高中数学(3.2简单的三角恒等变换)教案新人教A版必修4.pdf

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1、1 3.2 简单的三角恒等变换 整体设计 教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换, 以及三角恒等变换在数学中 的应用 . 本节的内容都是用例题来展现的, 通过例题的解答, 引导学生对变换对象和变换目标 进行对比、分析 , 促使学生形成对解题过程中如何选择公式, 如何根据问题的条件进行公式变 形, 以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识, 从而加深理解变换思 想, 提高学生的推理能力. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上, 从而使三角函数 性质的研究得到延伸. 三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换， 变换

2、内容比较单一. 而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三 角函数式所包含的角， 以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换. 从函数式结构、 函数种类、 角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以 联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 三维目标 1. 通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、 余弦公式推导出积化和差与和差化积公式, 体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思 想，提高学生的推理能力. 2. 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会

3、三 角恒等变换在数学中的应用. 3. 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析， 促使学生形成对解题过程中 如何选择公式， 如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用 公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 重点难点 教学重点： 1. 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2. 三角变换的内容、思路和方法, 在与代数变换相比较中, 体会三角变换的特点. 教学难点： 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从 整体上把握变换过程的能力. 课时安排 2 课时 2 教学过程 第 1 课时 导入新课

4、思路1. 我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主 要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、 公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变 换. 前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角 公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路 2. 三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换. 学习了和角公式，差角 公式， 倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和 方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、 实践能力提供了广阔的空间 和发展的平台 . 对于三角变换, 由于不同的三角函数式不仅会有结

5、构形式方面的差异, 而且还 会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异, 因此三角恒等变换常常首先寻找 式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依据选择可以联系它们的适当公式, 这是三角式 恒等变换的重要特点. 推进新课 新知探究 提出问题 与 2 a 有什么关系 ? 如何建立cos 与 sin 2 2 a 之间的关系？ sin 2 2 a = 2 cos1a ，cos 2 2 a = 2 cos1a ，tan 2 2 a = a a cos1 cos1 这三个式子有什么共同特点？ 通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 证明 (1)sincos= 2 1 s

6、in(+)+sin(- ); (2)sin+sin =2sin 2 cos 2 . 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos =1-2sin 2 2 a , 将公式中的 用 2 a 代替 , 解出 sin 2 2 a 即可 . 教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现： 是 2 a 的二倍角 .在倍 角公式 cos2=1-2sin 2 中, 以 代替 2, 以 2 a 代替 , 即得 cos=1-2sin 2 2 a , 所以 sin 2 2 a = 2 cos1a . 3 在倍角公式cos2 =2cos 2-1 中, 以 代替 2, 以

7、 2 a 代替 , 即得 cos=2cos 2 2 a -1, 所以 cos 2 2 a = 2 cos1a . 将两个等式的左右两边分别相除, 即得 tan 2 2 a = a a cos1 cos1 . 教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点： (1) 用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数; (2) 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”( 即用此式可达到“降次”的目的). 教师与学生一起总结出这样的特点, 并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到. 提 醒 学 生 在 以 后 的 学 习 中 引 起 注 意 . 同 时 还 要 强 调 , 本 例 的 结 果

8、还 可 表 示 为:sin 2 a = 2 cos1a ,cos 2 a = 2 cos1a ,tan 2 a = a a cos1 cos1 , 并称之为半角公式 ( 不要求记忆 ), 符号由 2 a 所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换, 由于不同的三角函数 式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的 差异 . 因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择 可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点. 代数式变换往往着眼于式子结构 形式的变换 . 对于问题：（1）如果从右边出发，

9、仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出 左式 . 但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出 发点，引导学生思考，哪些公式包含sin cos呢？想到 sin( +)=sin cos+cossin .从方程角度看这个等式，sin cos，cossin 分 别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2 个方程，这就促使学生考虑还有没有 其他包含sin cos 的公式，列出sin( - )=sin cos-cos sin 后，解相应的以 sin cos，cossin 为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果. （2）由（ 1）得到以和的形式表示的积的

10、形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的 形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别. 只需做个变换，令+=，- = ， 则 = 2 ，= 2 , 代入 (1) 式即得 (2) 式. 证明 : (1) 因为 sin( + )=sin cos +cossin , sin( - )=sin cos-cos sin , 将以上两式的左右两边分别相加, 得 sin( +)+sin(- )=2sin cos, 即 sin cos= 2 1 sin(+)+sin(- ). (2) 由(1), 可得 sin( +)+sin(- )=2sin cos. 设 + =, - =, 那么 = 2 ,= 2 .

