高二数学圆锥曲线复习资料.pdf

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1、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 1 直线的倾斜角和斜率（一） 一知识清单 1以一个方程的解为坐标的点都是，反过来， ，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向 旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。 3直线的倾斜角为，其取值范围是 4叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表 示，若直线的倾斜角为 90 ，则k 5 直线上的向量 12PP 及与它平行的向量都称为直线的。 直线 12 PP的方向向量 12PP 的 坐标是 2121 (,)xx yy。当直线 12 PP与x轴

2、不垂直时， 12 xx，此时，向量 12 21 1 PP xx 也 是直线 12 PP的方向向量， 且它的坐标是，既，其中k 是直线 12 PP的斜率。 二强化训练 直线的倾斜角和斜率的概念辨析 直线的倾斜角与斜率的关系 （1）已知倾斜角，求斜率k；k （2）已知斜率k，求倾斜角； arctan (0) arctan (0) k k k k 注：已知倾斜角求斜率时，应注意讨论倾斜角为90 时，斜率不存在；在已知直线斜 率求其倾斜角时，应先由斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角，再用反正切（或特殊 角）将其表示出来；而由斜率范围求倾斜角范围或由倾斜角范围求其斜率范围时，要 结合正切函数的图象和其单调

3、性，求相应量的范围。 1 已知直线l的倾斜角为，并且 2 0 3 ，则直线l的斜率k的范围是 2 已知直线l的斜率k满足 3 3 3 k，则直线l的倾斜角的范围是 3 已知直线 1 l的倾斜角 1 30 ，直线 12 ll，求 1 l和 2 l的斜率 4 已知直线l的方向向量 2 (1,1)am 其中1m，求直线l的斜率k和倾斜角 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 2 5 过点( 1,2)P的直线l与x轴、y轴分别交于点A、B。若P点分AB所成的比为 1 2 ， 求直线l的斜率和倾斜角。 6 如果直线l沿x轴负方向平移3 个单位，再沿y轴正方向平移1 个单位后，又回到原来 的位置，求直线 l的斜

4、率。 三点共线问题 7 若三点 1 (2,3),(3, 2),(,) 2 ABCm共线，求m的值。 重、难点突破 （一）利用数形结合的思想求动直线的倾斜角或斜率的范围 8 已知两点( 3,4),(3,2)AB，过点(2,1)P的直线l与线段AB有公共点 （1）求直线l的斜率k的取值范围 （2）求直线l的倾斜角的取值范围 9已知直线2ykx与线段PQ或QP的延长线相交，其中( 3, 4),(3,1)PQ求直线的斜 率的取值范围。 （二）利用分类讨论的思想求直线的倾斜角或斜率 10设直线l经过点 1(0,3) P和 2( ,1) P m，其倾斜角 .为 （1）求直线l的斜率k； （2）将表示为m的

5、函数； （3）若 2 63 ，求m的取值范围； （4） 若(, 2)(1,)m，求的取值范围。 11已知矩形ABCD中，( 4,4),(5,7)AD。中心E在第一象限内且与y轴的距离为一个 单位，动点( ,)P x y沿矩形一边BC运动，求 y x 的取值范围。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 3 直线的倾斜角和斜率，直线方程 一知识清单 1以一个方程的解为坐标的点都是，反过来， ， 这时， 这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2直线的倾斜角为，其取值范围是 3经过两点 111222 (,),(,)P x yP xy 12 ()xx的直线斜率公式是， 当 12 xx时，

6、 斜率 4直线经过点 111 (,)P x y且斜率为k，则其点斜式方程是，当直线的倾 斜角为90时，直线没有点斜式方程，其方程可写为。 直线的斜截式方程是，其中表示直线在y轴上的截距 （直线与y轴交点的纵坐标） 直线方程的两点式是，直线与坐标轴重合或与坐标轴平行时，没 有两点式方程，也就是两点式方程必须满足且。 直线的截距式方程是，其中,a b应满足，直线与坐标 轴平行或重合经过原点时，没有截距式方程。 方程0AxByC(0AB其中 ， 不同时为 ）叫做直线方程的一般式。 二强化训练 已知点(,)x y在直线 1 1 2 yx 上，则2xy 2若直线l的倾斜角的正弦值为 3 5 ，则l的斜率

