高中数学高一上册复习资料.pdf

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1、高一上期知识要点- 1 - 第一章集合与简易逻辑 一、集合： 1. 集合的定义： 集合的表示方法： 数集： * ,N NZ Q R C(复数集 ) 集合的特性： 2. 元素与集合的关系： 集合与集合的关系： 空集是任何集合的_，是任何非空集合的_。 任何一个集合都是他自身的_。 集合 123 , n a aaa 的子集个数有_个，真子集有_个，非空真子集有_个。 当 AB 时，一般要分A与 A两种情况。 3. 交集是指A 与 B 中公共元素构成的集合，AB=x| 并集是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，AB=x| 一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。 有关系式：若AB=A

2、 ，则 _；若 AB=A ，则 _； () () UU C AC B_ 、() () UU C AC B_。 二、不等式解法： 1. 绝对值不等式解法： a0 a=0 aa 的解集 |(0)axbm mmaxbm |(0)axbm maxbmaxbm或 | | | axbn naxbm axbm 2. 二次不等式： 22 0(0)axbxcaxbxc与二次函数 2 yaxbxc 以0a为例 2 4bac000 2 yaxbxc的 图象 高一上期知识要点- 2 - 方程 2 0axbxc 的根 2 0axbxc 的解 2 0axbxc的解 3. 分式不等式： 0()()0 axb axbcxd

3、cxd ()()0 0 0 axb cxd axb cxdcxd 形如 xa c xb 类型的可移项0 xa c xb 化简来解。 4. 简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。 5. 指数不等式： ()( )fxg x aa 01,_ 1,_ a a 时 时 6. 对数不等式：log( )log( ) aa f xg x可转化为不等式组 当 01a 时， _ _ ；当1a时， _ _ 。 解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对 数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。 三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集） 1. 命题可分为真命

4、题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。 复合命题形式有“p 或 q” ， “p 且 q” ， “非 p”三种形式。 2. 复合命题的真值表。 P q p 或 q p 且 q 非 p 真真 真假 假真 假假 3. 四种命题的关系： 原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。 互为逆否 互 否 互 否 原命题，若p 则 q 逆命题，若q 则 p 逆否命题，若q 则p 否命题，若p 则q 互逆 互逆 高一上期知识要点- 3 - 4. 充要条件： 若 A B 但 BA，则 A 是 B 的_条件。 若 AB 但 BA ，则 A

5、 是 B 的_条件。 若 AB ，则 A 是 B 的_条件。 若 AB 且 BA，则 A 是 B 的_条件。 四、恒成立问题： 1. 2 0axbxc恒成立，可令 2 ( )f xaxbxc，函数图象恒在x轴上方。 等价于： 0 0 0 a b c 0 0 a 2. 2 0axbxc恒成立，等价于： 0 0 0 a b c 0 0 a 例：已知不等式 22 (1)2(1)30axax恒成立（或解集为R） ，求a的取值范围。 第二章函数 一、函数( )yf x及有关性质。 1. 函数定义： ( )yf x 中，自变量x的取值范围为函数的定义域。当xa时， ( )yf a 叫函数值。 所有函数值的

6、集合叫做函数的值域。 2. 映射的定义： :fAB 两个允许：两个不允许： 3. 同一函数：_相同。 _相同。值域相同。 （可由得） 4. 函数定义域求法：使函数有意义的条件。 整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R。 分式函数的分母不为0。 偶次根式函数，被开放数大于或等于0。 （( )f x的( )0f x） 对数函数的底数大于0 且不等于1，真数大于0。 有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。 5.函数的单调性：定义： 高一上期知识要点- 4 - 逆运用： 当( )yf x在区间 m，n上为增函数时，若( )( )fxf g x则有： ( )( ) ( ) ( ) xg x xn g

7、 xm 当( )yf x在区间 m，n上为减函数时，若( )( )fxf g x则有： ( )( ) ( ) ( ) xg x xm g xn 常用函数的单调性： .一次函数ykxb，当0k时为增函数；当0k时为减函数。 .二次函数 2 yaxbxc，当0a时在( , 2 b a 为减函数；在,) 2 b a 为增函数。 当0a时在(, 2 b a 为增函数；在,) 2 b a 为减函数。与开口方向和对称轴有关。 . 反 比 例 函 数 1 y x 在,00与，上 均 为 减 函 数 ； 1 y x 在 ,00与，上均为增函数。 . x ya01aa且，当01a时为减函数；当1a时为增函数。

8、.log a yx01aa且，01a时，在0,上为减函数；当1a时，在 0,上为增函数。 6.反函数：求函数( )yf x的反函数的方法： （1） 先根据原函数的定义域求出其值域 （2） 由( )yf x解出( )xy （3） 将( )xy中的, x y互换，即得反函数 1( ) yfx标明定义域 有关性质：（1） 原函数( )yf x与反函数 1( ) yfx的定义域和值域正好互换，原 函数过点,a b，则反函数过点, b a。 （2） 互为反函数的图象关于yx成轴对称图形。 （3） 原函数与反函数的单调性相同。 7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将 x