11、4 把 , 的值代入, 即得 sin +sin =2sin 2 cos 2 . 教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想, 可以总结出在本例的证明过 程中用到了换元的思想, 如把 + 看作 ,- 看作 , 从而把包含, 的三角函数式 变换成 , 的三角函数式. 另外 , 把 sin cos 看作 x,cos sin 看作 y, 把等式看作x,y 的方程 , 通过解方程求得x, 这就是方程思想的体现. 讨论结果： 是 2 a 的二倍角 . sin 2 2 a =1-cos 2 cos1a . 略 (见活动） . 应用示例 思路 1 例 1 化简 :. cossin1 cossin1 x

12、x xx . 活动： 此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题. 教师提醒学生注意半角公式 和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系. 解: 原式 = ) 2 sin 2 (cos 2 cos2 ) 2 cos 2 (sin 2 sin2 2 cos 2 sin2 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 2 xxx xxx xxx xxx =tan 2 x . 点评： 本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练 化简:sin50 (1+3tan10). 解: 原式=sin50 10cos )10sin 2 3 10

13、cos 2 1 (2 50sin 10cos 10sin3 1 =2sin50 2 10cos 10sin30cos10cos30sin =2cos402 10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin =1. 例 2 已知 sinx-cosx= 2 1 , 求 sin 3 x-cos 3x 的值 . 活 动： 教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解 . 由 于 (a-b) 3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a- b), a3-b3=(a-b)3 +3ab(a-b).解完此题后 , 教师引导学 生深挖本例的思想方法, 由于 sin

14、x2cosx与 sinx cosx 之间的转化 . 提升学生的运算. 化简 能力 及整体 代换思想.本题也 可 直接应用 上述公式求 之,即 sin 3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)= 16 11 .此方法往往适用于sin 3xcos3x 的 5 化简问题之中 . 解: 由 sinx-cosx= 2 1 , 得(sinx-cosx) 2= 4 1 , 即 1-2sinxcosx= 4 1 , sinxcosx= 8 3 . sin 3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) = 2 1 (1+ 8 3

15、 )= 16 11 . 点评： 本题考查的是公式的变形、化简、求值, 注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练 (2007年高考浙江卷,12) 已知sin +cos= 5 1 , 且 2 4 3 , 则 cos2 的值是 _. 答案 : 25 7 例 1 已知1 sin sin cos cos :1 sin sin cos cos 2 4 2 4 2 4 2 4 A B A B B A B A 求证. 活动： 此题可从多个角度进行探究, 由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致, 只是将 A,B 的位置互换了, 因此应从所给的条件等式入手, 而条件等式中含有A,B 角的正、余 弦, 可利用

16、平方关系来减少函数的种类. 从结构上看 , 已知条件是a 2+b2=1 的形式 , 可利用三角 代换 . 证明一 : 1 sin sin cos cos 2 4 2 4 B A B A , c os 4A2sin2B+sin4A2cos2B=sin2B2cos +B. cos 4A(1-cos2B)+sin4A2cos2B=(1-cos2B)cos2B, 即 cos 4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. cos 4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. (cos 2A-cos2B)2=0.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B. A B A B 2

17、 4 2 4 sin sin cos cos cos 2B+sin2B=1. 证明二 : 令 B A a B A sin sin ,cos cos cos 22 =sin , 则 cos 2A=cosBcos,sin2A=sinBsin . 两式相加 ,得 1=cosBcos+sinBsin , 即 cos(B- )=1. B - =2k (k Z), 即 B=2k +(k Z). cos=cosB,sin =sinB. cos 2A=cosBcos=cos2B,sin2A=sinBsin =sin2B. B B B B A B A B 2 4 2 4 2 4 2 4 sin sin cos

18、cos sin sin cos cos =cos 2B+sin2B=1. 6 点评 : 要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察, 利用平方关 系进行了合理消元. 变式训练 在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角, 记 S= BAtan1 1 tan1 1 , 求证 :S90 , 90A90 - B0 . tanAtan(90 -B)=cotB0, tanA2tanB1. S0.tan( 2 -2 )0. 又 (0, 2 ), 2 0, 得 00). (1) 求函数 f(x)的值域 ; (2) 若函数y=f(x)的图象与直线y=-1 的两个相邻交点间的距离为 2 , 求