7、是 3已知直线l的倾斜角为，并且 2 0 3 ，则直线l的斜率k的范围是 4已知直线l的斜率k满足 3 3 3 k，则直线l的倾斜角的范围是 5已知直线 1 l的倾斜角 1 30 ，直线 12 ll，求 1 l和 2 l的斜率 6求倾斜角是直线31yx的倾斜角的 1 4 ，且分别满足下列条件的直线方程 （ 1）经过点( 3,1) （ 2）在y轴上的截距是5 7直线l过点( 2,3)P且与x轴，y轴分别交于,A B两点，若P恰为线段AB的中点，求 直线l的方程。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 4 x y o 1 l 2 l 1 l x y o 2 l x y o 1 l 2 l 8直线l的方程

8、为0AxByC，若l过原点和二、四象限，则（） A 0 0 C B B 0 0 0 C B A C 0 0 C AB D 0 0 C AB 9直线 12 :0,:0(0)laxyblbxyaab的图象只可能是下图的（） A B C D 10已知直线cot30xy( 为锐角是常数），求直线的倾斜角。 11已知点( 1,1),(2,2)PQ，直线:1lykx与线段PQ相交，求实数k的范围。 12直线l过点(1,2)和第一、 二、四象限， 若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的 方程。 13若00acbc且，直线 0axbyc 不通过（） A 第三象限B 第一象限C 第四象限D 第二象限 14

9、已知(3,)Pm在过(2, 1)3 4MN和 （， ）的直线上，则m的值是 15已知直线l与直线3470xy的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积 为 24，求直线l的方程。 16过点( 5, 4)做直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5 个 平方单位，求直线l的方程。 x y o 1 l 2 l 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 5 直线方程（一） 二知识清单 1直线经过点 111 (,)P x y且斜率为k，则其点斜式方程是，当直线的倾 斜角为90时，直线没有点斜式方程，其方程可写为。 2 直线的斜截式方程是， 其中表示直线在y轴上的截距 （直 线与y轴交点的纵

10、坐标） 3直线方程的两点式是，直线与坐标轴重合或与坐标轴平行时，没 有两点式方程，也就是两点式方程必须满足且。 4直线的截距式方程是，其中,a b应满足，直线与坐标 轴平行或重合经过原点时，没有截距式方程。 5方程0AxByC(0AB其中 ， 不同时为 ）叫做直线方程的一般式。 二基础训练 （一）直线的点斜式、斜截式方程 注意：在利用题目中给定的条件求直线的点斜式和斜截式方程时，一要注意对其斜率 的存在性进行讨论，二要注意不要将“截距”和“距离”混淆 1 求倾斜角为直线31yx的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程 （1）经过点( 4,1)； （2）在y轴上的截距为10 2 直线l过点(

11、1,2),(,3)AB m，求直线 l的方程 （二）直线的两点式和截距式 注意：两点式和截距式的局限性，不能表示那些直线的方程。 3 经过点(3,2)P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 4 已知三角形的三个顶点(2,3),(3,1),(2,1)ABC，求它的三边所在直线的方程。 （三）直线方程的一般式 注意：一般式中，若00AB且，直线表示；若00BA且，直线表 示；若00CA B且，直线过。 5 直线0AxByC的系数,A B C满足什么条件时，这条直线具有如下性质 （1）与x轴垂直；（2）与y轴垂直；（3）与, x y轴都相交；（4）过原点 6 设直线l的方程为 22 (23)(21)

