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1、三角函数 一、任意角的三角函数 1、角的概念的推广：正角、零角、负角及象限角。 （1）与角终边相同的角的集合： 终边落在 x轴正半轴的角的集合： 终边落在x轴上的角的集合： （2）第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 例1、如果是第二象限角，则 2 、2分别是第几象限角？ 2、弧度制： （1）弧长l、半径r、圆心角，则= 扇形面积S= （2）弧度与角度的相互转化：180 1弧度 =3 .57 180 1弧度 3、任意角的三角函数定义 （1）已知角的终边过点),(yxP，设 22 yxOPr则 sincostan cscseccot （2）三角函数值的符
2、号与角所在象限关系：一全正，二正弦，三两切，四余弦 （3）用单位圆中有向线段MP 、OM 、AT分别表示正弦线、余弦线、正切线的作图方法 例 2、已知角的终边上有一点)5,12(aaP， （0a） 。求cossin2的值 （4）记住特殊角的三角函数值 030456090120150180270360 弧度 sin cos tan 4、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系 （2）商的关系 （3）倒数关系 例 3、已知 mcossin ，求（ 1） cossin （2） 33 cossin 例 4、已知2tan，求值： （1） cos9sin4 cos2sin2 （2） 22 cos5coss
3、in3sin4 5、诱导公式 （1）)sin(= )cos(= )tan(= )sin(= )cos(= )tan(= )2sin(= )2cos(= )2tan(= )sin(= )cos(= )tan(= )2sin( k= )2cos( k= )2tan( k= k与的三角函数关系：函数名不变，符号看象限。 （2）) 2 sin(= ) 2 cos(= ) 2 tan(= ) 2 sin( = ) 2 cos( = ) 2 tan( = ) 2 3 sin(= ) 2 3 cos(= ) 2 3 tan(= ) 2 3 sin(= ) 2 3 cos(= ) 2 3 tan(= 2 与
4、2 3 的三角函数关系：函数名要变，符号看象限。 二、两角和与差的三角函数 1、)sin()cos()tan( 2、二倍角公式 2sin2tan 2cos = = 降幂公式： 2 sin， 2 cos 注意公式的逆用：)tantan1)(tan(tantan 2 cos 2 sin= 例 5、 （1）计算 9 4 cos 9 2 cos 9 cos的值； （2）已知、都是锐角，且 5 4 cos, 5 3 )sin(求sin； （3）化简 20cos 40sin220sin ； （4）求 )25tan1)(20tan1(的值； （5）已知 3 1 )sin(, 2 1 )sin(，求cotta
5、n的值 3、辅助角公式： )sin(cossin 22 baba 万能公式： 2 tan1 tan2 2sin 2 2 tan1 tan1 2cos 2 tan1 tan2 2tan 例 6、要使 m m xx 4 64 cos3sin有意义，求m的取值范围 例 7、已知1tan，sin3)2sin(，求)tan(的值 4、分角拆角 )()(2)()(2 )() 4 ( 24 三、三角函数的图像和性质 1、xysin、xycos、xytan的图像和性质 xysin xycosxytan 图象 定义域 值域 单调区间 奇偶性 周期 对称轴 对称中心 2、sin()yAwx（其中0,0Aw） 值域
6、AA,周期 w T 2 振幅 A 相位wx初相 （1）可利用“五点法”作图 （2）由xysin得图象经过平移、伸缩变换得到)sin(wxAy的图象的步骤：相 位变换、周期变换、振幅变换。 （3）根据图象求函数)sin(wxAy（0,0Aw）的表达式时常用待定系数法。 例 8、做出函数) 3 2sin(2xy的图象，并说明怎样由xysin变换得到。 3、反三角函数： (1)反正弦：在闭区间, 22 上， 适合sin( 11)xaa的角x， 叫实数a的； 记作：。这时arcsin, 22 xa( 11)a，且sinax。 （2） 反余弦： 在闭区间0,上， 适合cos( 11)xaa的角x， 叫实
7、数a的； 记作。这时arccos0,xa( 11)a，且cosax。 （3）反正切：在开区间, 22 上，适合tan()xa aR的角x，叫实数a的记 作：。这时arctan, 22 xa()aR，且tanax。 4、解斜三角形 ABC中三边cba,的对角 A，B，C 1、 正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin （R是三角形外接圆半径） CBARAcaBbcCabSsinsinsin4sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 ARasin2，BRbsin2，CRcsin2 B A b a sin sin 等，注意灵活运用。 2、 余弦定理：Abccbacos2
8、 222 ， bc acb A 2 cos 222 Baccabcos2 222 ， ac bca B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ， ab cba C 2 cos 222 3、 内角和CBA, 大边对大角。 )(CBA 222 CBA )sin(sinCBA 2 cos 2 sin CBA )cos(cosCBA 2 sin 2 cos CBA 4、 （1）若 A为最小角，则 600A，1cos 2 1 A。 （2）若 B为最大内角，则 18060B， 2 1 cos1A （3）若ABC为锐角三角形，则BABA 2 , 2 cosAcosB; 222222222 ,ab
