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1、圆锥曲线方程 一、椭圆 1、基本知识点： 对称轴与 中心 对称轴：对称中心： 长轴：，短轴：，焦距：，焦点在长轴上。 离心率 e （） e越接近于0 椭圆越扁平；e越接近于1，椭圆越接近圆。 定义 第 一 定 义 第 二 定 义 平面内与两定点 21,F F的距离和等于常数（大 于）的点的轨迹叫做椭圆。定点为椭圆的焦 点。 平 面 内 到 定 点F(c,0) 的 距 离 和 它 到 定 直 线 2 : a lx c ：的距离之比是常数 (0) c ac a 的动点 P（ x,y）的轨迹是椭圆，其中常数e= a c 叫做椭圆 的离心率，定直线 2 : a lx c 叫做椭圆的准线。 标准方程 参
2、数方程 图形 顶点 范围 焦点 准线 a,b,c 的关系 F1 F2 P y x 1 l 2 l F 1 F 2 y x 1 l 2 l 焦准距 焦点到对应准线的距离教焦准距，用p 表示， p= 通经 过焦点而垂直于焦点所在对称轴的弦长叫通径，其值为ep2 焦 点 三 角 形 称 21F PF叫椭圆的焦点三角形，面积公式： 21F PF S = 2、椭圆上是否存在点P与两焦点 21,F F连接使90 21PF F( 以 21,F F为直径的圆是否与 椭圆存在交点 ) 2 2 0ecb时0 个 2 2 ecb时 2 个 1 2 2 ecb时 4 个 3、点),( 00 yxP与椭圆1 2 2 2
3、 2 b y a x 的位置关系： 点),( 00 yxP在椭圆上1 2 2 2 2 b y a x 点),( 00 yxP在椭圆内1 2 2 2 2 b y a x 点 ),( 00 yxP在椭圆上1 2 2 2 2 b y a x 4、直线mkxy与椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的位置关系： 建立直线与椭圆的方程组，化成关于yx或的一元二次方程 椭圆系方 程 具有公共焦点的椭圆系方程：)(1 2 2 2 ck ck y k x 其中 具有相同离心率的椭圆系方程：)0,0( 2 2 2 2 ba b y a x 中点弦 以点),(yxM为中点的弦的 斜率为k，则k 以点),(yxM
4、为中点的弦的斜率为 k，则k 焦半径 1 PF 2 PF 1 PF 2 PF 1 2 2 2 2 b y a x mkxy 01 21 2 2 2 2 2 2 2 b m x b km x b k a （二次项系数大于0） 0直线与椭圆相交；有2 个焦点。 0直线与椭圆相切；有1 个焦点。 0直线与椭圆相离；没有焦点。 二、双曲线： 1、基本知识点： 第一定义： 平 面 内 与 两 定 点 21, F F的距离差的绝对值等于常数（小 于）的点的轨迹叫做双曲线。两定点为双曲线的焦点。 第二定义： 平面内到定点F(c,0)的距离和它到定直线 2 : a lx c 的距离之 比是常数)0(ac a
5、c 的动点 P（x,y ）的轨迹是双曲线，其 中常数e= a c 叫做双曲线的离心率，定直线 2 : a lx c 叫做双曲 线的准线。 标准方程 图形 顶点 范围 焦点 准线 a,b,c的 关系 且cba,。 对 称 轴对称轴：，对称中心： 定义 与中心实轴：，虚轴：，焦距：，焦点在实轴上。 离心率 e （） e越小双曲线开口越小，e越大双曲线开口越大 焦准距焦点到对应准线的距离教焦准距，用p 表示， p= 通径 过焦点而垂直于焦点所在对称轴的弦长叫通径，其值为ep2 焦 点 三 角形 称 21F PF叫椭圆的焦点三角形，面积公式： 21F PF S = 中点弦 以点),(yxM为中点的弦的
6、斜率 为k，则k 以 点),(yxM为中 点 的弦 的 斜 率为 k，则k 焦半径 1 PF 2 PF 1 PF 2 PF 2、等轴双曲线： 方程：渐近线：离心率：e= 3、直线mkxy与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的位置关系： 建立直线与双曲线的方程组，化成关于yx或的一元二次方程 1 2 2 2 2 b y a x mkxy 01 21 2 2 2 2 2 2 2 b m x b km x b k a 当二项式系数为0，既 2 2 2 1 b k a =0 a b k时，直线平行于渐近线与双曲线相交， 有一个交点。 当 a b k时：方程为一元二次方程 0直线与双曲线相交；有
7、2 个焦点。 0直线与双曲线相切；有1 个焦点。 0直线与双曲线相离；没有焦点。 三、抛物线： 1、基本知识 ; 定义平面内与一定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F 叫 双曲线系 方程具有公共焦点的椭圆系方程：)0(1 2 2 2 ck ck y k x 其中 具有相同相同渐近线系方程为： 做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 标 准 方 程 2 y 2 y 2 x 2 x 图形 通式 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 通径 过焦点而垂直于焦点所在对称轴的弦长叫通径，其值为ep2 焦半径 2、mkxy与抛物线pxy2 2 的位置关系： 建立直线与抛物线的方程组，化成关于