12、26mmxmmym，根据下列条件确定 m的值。 （1）l在x轴上的截距是3； （2）l的斜率是 1 （四）综合性问题 7下列四个命题中的真命题是（） A 经过定点(,)P xy 的直线都可以用方程()yyk xx来表示 B经 过 任 意 两 个 不 同 点 111 (,)P x y， 222 (,)P xy的 直 线 都 可 以 用 方 程 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 6 121121 ()()()()yyxxxxyy来表示 C 不经过原点的直线都可以用方程1 xy ab 来表示 D 经过定点(0, )Ab的直线都可以用方程ykxb表示 三强化训练 8 （ 04 湖南）设直线0axbyc的

13、倾斜角为，且sincos0，则,a b满足 A 1abB 1abC 0abD 0ab 9 （ 05 上海）若直线l的倾斜角为 1 arctan() 2 且过点(1,0)，则直线l的方程为 10 （06 上海）已知直线l过点(2,1)P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O 为坐标原点，则三角形OAB的面积最小为 11 （05 黄冈）方程0AxByC表示倾斜角为锐角直线，则必有（） A 0A BB 0A BC 00AB且D 00AB或 12若原点在直线l上的射影为( 2,1)N则l方程为 13无论a为何值，直线(1)210axya恒过的定点坐标为 14实数,x y满足40xy，则 22

14、xy的最小值为 15把直线3230xy绕点( 1,2)顺时针方向旋转15 所得的直线方程为 16设,k a是实数，要使关于x的方程21()xk xaa对于k的一切值都有解，求实 数a的取值范围 17过点(2,1)P作直线l分别交,x y正半轴于,A B两点 （1）若PA PB取得最小值时，求直线l的方程 （2）若OAOB取得最小值时，求直线l的方程 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 7 直线方程（二） 一基础训练 （一）直线的点斜式、斜截式方程 注意：在利用题目中给定的条件求直线的点斜式和斜截式方程时，一要注意对其斜率 的存在性进行讨论，二要注意不要将“截距”和“距离”混淆 7 求倾斜角为直线3

15、1yx的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程 （1）经过点( 4,1)； （2）在y轴上的截距为10 8 直线l过点(1,2),(,3)AB m，求直线l的方程 （二）直线的两点式和截距式 注意：两点式和截距式的局限性，不能表示那些直线的方程。 9 经过点(3,2)P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 10已知三角形的三个顶点(2,3),(3,1),(2,1)ABC，求它的三边所在直线的方程。 （三）直线方程的一般式 注意：一般式中，若00AB且，直线表示；若00BA且，直线表 示；若00CA B且，直线过。 11直线0AxByC的系数,A B C满足什么条件时， 这条直线具有如下性质

16、 （1）与x轴垂直；（2）与y轴垂直；（3）与, x y轴都相交；（4）过原点 12设直线l的方程为 22 (23)(21)26mmxmmym，根据下列条件 确定m的值。 （1）l在x轴上的截距是3； （2）l的斜率是1 （四）综合性问题 7下列四个命题中的真命题是（） A 经过定点(,)P xy 的直线都可以用方程()yyk xx来表示 B经 过 任 意 两 个 不 同 点 111 (,)P x y， 222 (,)P xy的 直 线 都 可 以 用 方 程 121121 ()()()()yyxxxxyy来表示 C 不经过原点的直线都可以用方程1 xy ab 来表示 D 经过定点(0, )A

17、b的直线都可以用方程ykxb表示 8 （ 05 黄冈）方程0AxByC表示倾斜角为锐角直线，则必有（） A 0A BB 0A BC 00AB且D 00AB或 9若原点在直线l上的射影为( 2,1)N则l方程为 10无论a为何值，直线(1)210axya恒过的定点坐标为 11实数, x y满足40xy，则 22 xy的最小值为 12把直线3230xy绕点( 1,2)顺时针方向旋转15 所得的直线方程为 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 8 两条直线的位置关系（一） 一两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行的判定 （1） 若直线 12 ll和的方程为 111 :lyk xb，2 22 :lyk

