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1、函数 一、函数( )yf x及有关性质。 1. 函数定义： ( )yf x中，自变量x的取值范围为函数的定义域。当xa时，( )yf a叫函数值。所 有函数值的集合叫做函数的值域。 2. 映射的定义： :fAB 两个允许：两个不允许： 3. 同一函数：_相同。 _相同。值域相同。 （可由得） 4. 函数定义域求法：使函数有意义的条件。 整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R。 分式函数的分母不为0。 偶次根式函数，被开放数大于或等于0。 （( )f x的( )0f x） 对数函数的底数大于0 且不等于1，真数大于0。 有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。 5.函数的单调性：定义： 逆运用
2、： 当( )yf x在区间 m，n上为增函数时，若 ( ) ( )fxf g x则有： ( )( ) ( ) ( ) xg x xn g xm 当( )yf x在区间 m，n上为减函数时，若 ( ) ( )fxf g x则有： ( )( ) ( ) ( ) xg x xm g xn 常用函数的单调性： .一次函数ykxb，当0k时为增函数；当0k时为减函数。 .二次函数 2 yaxbxc，当 0a时在( , 2 b a 为减函数； 在,) 2 b a 为增函数。 当 0a时在( , 2 b a 为增函数；在,) 2 b a 为减函数。与开口方向和对称轴有关。 .反比例函数 1 y x 在,00
3、与，上均为减函数； 1 y x 在,00与，上 均为增函数。 . x ya01aa且，当01a时为减函数；当1a时为增函数。 .log a yx01aa且，01a时，在0,上为减函数；当1a时，在 0,上为增函数。 6.反函数：求函数( )yf x的反函数的方法： （1） 先根据原函数的定义域求出其值域 （2） 由( )yfx解出( )xy （3） 将( )xy中的,x y互换，即得反函数 1( ) yfx标明定义域 有关性质：（ 1） 原函数( )yf x与反函数 1( ) yfx的定义域和值域正好互换，原 函数过点,a b，则反函数过点,b a。 （ 2） 互为反函数的图象关于yx成轴对称
4、图形。 （ 3） 原函数与反函数的单调性相同。 7.函数得奇偶性： 存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内， 将xx换成 后（ 1）若()( )fxf x，则( )yf x为偶函数。（2）若()( )fxf x，则( )yf x为 奇函数。 有关性质：（ 1） 偶函数得图象关于y轴对称，在对称区间上的单调性相反。 （ 2） 奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。 8.求函数值域的基本方法 （1） 利用函数的单调性求值域：若( )yf x在,m n上为增函数则其值域为(),( )f mf n 若( )yf x在,m n上为减函数则其值域为( ),( )f nf m。
5、（2）配方法：二次函数 2 224 () 24 bacb yaxbxca x aa xR 当0a时，有最小值 2 4 4 acb a ，值域为 2 4 4 acb a ，； 当0a时，有最大值 2 4 4 acb a ， 2 4 , 4 acb a 。 （3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求 21 21 x x y 的值域。 （4）换原法：还原注意新元素的范围。例如：求1yxx的值域。 （5） 判别式法：形如： 2 111 2 a xb xc y axbxc 类型，可转化为关于x的一元二次方程有解，0 求值域。 （6）图象法。 9.周期性：若函数( )yf x对于最小正
6、周期T，使()( )f xTf x，则称T为函数 ( )yf x的最小正周期。 10.对称性：若()()f txf tx则称x t为 ( )yf x的对称轴 二、指数函数与对数函数 （一）指数 1 根式与分数指数幂： n a nm a p a= 1 p a 运算法则： mn aa m n a a n m a m ab m a b () nn a nn a 2 指数函数的图象和性质： x ya01aa且 x ya1a x ya01a 3 指数方程：（1） ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x（化成底数相等） （2） 2 ()0 xx aman可换元后求解，令 x ta(0)t
7、 4 指数复合函数的单调性： ( )u x ya （1）0 1a 时， ( ) ( ) u x yau x与的单调性相反 （2）1a时， () ( ) u x yau x与的单调性相同（一致） （二）对数函数 1 对数式与指数式互化：log b a aNNb；log 1 a logaalog n a a 2 对数的运算法则：loglog aa MNloglog aa MN log n a Mlog n a m 对数恒等式： logaN a 图 象 性 质 定义域 值域 定 点 单调性增函数减函数 换底公式： log log lg c a b b a l o g m ab1 1 l o g a
8、b 1 logab 3 对数函数logayx01aa且的图象和性质 logayx1alogayx01a （1）当a与b都大于 1 或都小于 1 时，log0 ab （2）当a与b一个大于1 另一个小于1 时，log 0 ab 4 对数方程： ( )( ) log( )log( )( )0 ( )0 aa fxg x f xg xf x g x 四 图象变换，设0,0ab 1.平移： ( )(),( )() aa yf xyf xayf xyf xa 向右平移个单位向左平移个单位 2.( )( ),( )( ) b yf xyf xb yf xyf xb 向上平移 b个单位向下平移个单位 3.对