9、x换成后（ 1）若()( )fxf x，则( )yf x为偶函数。（2）若()( )fxf x， 高一上期知识要点- 5 - 则( )yfx为奇函数。 有关性质：（1） 偶函数得图象关于y轴对称，在对称区间上的单调性相反。 （2） 奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。 8.求函数值域的基本方法 （ 1 ）利 用 函 数 的 单 调 性 求 值 域 ： 若( )yf x在,m n上 为 增 函 数 则 其 值 域 为 (),( )f mf n 若( )yfx在 ,m n 上为减函数则其值域为 ( ),()f nf m 。 （2）配方法：二次函数 2 22 4 () 24 bacb

10、 yaxbxca x aa xR 当0a时，有最小值 2 4 4 acb a ，值域为 2 4 4 acb a ，； 当0a时，有最大值 2 4 4 acb a ， 2 4 , 4 acb a 。 （3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求 21 21 x x y 的值域。 （4）换原法：还原注意新元素的范围。例如：求 1yxx的值域。 （5）判别式法：形如： 2 111 2 a xb xc y axbxc 类型，可转化为关于x的一元二次方程有解， 0求值域。 （6）图象法。 9.周期性：若函数( )yf x对于最小正周期T，使()( )f xTfx，则称T为函数 ( )y

11、f x的最小正周期。 10.对称性：若()()f txf tx则称xt为( )yf x的对称轴 二、指数函数与对数函数 （一）指数 高一上期知识要点- 6 - 1 根式与分数指数幂： n a nm a p a= 1 p a 运算法则： mn aa m n a a n m a m ab m a b () nn a nn a 2 指数函数的图象和性质： x ya01aa且 x ya1a x ya01a 3 指数方程：（1） ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x（化成底数相等） （2） 2 ()0 xx aman可换元后求解，令 x ta(0)t 4 指数复合函数的单调性： (

12、)u x ya （1）01a时， ( ) ( ) u x yau x与的单调性相反 （2） 1a 时， ( ) ( ) u x yau x与的单调性相同（一致） （二）对数函数 1 对数式与指数式互化：log b a aNNb；log 1 a logaalog n aa 2 对数的运算法则：loglog aa MNloglog aa MN log n a Mlog n a m 对数恒等式： logaN a 图 象 性 质 定义域 值域 定 点 单调性增函数减函数 高一上期知识要点- 7 - 换底公式： log log lg c a b b a l o g m ab1 1 l o g a b 1

13、 logab 3 对数函数logayx01aa且的图象和性质 logayx1alogayx01a （1）当a与b都大于 1 或都小于1 时，log0 ab （2）当a与b一个大于1 另一个小于1 时，log0 a b 4 对数方程： ( )( ) log( )log( )( )0 ( )0 aa f xg x fxg xf x g x 5 对数函数复合形式的单调性：log( )( )0 a yu xu x在的定义域内 （1）01a时，log( )( ) a yu xu x与的单调性相反， （2）1a时，log( )( ) a yu xu x与的单调性相同。 三 二次函数 2 yaxbxc0a，

14、判别式 2 4bac 图 象 性 质 定义域 值域 定 点 单调性增函数减函数 高一上期知识要点- 8 - 1 2 yaxbxc与x轴的交点个数：（1）0，有个交点 （2）0，有个 交点，（3）0，无交点。 当0时，方程 2 0axbxc有两个实根： 12 ,x x。则由韦达定理（根与系数的关 系）知： 12 xx， 12 x x 2 一元二次方程 2 0axbxc实根问题（以0a为例） （1）有两正根 12 12 0 0 0 x x xx 0 0 或f(0)0 b - 2a （2）有两个负根 12 12 0 0 0 x x xx 0 0 或f(0)0 b - 2a （3）有一正一负的根 12

15、 0 0 x x ( 0 )0)f或 3 2 0axbxc(0a)区间根问题 12 ,(,)xxm n 12 xmnx 1,2 x x 仅一个根在(,)m n 内 12 xmx 12 mxx 图 象 o x y o x m m m m m n n n 高一上期知识要点- 9 - 充 要 条 件 ()0 ( )0 2 0 f m f n b mn a ()0 ( )0 f m f n ()( )0f mf n()0f m ()0 2 0 f m b m a 4 二次函数 2 ( )f xaxbxc(0a)在区间,m n内的最值 问题 : (1)当 2 b m a 时,函数在,m n上为增函数。

16、min ()yf m, max ( )yf n; (2)当 22 bmn m a 时。 min () 2 b yf a , max ( )yf n; (3)当 22 mnb n a 时。 min () 2 b yf a , max ()yf m; (4)当 2 b n a 时, 函数在,m n上为减函数。 min ( )yf n， max ()yf m。 例:已知 22 ( )32(1)f xxaxa在1,1x上的最小值为13,求 a 的值 . 解: 22 22 22 2 2 1 ( )32(1) 3 1 44 1 (1)43 32213280 ( 1)13 1 2411 24 24 3 (2