18、xb时， 直线 12 /ll； 若 直 线 12 ll和的 斜 率 均 不 存 在 且 在x轴 上 的 截 距 不 等 ， 既 1122 :,:lxx lxx； 则 12 /ll； （2） 若直线方程 1111 :0lA xB yC， 2222 :0lA xB yC， 则 12 /ll或 。 动 动 手若 两 直 线 1: 27lyx， 2: 21lyx， 则 1 l 2 l； 若 12 :345,:687lxylxy，则 1 l 2 l。 2 两条直线垂直的判定 （1） 若直线 12 ll和的方程为 111 :lyk xb， 222 :lyk xb时，直线 12 ll； 若两条直线中有一条直

19、线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，两直线 （2） 若直线方程 1111 :0lAxB yC， 2222 :0lA xB yC， 则 12 ll； 动 动 手若 两 直 线 1: 1lyx， 2 :33100lxy， 则 1 l 2 l； 若 12 : 250,:2lxylxay且 12 ll，求a 二基础训练 1 直线204210xykxy和的位置关系是 2 过点(1,2)和直线4350xy平行的直线方程是 3 如果直线 12 :210,:(31)10lxmylmxmy平行，那么实数m的值为 4 若直线 12 :420,:0,laxylxayb求,a b分别取何值时，两直线平行。 5 与直线

20、2350xy平行，且在两坐标轴上截距之和为 10 3 的直线l的方程为 6 已知直线 12 :20,:(21)0laxyalaxaya互相垂直，求a的值 7 过点( 1,2)和直线4350xy垂直的直线方程是 8 已知(1,3),( 1, 1),(2,1)ABC，求ABC的BC边上的高线所在直线的方程。 9m为何值时。 12 :(3)453:2(5)80lm xymlxm y和 （1）相交（2）平行（3）重合（4）垂直 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 9 对称问题 一点关于点对称 点 111 (,)P xy关于点( , )P a b的对称点为 222 (,)P xy，则 1212 , 22 x

21、xyy ab 。 动动手：求点(2,3)A关于点(5,6)P的对称点B的坐标 如果点( 2,4)AB和点（ -4，-2 ）关于点 P 对称，求点P 的坐标 二点关于直线对称 点 111 (,)P xy关于直线0AxByC的对称点为 222 (,)P xy，则有 1212 21 12 21 0 22 1(0,) xxyy ABC yyA Bxx xxB 特别地，点 (,)P xy 关于x a的对称点 P坐标为(2,)axy 动动手： 1. 设点(3, 2)A关于直线210xy对称点 B 的坐标 2设点( 1,2)A关于直线30xy对称点 B 的坐标 3设点( 1,2)A关于直线3x对称点 B 的

22、坐标 4(3, 2)A关于直线1y对称点 B 的坐标 三直线关于点对称 1 求直线340xy关于点(2,1)P对称的直线l的方程。 2 求直线210xy关于原点对称的直线l的方程。 3 求直线2x关于点(2,1)P对称的直线l的方程。 4 求直线3y关于点(2,1)P对称的直线l的方程。 四直线关于直线对称 1 求直线 2yx关于y轴对称的直线方程 2 求直线2yx关于x轴对称的直线方程 3 求直线10xy关于直线0xy对称的方程 4 求直线20xy关于直线330xy对称的直线的方程 5 如果直线2yax与3yxb关于直线yx对称，则,a b的值为 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 10 简单的

23、线性规划 一基础知识 1 二元一次不等式表示平面区域的确定方法：直线定界，特殊点定域。 2 最优秀解的确定方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是。 二强化训练 （一）二元一次不等式表示平面区域 1 三角形 ABC 中，(3, 1), ( 1,1),(1,3)ABC，写出三角形ABC 区域所表示的二元一次不 等式组。 2 若 Ax+By+50表示的区域不包括点(1,2),2 ,wAB则w的范围是 3 若点(1,3)( 4, 2)和在直线20xym的两侧，则m的取值范围是 4 22 11xyxy是的（） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件

