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1、章末分层突破 自我校对 单位向量 坐标表示 数乘向量 坐标 夹角公式 _ _ _ _ _ _ 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算 2向量线性运算的结果仍是一个向量因此对它们的运算法则、运算律的 理解和运用要注意大小、方向两个方面 3向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向 量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题 4题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标 等 已知 OAB 中，延长 BA 到 C，使 ABAC，D 是将 OB 分成 21 的一个分点， DC 和 OA 交于 E
2、，设OA a，OB b(如图 21)， 图 21 (1)用 a，b表示向量 OC ，DC ； (1)若OE OA ，求实数 的值 【精彩点拨】(1)根据平行四边形法则求解 (2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解 【规范解答】(1)A 为 BC 的中点， OA 1 2(OB OC )， OC 2OA OB 2ab， DC OC OD OC 2 3OB 2ab2 3b2a 5 3b. (2)若OE OA ，则CE OE OC OA OC a(2ab) ( 2)ab. CE 与CD 共线，存在实数m，使得 CE mCD ， 即( 2)abm 2a5 3b ， ( 2m2)a 15 3
3、m b0. a，b不共线， 2m20， 1 5 3m0， 解得 4 5. 再练一题 1(1)若 a，b 是不共线的两个向量，且a 与 b的起点相同，则实数t 为何值 时，a，tb，1 3(ab)三个向量的终点在一条直线上？ (2)已知 A(1,1)，B(1,5)，C(x，5)，D(4,7)，AB 与CD 共线，求 x 的值 【解】(1)由题易知，存在唯一实数 .使得 atba1 3 ab 2 3 a 1 3 b， 2 3 1， 1 3 t. t1 2，即当 t 1 2时，三向量共线 (2)AB (2,4)，CD (4x,12) AB CD ，2124(4x)， x2. 向量的夹角、垂直及长度问
4、 题 1.求夹角问题 求向量 a，b夹角 的步骤：(1)求|a|，|b|，a b；(2)求 cos a b |a|b| (夹角公式 )； (3)结合 的范围 0， 确定 的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的 余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2 2y 2 2 . 2垂直问题 这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b? a b0? x1x2y1y20. 3向量的模 (1)|a| 2a2，|a| a 2. (2)若 a(x，y)
5、，则 a 2x2y2， |a|x 2y2. (1)已知向量a 与 b 的夹角为120 ，|a|3，|ab|13，则|b| _. (2)已知向量 a，b 满足(a2b) (ab)6，且 |a|1，|b|2，则 a 与 b 的 夹角为 _ (3)若|a|1，|b|2，(2ab)b，求 a 与 b 的夹角 【精彩点拨】(1)利用模与数量积进行转化求解 (2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算 (3)利用垂直关系结合数量积运算求解 【规范解答】(1)因为|ab|13，所以 |ab|213， 即(ab) 213，|a|22a b|b|213.又因为 a 与 b 的夹角为 120 ，|a|3，所 以 92
6、3|b| cos 120 |b| 213，|b|23|b|40，解得 |b|4 或|b|1(舍) (2)设 a 与 b的夹角为 ， 依题意有 (a2b) (ab)a 2a b2b272cos 6，所以 cos 1 2，因为 0 ，所以 3. 【答案】(1)4(2) 3 (3)由(2ab)b，则 (2ab) b0， 即 2a bb 20，所以 2|a|b|cos |b|20， 即 22cos 20，所以 cos 2 2 . 又0 ， 4. 再练一题 2已知 cmanb，c(2 3，2)，ac，b 与 c的夹角为 2 3 ，b c4， |a|2 2，求实数 m，n 的值及 a 与 b 的夹角 .
7、【解】c(23，2)，|c|4. ac，a c0. b c|b|c|cos 2 3 |b|4 1 2 4. |b|2. cmanb，c2ma cnb c， 16n(4)，因此 n4. 在 cmanb两边同乘以 a， 得 08m4a b. 在 cmanb两边同乘以 b，得 ma b12. 由，得 m 6， a b 2 6， cos 2 6 2 2 2 3 2 . 0， ， 6或 5 6. 向量的实际应 用 1.向量在平面几何中的应用， 向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形 法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系 密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题
8、 2向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线 的方程 3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题 已知 e1(1,0)，e2(0,1)，今有动点 P 从 P0(1,2)开始，沿着与向 量 e1e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1e2|；另一动点 Q 从 Q0(2， 1)开始，沿着与向量3e1e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e12e2|， 设 P，Q 在 t0 s时分别在 P0，Q0处，问当 PQ P0Q0 时，所需的时间为多少？ 【精彩点拨】求出 t s 后，P，Q 两点坐标由数量积为0 建立方程求解 【规范解答】e1e2(1,1)，|e1e2|2，其