19、函数 y=f(x)的单调 增区间 . 解: (1)f(x)= 2 3 sin x+ 2 1 cosx+ 2 3 sin x- 2 1 cosx-(cos x+1) 12 =2( 2 3 sin x- 2 1 cosx)-1=2sin(x- 6 )-1. 由- 1sin( x- 6 ) 1, 得 -32sin( x- 6 )- 11, 可知函数f(x) 的值域为 -3,1 . (2) 由题设条件及三角函数图象和性质, 可知 y=f(x)的周期为 , 又由 0, 得 2 =, 即得 =2. 于是有 f(x)=2sin(2x- 6 )-1, 再由 2k- 2 2x- 6 2k + 2 (k Z),

20、解得 k- 6 xk + 3 (k Z). 所以 y=f(x)的单调增区间为k- 6 ,k + 3 (k Z). 点评 : 本题主要考查三角函数公式, 三角函数图象和性质等基础知识, 考查综合运用三角 函数有关知识的能力. 例 1 求函数 y=sin 4 x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值 ; 并写出该函数在0, 上的 单调递增区间 . 活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和 周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式, 然后再解决与此相关的问题. 解: y=sin 4x+2 3sinxcosx-cos 4x=(sin2

21、x+cos 2x)(sin2x-cos2x)+ 3sin2x =3sin2x-cos2x=2sin(2x- 6 ). 故 该 函 数 的 最 小 正 周 期 是; 最 小 值 是 -2;在 0, 上 单 调 增 区 间 是 0, 3 , 6 5 , . 点评： 本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin4x, (1) 求 f(x)的最小正周期; (2) 若 x0, 2 , 求 f(x)的最大、最小值. 解： f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-s

22、in2x)-sin2x=cos2x-sin2x= 2cos(2x + 4 ), 所以， f(x) 的最小正周期T= 2 2 =. (2) 因为 x0, 2 ，所以 2x+ 4 4 ， 4 5 . 13 当 2x+ 4 = 4 时， cos(2x+ 4 ) 取得最大值 2 2 , 当 2x+ 4 = 时， cos(2x+ 4 ) 取得最小值 -1. 所以，在 0, 2 上的最大值为1，最小值为 -2. 思路 2 例 1 已知函数 f(x)=sin(x+)( 0,0 ) 是 R上的偶函数 , 其图象关于点M( 4 3 ,0) 对称 , 且在区间 0, 2 上是单调函数 , 求 和 的值 . 活动：

23、提醒学生在解此题时, 对 f(x) 是偶函数这一条件的运用不在问题上, 而在对“ f(x) 的图象关于M( 4 3 ,0) 对称”这一条件的使用上, 多数考生都存在一定问题. 一般地 : 定义在 R上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件 :f(x+a)=2b-f(a-x),则 y=f(x)的图象关于点 (a,b) 对称 , 反之亦然 . 教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型 的变式训练 . 解： 由 f(x)是偶函数 ,得 f(-x)=f(x), 即 sin(-x+)=sin( x+), 所以 -cos sin x=cos sin x 对任意 x 都成立 . 又

24、 0, 所以 , 得 cos=0. 依题设 0, 所以 , 解得 = 2 . 由 f(x)的图象关于点M对称 , 得 f( 4 3 -x)=-f( 4 3 +x). 取 x=0, 得 f( 4 3 )=-f( 4 3 ), 所以 f( 4 3 )=0. f( 4 3 )=sin( 4 3 + 2 )=cos 4 3 , cos 4 3 =0. 又 0, 得 4 3 = 2 +k,k=0,1,2,. = 3 2 (2k+1),k=0,1,2,. 当 k=0 时, = 3 2 ,f(x)=sin( 3 2 x+ 2 ) 在0, 2 上是减函数 ; 当 k=1 时, =2,f(x)=sin(2x+