24、 （二）应用线性规划求最值 1设,x y满足不等式组 24 3 8 x y xy 求32zxy的最大值 2 （广东）变量, x y满足下列条件： 212 2936 2324 0,0 xy xy xy xy 则使得32zxy的值最小的( ,)x y是（） A (4.5,3)B (3,6)C (9,2)D (6,4) 3 （黄冈）已知 10 10 1 xy xy y ，且 22 448uxyxy，则u的最小值为 4 （海淀）y满足 330 0 0 xy x y ，则不等式表示的区域面积为， 2 1 y z x 的取 值范围是 6 （江苏）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现

25、的亏损 某投资人打算投资甲、乙两个项目， 根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100% 和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%，投资人计划投资金额不超过10 万元，要求 确保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使 可能的盈利最大？ 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 11 三基础知识 3 二元一次不等式表示平面区域的确定方法：直线定界，特殊点定域。 4 最优秀解的确定方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是。 四强化训练 （一）二元一次不等式表示平面区域 5 三角形 ABC 中，(3, 1), ( 1,1),(1,3

26、)ABC，写出三角形ABC 区域所表示的二元一次不 等式组。 6 若 Ax+By+50表示的区域不包括点(1,2),2 ,wAB则w的范围是 7 若点(1,3)( 4, 2)和在直线20xym的两侧，则m的取值范围是 8 22 11xyxy是的（） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 （二）应用线性规划求最值 1设,x y满足不等式组 24 3 8 x y xy 求32zxy的最大值 2 （广东）变量, x y满足下列条件： 212 2936 2324 0,0 xy xy xy xy 则使得32zxy的值最小的( ,)x y是（） A (4.5,3)B (

27、3,6)C (9,2)D (6,4) 3 （黄冈）已知 10 10 1 xy xy y ，且 22 448uxyxy，则u的最小值为 4 （海淀）y满足 330 0 0 xy x y ，则不等式表示的区域面积为， 2 1 y z x 的取 值范围是 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 12 曲线和方程 一基础知识 1 曲线方程的概念 在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程( , )0f x y的实数解建立如下 的关系：（1）曲线上的点的坐标都是（2）以这个方程的解为坐标的点都是 ，那么，这个方程叫做；这条曲线叫做（图形） 2 求曲线的方程方法： （1）直接法，（2）待定系数法， （3）

28、代入法 二强化训练 （一）曲线与方程 1命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程( , )0f x y的解”是正确的，下列命题中正确的是 A 方程( , )0f x y的曲线是C B 方程( , )0fx y的曲线不一定是C C ( ,)0f x y是曲线 C 的方程D 以方程( , )0f x y的解为坐标的点都在曲线C 上 2下列个组中表示相同的曲线的是（） A ,1 y yx x B 2 ,yx yxC ,yxxyD 22 ,yx xy 3 已知两点(1,0),(4,0),AB曲线 C 为到 A 点的距离与B 点的距离之比为1: 2的点的集合， 判断点(3,1),(1,2)MN是否在这条曲线

29、C 上 4下列各方程分别表示什么曲线，为什么？ （1） 2 24230xyxy （2） 22 24230xyxy （3）( 1)10xyx （二）求曲线方程的方法 1 （北京）设动点P在直线1x上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作 等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹方程是 2（上海）设P为双曲线 2 2 1 4 x y上动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则M点 的轨迹方程是 3三角形 ABC 的两顶点A，B 的坐标分别为(0,0),(6,0)AB，顶点 C 在曲线 2 3yx上 运动，求三角形ABC 的重心的轨迹方程。 （三）曲线的交点 1 （上海）直线 1 2 2 yx