9、单位向量为 2 2 ， 2 2 ；3e1 2e2(3,2)，|3e12e2|13，其单位向量为 3 13， 2 13 ，如图 依题意， |P0P |2t，|Q0Q |13t， P0P |P0P | 2 2 ， 2 2 (t，t)， Q0Q |Q0Q | 3 13， 2 13 (3t,2t) 由 P0(1,2)，Q0(2，1)， 得 P(t1，t2)，Q(3t2,2t1)， P0Q0 (1，3)，PQ (2t1，t3) 由于PQ P0Q0 ，P0Q0 PQ 0， 即 2t13t90， 解得 t2， 即当PQ P0Q0 时，所需时间为 2 s. 再练一题 3.已知 ABC 是等腰直角三角形， B9
10、0 ，D 是 BC 边的中点， BEAD， 垂足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，连接 DF，求证： ADBFDC. 图 22 【证明】如图， 以 B 为原点， BC 所在直线为 x轴建立直角坐标系，设 A(0,2)， C(2,0)，则 D(1,0)，AC (2，2) 设AF AC ， 则BF BA AF (0,2)(2 ，2 )(2 ，22 ) 又因为 DA (1,2)， 由题设 BF DA ，所以 BF DA 0， 所以 2 2(22 )0，所以 2 3， 所以BF 4 3， 2 3 ， 所以DF BF BD 1 3， 2 3 . 又因为 DC (1,0)， 所以 cosADB DA
11、DB |DA |DB | 5 5 ， cosFDC DF DC |DF |DC | 5 5 . 又因为 ADB，FDC(0，)， 所以 ADBFDC. 待定系数法在向量中的应 用 1.待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于一些数学问题，若已知所 求结果具有的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通 过变形比较，建立含有参数(待定字母 )的方程 (组)进行求解 2待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量 基本定理等就是这种形式的体现 如图 23， 在ABC中， M 是 BC 的中点， N 在 AC 上且 AN2NC， AM 与 BN 交于点 P，求
12、APPM 的值 图 23 【精彩点拨】本题主要考查三角形法则、 平面向量共线基本定理， 适当选 取基底表示出 AP ，PM ，因为点 A，P，M 共线，若有 AP PM ，则 为 APPM 的值 【规范解答】设BM e1，CN e2， AM AC CM 3e2e1，BN 2e1e2. A，P，M 与 B，P，N 共线， AP AM (e13e2)，BP BN (2e1e2) BA BP PA BC CA ， (2e1e2) (e13e2)2e13e2， 2 2， 3 3 ? 4 5， 3 5， AP 4 5AM ， APPM41. 再练一题 4设平面内给定的三个向量a(3,2)，b(1,2)，
13、c(4,1)，求满足 amb nc的实数 m，n 的值 【解】ambnc， (3,2)m(1,2)n(4,1)(4nm,2mn)， 4nm3， 2mn2， 解得 m 5 9， n8 9. 1(2015 陕西高考 )对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是() A|a b|a|b| B|ab|a|b| C(ab) 2|ab|2 D(ab) (ab)a 2b2 【解析】根据 a b|a|b| cos ，又 cos 1，知|a b|a|b| ，A 恒成立当 向量 a 和 b 方向不相同时， |ab|a|b| ，B 不恒成立根据 |ab|2a22a b b 2(ab)2，C 恒成立根据向量的运算性
14、质得 (ab) (ab)a2b2，D 恒成 立 【答案】B 2 (2015 安徽高考 )ABC 是边长为 2 的等边三角形， 已知向量 a， b 满足AB 2a，AC 2ab，则下列结论正确的是 () A|b|1Bab Ca b1 D(4ab)BC 【解析】在ABC 中，由BC AC AB 2ab2ab， 得|b|2.又|a|1， 所以 a b|a|b|cos 120 1， 所以(4ab) BC (4ab)b4a b|b| 24(1) 40，所以 (4ab)BC ，故选 D. 【答案】D 3(2015 福建高考 )已知 AB AC ，|AB |1 t ，|AC |t.若点 P 是ABC 所在平
15、 面内的一点，且 AP AB |AB | 4AC |AC | ，则PB PC 的最大值等于 () A13 B15 C19 D21 【解析】AB AC ，故可以 A 为原点， AB，AC 所在直线为坐标轴建立 平面直角坐标系，不妨设B 0，1 t ，C(t,0)， 则AP 0， 1 t 1 t 4 t，0 t (4,1)， 故点 P 的坐标为 (4,1).PB PC 4，1 t 1 (t 4，1)4t1 t 17 4t 1 t 172 41713. 当且仅当 4t1 t ，即 t1 2时(负值舍去 )取得最大值 13. 【答案】A 4(2015 天津高考 )在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABD
16、C，AB2，BC1， ABC60 .动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE BC ，DF 1 9 DC ，则 AE AF 的最小值为 _ 【解析】在等腰梯形 ABCD 中，由 ABDC，AB2，BC1，ABC 60 可得 ADDC1. 建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C 3 2， 3 2 ，D 1 2， 3 2 ， BC 3 2， 3 2 (2,0) 1 2， 3 2 ， DC 3 2， 3 2 1 2， 3 2 (1,0) BE BC 1 2 ， 3 2 ，E 2 1 2 ， 3 2 . DF 1 9 DC 1 9 ，0 ，F 1 2 1 9 ， 3 2 . AE AF 2 1 2 ， 3 2 1 2 1 9 ， 3 2 2 1 2 1 2 1 9 3 4 17 18 2 9 1 2 17 182 2 9 1 2 29 18. 当且仅当 2 9 1 2 ，即 2 3时取等号，符合题意 AE AF 的最小值为 29 18. 【答案】 29 18