； 若 不存在，请说明理由 审题破题(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数 h(x)g(x)g 1 x ，通过 g(x)的单调性比较g(x)，g 1 x 的大小； (3)对任意 x0 若不存在 x0， 只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决 解
25、(1)由题设易知f(x)ln x， g(x)ln x 1 x，g(x) x1 x 2，令 g(x)0，得 x1， 当 x(0,1)时， g(x)0. 故(1， )是 g(x)的单调增区间， 因此， x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为g(1)1. (2)g 1 x ln xx， 设 h(x)g(x)g 1 x 2ln xx1 x， 则 h(x) x1 2 x 2 ， 当 x1 时， h(1)0，即 g(x)g 1 x ， 当 x(0,1)(1， )时， h (x)h(1)0，即 g(x)g 1 x ， 当 x1 时， h(x)0，使 |g(x)g(x0)
26、|0 成立，即对任意x0， 有 ln x0，使 |g(x)g(x0)|0 成立 第一步 ：构造函数h x g x g 1 x ； 第二步 ：根据求单调性、极值的步骤探求函数h x 的单调性； 第三步 ：根据 h x 的单调性比较h x 和 0 的大小； 第四步 ：下结论，反思回顾. 跟踪训练10已知函数f(x)ax2bxcln x. (1)当 ab 时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围； (2)设函数 f(x)在 x1 2，x1 处取得极值，且 f(1) 1，若对任意的x 1 4，2 ，f(x)m 恒成立，求m 的取值范围 (参考数据： e2.7) 解(1)ab 时，
27、f(x)ax2axcln x， f(x)2axa 1 x 2ax 2ax1 x (x0) 当 a0 时， f(x) 1 x0，此时 f(x)在(0， )上单调递增； 当 a0 时， x0，2ax2ax10， f(x)0， f(x)在(0， )上单调递增； 当 a0， 故在 (0， )上，函数g(x)的符号不确定，即此时f(x)的符号不确定，函数 f(x)在 (0，)上不单调 综上可知， a 的取值范围是0， ) (2)f(x)在 x 1 2，x1 处取得极值， f(1)f 1 2 0， 即 2ab10 ab20 ， a 1 b 3 ， 即 f(x) 2x 23x1 x 2x1 x1 x ， 且 f(x) x2 3xcln x. 又 f(1) 1，13c 1，得 c 1， f(x)x 23x 1ln x. 当 x 1 4， 1 2 时， f (x)0， 函数 f(x)在 1 4， 1 2 上单调递增； 当 x 1 2，1 时， f (x)0， 函数 f(x)在(1,2上单调递增 f(x)极大值f 1 2 1 4 3 2 1ln 1 2 1 4ln 2， 而 f(2) 1ln 2，f(2)f 1 2 3 4ln 4 ln 4ln e ，由于 4ee，故 f(2)f 1 2 ， f(x)max 1ln 2，m 1ln 2. 3 4 3 4