8、yx或的一元二次方程 pxy mkxy 2 2 022 222 mxpkmxk 当二项式系数为0，既 2 k=00k时，直线平行于对称轴与抛物线相交，有一个交 点。 当0k时：方程为一元二次方程 0直线与抛物线相交；有2 个焦点。 0直线与抛物线相切；有1 个焦点。 0直线与抛物线相离；没有焦点。 3、定值顶点问题： （1）直线l过抛物线pxy2 2 焦点且与抛物线交于 2221 ,yxByxA两点： 以 AB为直径的圆与抛物线准线相切。 过点 A ，B做准线 l的垂线，垂足为 C，D。 2 CFD，AD与 BC相较于原点。 21x x， 21y y，OBOA （2）直线l与抛物线pxy2 2
9、 相交于 2221 ,yxByxA两点，若0OBOA，则 ; 21x x 2 4p, 2 21 4pyy, 直线恒过点)0,2p。 椭圆及其标准方程习题 1求适合下列条件的标准方程 （1）两个焦点坐标分别是( 3,0),(3,0)，椭圆经过点(5,0) （2）两个焦点坐标分别是(0,5),(0,5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26。 2椭圆 22 1 25169 xy 的焦点坐标是 3椭圆 22 1 1312 xy 上一点 P 到两个焦点的距离的和为 4已知椭圆的方程为 22 2 1 16 xy m ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是 5椭圆 22 1 259 xy 上一点 P到一个焦点
10、的距离为5，则 P 到另一个焦点的距离为 6椭圆 22 2312xy的两焦点之间的距离是 7若三角形ABC 的两个顶点坐标( 4,0),(4,0)AB，三角形ABC 的周长为18，则顶点C 的轨 迹方程为 椭圆的几何性质习题 1求椭圆 22 2525xy的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标、准线和离心率。 2椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是 3已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 与椭圆 22 1 48 xy 有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是 A 22 2 (0) 84 xy mmB 22 1 1664 xy C 22 1 82 xy D 以上都不可能 4若椭圆
11、 22 22 1(0) xy ab ab 的两准线间的距离为 16 3 3 ，离心率为 3 2 ，则椭圆的标准方 程为 5已知点(1,2)A在椭圆 22 1 1612 xy 内， F 的坐标为2,0，在椭圆上求一点P 使2PAPF最 小。 双曲线及其标准方程习题 1双曲线 22 9161xy的焦距是 2已知定点 1( 2,0) F、 2(2,0) F，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是 A 1PF2PF 3B 1PF2PF 4 C 1 PF 2 PF5D 2 1 PF 2 2 PF4 3已知双曲线 22 1 916 xy 上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一
12、个焦点的距离 为 4若动点 P 到 1( 5,0) F与点 P 到 2(5,0) F的距离的差为8，则 P点的轨迹方程是 5P是双曲线 22 16xy的左支上一点， 12 ,F F分别是左、右焦点，则 1 PF 2 PF= 双曲线的几何性质习题 1 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点坐标为0,2，则双曲线的 标准方程为。 2 双曲线与椭圆 22 1 1664 xy 有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，则双曲线方程为 3 已知双曲线的渐近线方程为 3 4 yx，则双曲线的离心率为 4 准线方程为 1y ，离心率为2的双曲线的方程是 5 已知双曲线 22 1 45 xy ，F 为其右焦点，4,1A为平面上一点，点P 为双曲线上一点，求 2 3 PAPF的最小值。 抛物线及其标准方程习题 1 分别满足下列条件的抛物线的标准方程。 （1）过点3, 4； （2）焦点在直线3150xy上已知抛物线的焦点为3,3，准线为 x 轴，求抛物线的方程。 2点 M 与 F0, 2的距离比它到直线:30ly的距离小1，求点 M 的轨迹方程。 3已知点2,3与抛物线 2 2(0)ypx p的焦点的距离是5，求p的值。 4抛物线 2 yax的准线方程是2y，则a为 5圆心在抛物线 2 2yx上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是