30、与曲线 sin cos2 x y （为参数）的交点坐标是 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 13 2曲线 22 (1)4xy与直线(2)4yk x有两个不同交点时，求k的取值范围。有 一个公共点呢？无公共点呢？ 3过点 (1,2)M 的直线与曲线 a y x 有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a， 求a的取值范围。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 14 圆的方程 一基础知识 1.圆的标准方程2.圆的一般方程3.圆的参数方程4.圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系 二强化训练 （一）圆的方程的求法 1 半径为 5 的圆过点( 2,6)A，且以(5,4)B为中心的弦长为2 5，求此圆的方程

31、2 判断(1,4),( 2,3),(4,5),(4,3)ABCD四点是否在同一个圆上。 3 已知方程 2224 2(3)2(1 4)1690xytxtyt表示一个圆 （1）求t的取值范围； （2）求该圆半径r 的取值范围。 4 求经过点(0,5)A，且与直线2020xyxy和都相切的圆的方程 （二）圆的切线问题 5 求与圆 22 860xyxy相切且在两坐标轴上的截距相等的切线的方程。 6 已知圆 22 :16O xy，求过点(4,6)P的圆的切线方程。 （三）点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 7当a为何值时，直线 2 :02lxyay 2 与圆O:x （1）相交（ 2）相切（ 3）相离 8

32、一个圆与y轴相切，圆心在直线 30xy 上且在直线yx上截得的弦长为2 7，求 此圆的方程。 9已知圆 22 :(1)(2)25Cxy及直线: (21)(1)74()lmxmymmR （1）证明：不论 m取什么实数，直线 l与圆 C 相交； （2）求直线l被圆 C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程 10求经过点(3,1)M，且与圆 22 :2650C xyxy相切于点(1,2)N的圆 C的方 程，并判断圆C 与C是内切还是外切。 （四）与圆有关的参数方程 11已知圆 22 60xyxym与直线230xy相交于P，Q 两点， O 为坐标原 点，若OPOQ，求实数m 的值。 纸上得来终觉浅，绝知

33、此事要躬行 15 （五）与圆有关的轨迹方程 12已知圆O（O 为原点）的半径为r，M 是圆上任意一点，点(,0)Ar，( ,0)B r，过 B 点作 BP 平行于 OM ，交 AM 的延长线于点P，求点 P 的轨迹方程。 （六）与圆有关的最值问题 13如果实数,x y满足 22 410xyx，求： （1） y x 的最大值，（2）yx的最小值 14 sin2 cos2 x y x 求函数的最大值和最小值 三五年高考 15 （03，全国）若圆C 与圆 22 211xy关于原点对称，则圆C 的方程是 16 （全国）过点(1, 1),( 1,1)AB且圆心在直线20xy上的圆的方程是（） A 22

34、314xyB 22 314xy C 22 114xyD 22 114xy 17 （04，全国）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440xy与圆 C 相切，则圆C 的方程为 18 （04，湖北）两个圆 2222 12 :22204210CxyxyCxyxy与：的公 切线有且仅有 19 （02，北京）圆 22 221xy与直线sin10(,) 2 xyRkkZ的位 置关系是： A 相交B 相切C 相离D 不确定 20 （03，北京）已知直线0(0)axbycabc与圆 22 1xy相切，则这三条边长分 别为,abc的三角形（） A 是锐角三角形B 是直角三角形C 是钝角三角形D

35、不存在 21 （03，全国）已知圆 22 :24(0)Cxaya及直线:30lxy，当直线l 被 C 截得的弦长为2 3时，则 a等于 22 （04，北京）曲线 cos :( 1 sin x C y 为参数）的普通方程是，如果曲线 C 与直线 0xya 有公共点，那么实数a的取值范围是 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 16 椭圆及其标准方程 一椭圆的定义 椭圆的第一定义 平面内与的点的轨迹叫做椭圆。叫做椭圆的焦点。 叫做椭圆的焦距。 （定长一般表示为2a） 二椭圆的标准方程 椭圆的方程与坐标系的建立方式有关，若坐标原点与线段 12 F F的中点重合， 一条坐标轴经过 12 ,F F 两点，则所