9、称：( )( ),( )() xy yf xyfxyfxyfx 关于 轴对称关于轴对称 ( )()yf xyfx 关于原点对称 图 象 性 质 定义域 值域 定 点 单调性增函数减函数 函数习题 1、关于集合A 到集合 B 的映射，下面的说法错误的是（） A A 中的每一个元素在B 中都有象B A 中的两个不同元素在B 中的象必不同 C B 中的元素在A 中可以没有原象D 象集 C 不一定等于B 2、已知, x y在映射f下的象是,xy xy，那么象1, 2的原象是 3、已知 2 1fxx，则2f，1fx 4、下列各函数中，表示同一个函数的是（） A 0 12yxy与B 1 x yy x 与
10、C 2 yxyx与D 2 2 211yxxyx与 5、下列函数中( ), ( )f xg x为同一函数的是（） A. 444 4 ( ), ( )()f xxg xxB. 33 ( ), ( )f xx g xxC. 0 ( )1, ( )f xg xxD. 2 4 ( ), ( )2 2 x f xg xx x 6、二次函数 2 22yxx的值域是 7、已知 2 1fxx，试求 1ff的值。 8、 函数1,1,4yxxZx且， 定义域是， 值域是。 9、若 2 3,fxxg xfx，则g x的定义域为 10、已知函数 21, 21, x fx x 0 0 x x 则11ff 11、fx是二次
11、函数，且23,27,03fff，求fx 12、 （1）已知3fxx，求2fx； （2）已知223fxx，求fx 13、已知 2 2142fxxx，求fx x y O x y O x y O o x y O 14、下列各图中，哪一个不可能是函数yfx的图象（） 的图象是：15、函数1yx 16、函数 1 1yx x 的值域是 17、函数42yxx的定义域是 18、函数 2 yxx的值域为，函数 2 ( 11)yxxx的值域为 19、函数52yx在(,)内是（） A.增函数B.减函数C. 奇函数D.偶函数 20、函数 2 24yxx的单调区间是 21、已知函数 2 2(1)2yxa在,4上是减函数
12、，则实数a的取值范围是 22、求证 : 2 2fxxx在区间 1,2 上是减函数 23、函数1(0)yxx的反函数是 24、设2fxax，若 1 12f，则a的值是 25、已知 2 2 (1) 1 fxx x ，求 12 () 3 f的值 26、若点(1,2)既在函数yaxb的图象上，又在其反函数的图象上，则a= 指数函数和对数函数习题 1、 化简 1 2 2 3 的值等于 2、aaa 3、 将下列根式化为指数形式： 52 a 53 1 a 3 1a 4、 计算： 1 0 63 0.2534 17 8223 86 5、 已知函数 1 ( )4 x f xa的图象恒过定点P，则点 P的坐标是 6
13、、 比较下列数的大小 （1） 23 33和（2） 34 11 22 和（3） 2 4 1 7 7 和（4） 2.5 48和 7求下列各式中 x的范围 （1） 2 22 x （2） 11 22 x （3） 2 231 2 2 x （4） 2 39 x （5） 2 1 25 5 x 8、求下列各函数的定义域 （1） 1 1 2 x y（2） 2 1 2 x y（3）31 x y 9、函数 21 1 3 27 x y的定义域是 10、求下列函数的值域 （1） 1 2 x y（2） 1 12 2 x yx（ 3）3 (1) x yx（4） 1 2 x y 11、若函数 ( )35 x f x(2)x，
14、则 1( ) fx 的定义域是 12、有以下四个命题，（ 1）若 5 log3,15xx则； （ 2）若 25 1 log,5 2 xx则； （3）若 5 log0,5xx则； （4）若 1 5 log3,125xx则，其中真命题个数为 13、 13 5 log 5,log2,abba则 14、已知log 162 x ，则x等于 15、化指数式为对数式：464 x 可化为； 21 3 9 可化为； 化对数式为指数式： 2 log 83可化为；3 1 log3 27 可化为。 16、已知log 2,log 3 aa mn，求 23mn a 的值。 17、设 333 log 2,log 82log
15、 6a 则用a表示的形式是 18、求下列各函数的定义域 （1） 3 log 21yx（2） 2 1 log1 1 y x （ 3） 2 lg 231yxx （4） lg1yx 19、比较下列个式的大小 （1）lg 21和（2） 1 2 log 20和（3） 1 2 log 33 2 和log 20、函数 1 2 logyx，0,8x的值域是 21、求下列各式中 x的范围 （1） 22 loglog 3x（2） 1 2 log (1)2x（3） 1 lg1 x 22、 11 33 log 2 log 2.5，的大小关系是（） A. 11 33 log 2log 2.5C. 11 33 log 2log 2.5=D. 11 33 log2log2.5 23、已知一种放射性物质不断变化为其他物质，且经过 5 年，这种放射性物质剩留的质量是 最初的质量的一半，求每经过一年该放射性物质剩留的质量平均是上一年质量的百分之 几。 （精确到0.01 ；参考数据：lg 20.3010,lg0.87060.0602,lg1.1490.0602） (5 分) 24、求函数 2 3125yxx当变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的 x的值。 （1）xR（2）03x（3）11x