9、cbac cba ( 任两边平方和大于第三边平方) （4）若ABC为钝角三角形，设两锐角A和 B，则 2 AB， 222 cos;cos0,. 2 ABABCcab 例 9在ABC中，若 222, sincossinsin2sincos ,ABCABC且 试判断 ABC的形状； 若coscos,aAbB试判断ABC形状。 三角函数习题 1、在平面直角坐标系中画出（1）120（2）640 （ 3）30 ,390 , 330 2、写出终边在x轴上的角的集合：写出终边在y轴上的角的集合： 3、书第 6页例 3 4、分别写出第一、二、三、四象限角的集合： 5、若是第一象限角，则是（） 第一象限第二象限
10、第三象限第四象限 6、sintantancostancos 336642 7、已知扇形AOB的圆心角为120 ，半径长为，求 （） AB的长 （）弓形AOB的面积 8、 （ 2003 上海）若是第四象限角，则在（） A第一象限B第二象限第三象限第四象限 9、三角函数在各自象限的符号（书例 3） 终边相同的角的三角函数关系（书例 5） 10、 911 costan() 46 11、已知角的终边经过点(4 , 3 )Paa (0)a，求2sincos的值。 12、在0,2内满足 2 coscosxx的x的取值范围是。 13、已经 5 sin 13 ，求cos,tan的值。 14、已知tan2，求
11、（1） sincos sincos 的值 （2） 22 2sin3sincos2cos 15、已知 1 sincos 8 ，且 42 ，则cossin的值等于（） A 3 2 B 3 4 C 3 2 D 3 2 16、 13 tan, 3 22 ,则sincos的值为（） A 3 10 B 3 10 C 3 10 D 3 10 17、 sin(2)cos() cos()sin(3)sin() 18、 （2005 湖南）tan600 的值： 19、若cot130 a，cos50是（） A 2 1 a a B 2 1 a a C 2 1 a a D 2 1a a 20、化简cos()sinsin(
12、)cosxyyxyy 21、tan10 tan203(tan10tan20 ) 22、设,(0,) 2 ，且 14 tan,tan 73 ，则 23、在ABC中，已知 53 cos,cos 135 AB，cosC的值为 24、如果tan,tan是方程 2 330xx的两实根，则 sin() cos() 25 、（ 2006重 庆 ） 已 知 3312 ,sin(),sin() 45413 ， 其 中 3 (, 2) 2 ， 3 (,) 424 ；则cos() 4 26、求(cossin)(cossin) 12121212 的值 27、化简2 1 cos222cos2 3 ( ,) 2 28、若
13、tan2，则 2 sin 2cos2 1cos 的值为： 29、 （2005 全国） 2 2sin 2cos 1cos2cos2 等于 三角函数的图象及其性质 一知识清单 1函数sin ,0,2yx x的五个关键点是， 其中三个零值点，两个最值点。 函数cos ,0,2yx x的五个关键点是， 其中两个零值点，三个最值点。 由上述五个关键点作正弦、余弦函数在0,2上的简图的方法，叫。 2观察正弦曲线和余弦曲线，不难看出，所有零值点都是它们的，过所有最值 点的竖直直线都是它们的。 3正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 正弦函数sinyx，xR余弦函数cosyx，xR 图象 定义域 值域 最值
14、周期性 奇偶性 单调性 4周期函数 对于函数( )f x，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义内的任意一个值时，都 有，那么函数( )f x就叫周期函数，非零常数 T叫周期函数( )f x 的周期。 函数sin(),yAwxxR和函数cos(),yAwxxR（其中,A w为常数， 且0,0Aw）的周期（注意，若0,w则 2 T w ） 5函数的奇偶性 如果对于函数( )fx的定义域内任一个x，都有，那么函数( )fx就叫做偶函 数；如果对于函数( )f x的定义域内任一个x，都有，那么函数( )fx就叫做奇 函数，如果函数( )f x是奇函数或偶函数，那么我们就说函数( )f x具有奇偶性
15、。 奇函数的图象，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数 是奇函数；偶函数的图象，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那 么这个函数是偶函数。 6、 正切函数的图象 正切函数tan ,yx xR且() 2 xkkZ 的图象，叫做，并作出此 图： 它是由被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。 7、 正切函数tan ,yx xR且() 2 xkkZ的性质 （1）定义域； （2）值域； （3）周期性：是周期函数，周期是T= ； （4）奇偶性：是函数，既tan()x，其图象关于对称； （5）单调性：在每个开区间内都是增函数。 二、基础训练 1函数2cos3yx的值域是 2函数
16、5 sin(2) 2 yx的图象的一条对称轴方程是（） A 2 xB 4 xC 8 xD 5 4 x 3、函数cos2yx的单调递增区间是 4、函数sin23cos2yxx的最大值是 5、三角函数sincosyxx的最小正周期是 6、判断函数cos() 2 yx的奇、偶性。 7 、 写 出 使 下 列 不 等 式 成 立 的x的 取 值 范 围 （ 1 ） 3 sin() 2 xxR，（ 2 ） 22cos0()xxR 8、求下列函数的定义域：（1） 1 1sin y x ； （2） 1 1cos y x ； （3）cosyx； （4） 2sinyx 9、函数 1 1tan y x 的定义域是。 10、求函数 1 tan() 26 yx的单调区间。 11、函数 tan() 4 yx 的定义域是。 12、解不等式 3 tan 3 x 13、 下列点中，为函数tan() 5 yx 3 , 10 xRxkkZ 且的一个对称中心是 （） A (0,0)B (,0) 5 C 4 (,0) 5 D ( ,0)