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1、第 1 页 共 4 页 基本初等函数 - 幂函数 一、教材分析： 1、教材的作用与地位： 幂函数这部分内容在普通高中课程标准实验教科书数学（A）必修 1 第二章第三节，幂 函数几起几落， 老教材有它、试验修订本删去它、课程标准实验教科书又有它。当然两次在 教材中的地位不一样，前一次分量很重，从概念、图象、性质到应用用时五课时，而且排在 基本初等函数的首位；这一次分量较轻，从概念到图象 （ 1 231 2 ,yx yxyxyxyx） ，利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇 偶性、单调性、公共点，用时一课时，而且排在基本初等函数的最后“减肥后 重出江湖”。从特殊到一般再到特殊是人的一般认知规
2、律，新课程教学理念是：让学生经历 数学知识的形成与应用过程；鼓励学生自主探索、 自主学习； 培养学生创新精神和实践能力； 尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。无论从认知规律还是从新课程教学理念，我 理解为这节内容属于“再到特殊”、 “经历数学知识应用过程”，第一章函数概念经历数学知 识的形成过程， 第二章基本初等函数经历数学知识的应用过程，它包括应用一指数函数；应 用二对数函数； 应用三幂函数。应用一师生手把手过程，应用二学生类比学习过程，应用三 学生自主 探究 过程。 2、课程标准内容： 通过实例， 了解幂函数的概念；结合函数 1 231 2 ,yx yxyxyxyx的图象， 了解它们
3、的变化情况。 3、教学要求： 23 幂函数 基本要求 了解幂函数的概念。 掌握以下五种幂函数的图象和性质 yx， 2 yx， 3 yx， 1 y x ， 1 2 yx 发展要求了解幂函数 xy（为有理数）的图象特征。 说 明不必在一般的幂函数上作引伸和作过多的介绍。 4、教学重点难点： （1） 、 教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的基本性质。 （2） 、教学难点是画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。 5、课时分配： 约 1课时 第 2 页 共 4 页 二、学情分析： 学生已经学习了函数概念- 经历数学知识的形成过程，学习了基本初等函数- 经历 数学知识的应用过程，经过了手把手过程、类比
4、学习过程，而这节课在经历自主探究 过程。 应该是属于水到渠成比较自然的过程。 三、教学设计： 课题： 2.3 幂函数 一教学目标： 1知识技能 （1）理解幂函数的概念； （2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2过程与方法 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后探究 幂函数的图象和性质. 3情感、态度、价值观 （1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二重点、难点 重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5学法与教具 （1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的
5、定义和性质; （2）教学用具：多媒体 三教学过程： 引入新知： 阅读教材 P90的具体实例（ 1）（5） ，思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？ （2）以上问题中的函数有什么共同特征？ 让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答： 1、 （1）乘以 1 （ 2）求平方（3）求立方 （4）求算术平方根（5）求 1 次方 2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数 . 探究新知 ： 1幂函数的定义： 一般地，形如yx （xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数 . 如 11 2 34 ,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都 是基
6、本初等函数. 2研究函数的图像 （1）yx（2） 1 2 yx（3） 2 yx （4） 1 yx（5） 3 yx 第 3 页 共 4 页 提问：如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最 后，教师利用电脑软件画出以上五个函数的图像. 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -551015 让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引 导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像，填P91探究中的表格 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域R R R |0x x|0
7、x x 奇偶性奇奇奇非奇非偶奇 在第象限 单调增减性 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递减 定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1） 拓展新知： 你能猜想 4 xy， 5 xy， 3 1 xy， 3 xy， 3 1 xy等函数与所学的五个函 数图象，又有什么细微的差别呢？ 请用列表描点或计算机画出他们的图象，并归纳他们的特征，在小组之间进行交流活 动。 幂函数性质： （ 1）所有的幂函数在),0(都有意义， 并且图象都过点 （1，1） （原因：) 11 x ； （ 2）0时，幂函数的图象都通过原点，并且在),0(上是增
8、函数 （从左往右 看，函数图象逐渐上升；0时， 幂函数的图象都通过原点，并且在), 0( 上是减函数（从左往右看，函数图象逐渐下降。 yx 1 2 yx 2 y x y=x 3 y=x -1 0 第 4 页 共 4 页 应用新知： 1证明幂函数( )0,f xx在上是增函数 证：任取 121 ,0,),x xx且 2 x则 1212 ()()fxfxxx = 1212 12 ()()xxxx xx = 12 12 xx xx 因 12 xx0， 12 xx0 所以 12 ()()f xf x，即( )0,f xx在上是增函数 . 思考： 我们知道，若 1 2 () ( )0,1 () fx yf x fx 若得 12 ()()f xf x，你能否用这种作比的方法 来证明 ( )0,f xx在 上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？ 2利用函数的性质，判断下列两个值的大小 （1） 11 66 2 ,3（2） 33 22 (1) ,(0)xxx（3） 22 2 44 (4), 4a 分析：利用幂函数的单调性来比较大小. 5课堂练习 画出 2 3 yx的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6归纳小结：提问方式 （1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业： P92 习题2.3 第 2、3 题