36、得椭圆的方程为椭圆的标准方程。 （1） 焦点在 x轴上的椭圆的标准方程为：。 其中 2 c， c表示， a 表示。 （2） 焦点在 y轴上的椭圆的标准方程为：。 其中 2 c， c表示， a 表示 想一想：（ 1）椭圆 22 1 23 xy 和椭圆 22 1 32 xy 的焦点坐标是什么？ （ 2）怎样判定椭圆 22 1(0,0) xy mn mn 的焦点在哪一条坐标轴上？ 三基础训练 1求适合下列条件的标准方程 （1）两个焦点坐标分别是( 3,0),(3,0)，椭圆经过点(5,0) （2）两个焦点坐标分别是(0,5),(0,5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26。 2椭圆 22 1 131

37、2 xy 上一点 P 到两个焦点的距离的和为 3椭圆 22 1 25169 xy 的焦点坐标是 4已知椭圆的方程为 22 2 1 16 xy m ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是 5椭圆 22 1 259 xy 上一点 P到一个焦点的距离为5，则 P 到另一个焦点的距离为 6椭圆 22 2312xy的两焦点之间的距离是 7椭圆 22 1 4 xy m 的焦距等于2，则 m 的值为 四强化训练 1若一个动点( , )P x y到两个定点( 1,0),(1,0)AB的距离的和为定值m，试求点P 的轨迹方程。 2若三角形ABC 的两个顶点坐标( 4,0),(4,0)AB，三角形ABC 的周长为1

38、8，则顶点C 的轨 迹方程为 3过点( 3,2)且与 22 1 94 xy 有相同焦点的椭圆的方程是 4设椭圆 22 1 2516 xy 与坐标轴的交点分别为A、 B、C、D，求四边形ABCD 的面积。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 17 5 已知椭圆的方程是 22 2 1(5) 25 xy a a ， 它的两个焦点分别为 12 ,F F， 且 12 8F F， 弦 AB 过 1 F， 则三角形 2 ABF的周长是 6点 P 是椭圆 22 1 259 xy 上一点，以点P 以及焦点 12 ,F F为顶点的三角形的面积等于4，则 P 点的坐标是 7 三角形 ABC 两个顶点的坐标分别是B(6,

39、0)和 C( 6,0)， 另两边 AB ， AC 的斜率的积是 4 9 ， 则顶点 A 的轨迹方程是 8已知圆 22 9xy，从这个圆上任意一点P 向x轴做垂线段 PP，点M 在 PP上，并且 2PMMP ，求点 M 的轨迹 9 已知点 M 在椭圆 22 1 369 xy 上， MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P，并且 M 为线 段 PP的中点，求P 点的轨迹方程。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 18 椭圆的几何性质 一基础知识 1椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的点中，横坐标x 的取值范围是，纵坐标y 的取值范 围是。 2椭圆关于都是对称的，椭圆的对称中心叫做。 3椭

40、圆 22 22 1 xy ab 的四个顶点坐标是， 22 22 1 yx ab 的四个顶点坐标是 4在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中， 1212 (,0),( ,0),(0,),(0, )AaA aBb Bb，线段 12 AA、 12 B B分 别 叫 做 椭 圆 的， 在 直 角 三 角 形 22 OB F中， 222 2222 OFB FOB， 这 就 是 的几何意义。三角形 22 OB F叫椭圆的特征三角形，并且 22 cosOF B是椭圆的。 5动点 M 与定点( ,0)F c的距离和它到定直线 2 : a lx c 的距离的比是常数 (0) c ac a ，则动点

41、M 的轨迹是椭圆， 定直线l叫做椭圆的准线，准线与长轴所在的直线所夹的角为90 。(0) c ac a 叫做椭圆的离心率记作e，e。 二基础训练 1求椭圆 22 2525xy的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标、准线和离心率。 2已知点(, )m n在椭圆 22 8324xy上，则24m的取值范围是 3椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是 4已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 与椭圆 22 1 48 xy 有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是 A 22 2 (0) 84 xy mmB 22 1 1664 xy C 22 1 82 xy D 以上都不可能 5椭圆 22