17、) (1)2(1) 14520013 ()13 33 3 1 (3) a f xxaxax a aa a aaaa f a a a a aa aaaaaa f 的对称轴为 或 22 222 1 1133 322132120131113 (1)13 a aaa a aaaaa f 或 综上所述 :满足条件的4a或113a。 四 图象变换，设0,0ab 1.平移： ( )(),( )() aa yf xyf xayf xyf xa 向右平移个单位向左平移个单位 高一上期知识要点- 10 - 2.( )( ),( )( ) b yf xyf xb yf xyf xb 向上平移 b个单位向下平移个单位

18、 3.对称：( )( ),( )() xy yf xyf xyf xyfx 关于 轴对称关于 轴对称 ( )()yf xyfx 关于原点对称 4.( )( ) x yf xyf x 保留 轴上方的图象，把下方图象对称到上方 ( )()yf xyfx 关于y轴对称，保留 y轴右边的图象 五 复合函数： 1 若函数( ),( )yf ttx，则称( )yfx为关于x的复合函数。 （1）( )tx为内函数，( )yf t为外函数。 （2）( )tx的值域，既为( )yf x的定义域。 2 已知( )yfx的表达式，求( )yfx的表达式，可采用换元或凑项的方法。 例：已知函数(1)2fxxx，求(

19、)fx (法一 )：令1tx，则1xt， 2 1xt 2 2 ( )1211,1f tttt 2 既f(x)=x （法二）： 2 (1)211fxxxx，整体替换，将1xx换成 2 ( )1f xx 3 已知( )yfx的定义域，求( )yf x的定义域 例 已知 2 (2)1,3yf x的定义域为 x，求( )yfx的定义域 解： 2 (2)1,3yf x的定义域为 x，令 2 2,tx则值域为 t-1,7 将( )tyf x换成x，的定义域为 -1 ，7。 4 复合函数的单调性规律 ( )yf t增增减减 ( )tx 增减增减 ( )yfx增减减增 高一上期知识要点- 11 - 第三章数列

20、 一、数列的基本知识： 1.数列的定义： 2.数列的基本表示方法： 123 , n a a aa 3.通项公式：( ) n af n，用含有n 的代数式表示 n a。 4.数列 n a的前 n 项和 123 (1) nn Saaaan， 11231( 2) nn Saaaan， 11 Sa 已知数列 n a的前 n 项和 n S，求 n a的方法： n=1 时， 11 aS；2n时， 1nnn aSS 验证， 11 aS是否适合 n a， 若适合，则 1nnn aSS； 若不适合， 则 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn 也可以判断 0 S是否等于0，若 0 0S则 1nnn

21、 aSS；若 0 0S， 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn 二、等差数列 n a 1.定义： 即： 1 (2) nn aad n，首项为 1 a，公差 d。 2.通项公式： n a= = （关于 n 的一次函数） 前 n 项和公式： n S= = （关于 n 的二次函 数，不含常数项）可化为 2 n Sanbn。 3.等差数列的性质：() nm aanm d 若 m+n=p+q ，则：若 m+n=2k，则： 2 n knk n aa a 232 , kkkkk SSSSS仍成等差数列 若 1 0,0ad，则数列 n a为_数列。前n 项和有 _值。 满足 : ，找分界项。

22、（也可以用二次函数特点求） 若 1 0,0ad，则数列 n a为_数列。前n 项和有 _值。 高一上期知识要点- 12 - 满足 : ，找分界项。 （也可以用二次函数特点求） 例：已知等差数列 n a的首项为31，公差为 -4，求 n S的最大值。 若等差数列 n a共有 2n+1 项，则 121 1 (1)() _ 2 n n naa Sa 奇 ， 22 1 () _ 2 n n n aa Sa 偶 ，_SS 奇偶 121 1 (21)() _ 2 n n naa Sa2n+1 。 三、等比数列 n a。 1.定义： 即： 1 n n a q a ，首项 1 a，公比为q（q0） 。 2.通

23、项公式： n a= 前 n 项和公式： n S= ；当 q=1 时， 1n Sna。 3.等差数列的性质： n m nm aa q 若 m+n=p+q ，则：若 m+n=2k，则： 232 , kkkkk SSSSS 仍成等比数列 四、数列求和方法： 1.特殊数列求和：等差数列求和；等比数列求和；常数数列求和； 2.分组求和法：一般可转化为等差数列，等比数列求和。通项结构 nnn cab 例：求 1111 123 2482 n n的和。 3.裂项求和法： 例：求 1111 1 22334(1)n n 的和。 4.错位相减法：（q 倍求和法）通项结构 nnn cab 例：求 23 123 2222 n n 的和。