25、2 ) 在0, 2 上是减函数 ; 当 k2 时, 3 10 ,f(x)=sin(x+ 2 ) 在0, 2 上不是单调函数. 所以 , 综合得 = 3 2 或 =2. 点评： 本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然 后进而解决此题. 变式训练 14 已知如图2 的 RtABC中, A=90 ,a为斜边 , B、C 的内角平分线BD、 CE的长分别为 m、 n,且a 2=2mn. 问 : 是 否 能 在 区 间 ( ,2 中 找 到 角 ,恰 使 等 式 cos-sin =4(cos 2 CB -cos 2 CB ) 成立 ?若能 , 找出这样的角; 若不能 ,

26、请说明理由 . 解: 在 RtBAD中, m AB =cos 2 B , 在 RtB AC中, a AB =sinC, mcos 2 B =asinC. 图 2 同理 ,ncos 2 C =asinB. mncos 2 B cos 2 C =a 2sinBsinC. 而 a 2=2mn, cos 2 B cos 2 C =2sinBsinC=8sin 2 B 2cos 2 B cos 2 C sin 2 C . sin 2 B sin 2 C = 8 1 . 积化和差 ,得 4(cos 2 CB -cos 2 CB )=-1, 若存在 使等式 cos-sin =4(cos 2 CB -cos

27、2 CB )成立 , 则 2cos( + 4 )=-1, cos( + 4 )= 2 2 . 而 2, 4 5 + 4 2 9 . 这样的 不存在 . 点评 : 对于不确定的开放式问题, 通常称之为存在性问题. 处理这类问题的一般思路是先 假设结论是肯定的, 再进行演绎推理, 若推证出现矛盾, 即可否定假设; 若推出合理结果,即假 设成立 . 这个探索结论的过程可概括为假设推证定论. 例 2 已知 tan( - )= 2 1 ，tan = 7 1 ，且 , (0, ) ，求 2- 的值 . 解： 2- =2( - )+ ,tan( - )= 2 1 ， tan2( - )= )(tan1 )t

28、an(2 2 = 3 4 . 从而 tan(2 - )=tan 2( - )+ = 7 1 3 4 1 7 1 3 4 tan)(2tan1 tan)(2tan =1 21 25 21 25 . 15 又tan =tan ( - )+ = tan)tan(1 tan)tan( = 3 1 1. 且 0，0 4 . 02 2 . 又 tan = 7 1 0，且 (0, ) ， 2 ，- - 2 . - 2- 0.2- = 4 3 . 点评： 本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论， 注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角. 另

29、外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律， 若 (0, ) ，则求 cos; 若 ( 2 , 2 ) ，则求 sin 等. 变式训练 若 , 为锐角，且3sin 2+2sin2=1，3sin2 -2sin2 =0，求证： +2= 2 . 证明： 已知两个等式可化为3sin 2=cos2， 3sin cos =sin2 ， ，得 a a cos sin = 2sin 2cos ，即 coscos2 -sin sin2 =0， cos( +2)=0. 0 2 ，0 2 ，0+2 2 3 . +2= 2 . 知能训练 课本本节练习4. 解答 : 4.(1)y= 2

30、 1 sin4x. 最小正周期为 2 , 递增区间为 28 , 28 kk (k Z), 最大值 为 2 1 ; (2)y=cosx+2.最小正周期为2, 递增区间为 +2k,2 +2k(k Z), 最大值为3; (3)y=2sin(4x+ 3 ). 最小正周期为 2 , 递增区间为 224 , 224 5kk (k Z), 最大值 为 2. 课堂小结 本节课主要研究了通过三角恒等变形, 把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如 y=Asin( x+) 的函数 , 从而能顺利考查函数的若干性质, 达到解决问题的目的, 充分体现出 生活的数学和“活”的数学. 作业 16 课本复习参考题A

31、组 10、11、12. 设计感想 1. 本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形, 把形如 y=asinx+bcosx的函数转 化为形如y=Asin( x+) 的函数 , 从而能顺利考查函数的若干性质, 达到解决问题的目的. 在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容. 如果给出的三 角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简， 然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 因此，三角恒等变换是求解三角函数问 题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、 合并等原因， 函数的定义域往往会发生一些变化

32、，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价. 因此， 在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义 域内分析其性质. 2. 在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出 角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为 基本训练 .其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图. 第三就是在三角恒等 变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握. 3. 今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主. 和、差、倍、半角的三角函数公式、 同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从 而确定符号 . 另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是 高考的热点 . 对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解 析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形 式出现，难度不会太大. 应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点.