42、1 259 xy 与椭圆 22 1(09) 925 xy k kk 的关系为（） A 有相等的长、短轴B 有相等的焦距C 有相同的焦点D 有相同的准线 6中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程 是 7已知点(3,2)在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则由椭圆的对称性判断还有那些点在椭圆上？ 8曲线 22 259 xy xy的图象关于对称 9椭圆过点(3,0)，离心率 6 3 e。求椭圆的标准方程。 10若椭圆上的点P 到焦点的距离最小，则P点是 11若椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两准线间的距离为 16 3 3 ，离心率为

43、 3 2 ，则椭圆的标准方 程为 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 19 12 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点到右准线的距离为 7 3 3 ， 中心到准线的距离为 4 3 3 ， 则椭圆的方程为 13若椭圆两准线间的距离等于焦距的4 倍，则这个椭圆的离心率为 14已知椭圆的一个焦点是(1,1)F，与它对应的准线是40xy，离心率为 2 2 ，求椭圆的方 程。 15椭圆 22348 22 25 xy xy的离心率为 16 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点坐标 12 (,0)( ,0)FcF c和，(,)P x y是椭圆上的任一点， 求证： 10

44、PFaex， 20 PFaex。 17在椭圆 22 1 259 xy 上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 18 P 是椭圆 22 1 43 xy 上的点， 12 ,F F是两个焦点，则 12 PFPF的最大值与最小值之差是 19已知点(1,2)A在椭圆 22 1 1612 xy 内， F 的坐标为2,0，在椭圆上求一点P 使2PAPF最 小。 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 20 椭圆 一、椭圆定义的应用 1、已知椭圆 22 :1(04) 4 xy Cm m ，点P 是椭圆C 上一点， M 是 2 PF的中点，且 3 2 OM，则 2 PF 2、已知 1 F、 2 F分别是

45、椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左、右焦点，P 是椭圆 C 上一点。 （ 1）求 12 PFPF的最大值。 （ 2）设 12 90 ,F PF 求三角形 12 F PF的面积。 二、与椭圆相关的轨迹问题 3、一动圆与已知圆 2 2 1: 31Oxy外切，且与圆 2 2 2 :381Oxy内切，试求动 圆圆心的轨迹方程。 4、线段 AB 的两个端点A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动，5AB，点 M 是 AB 上一点， 且2AM，点 M 随线段 AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程 三、 1已知焦点位置，求椭圆方程 5、已知椭圆的焦点在x 轴上， 12 ,F F为左右焦点，(3,4)P为

46、椭圆上一点，且 12 PFPF， 求椭圆的标准方程 2焦点位置未确定的椭圆的标准方程的求法 6、已知焦距为2 6的椭圆过点3,2求椭圆的标准方程。 四、与椭圆的几何性质有关的问题 7、求在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，且焦距为6 的椭圆方程 二、离心率问题 8、设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 1 F，右准线为 1 l，若过 1 F且垂直于x 轴的弦 长等于点 1 F到 1 l的距离，则椭圆的离心率为 9、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 21 五、利用椭圆的第二定义解题 10、椭圆 22 1 2

47、59 xy 上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么 P到右焦点的距离为 11、椭圆 22 1 2612 xy 的右焦点为F，已知点(1, 3)A，点 M 在椭圆上， 当2AMMF为 最小值时，求点M 的坐标 六、利用椭圆的参数方程解题 12、已知( , )P x y是椭圆 22 1 14425 xy 上的点，求uxy的取值范围 13 、 已 知( ,)P x y是 椭 圆 2 2 1 2 x y上 的 点 ， 求 （ 1） 2y t x 的 取 值 范 围 （ 2 ） 22 (4)uxy的取值范围 14、对于任意实数k，直线ykxb与椭圆 2cos 4sin x y 恒有公共点，则b 的

48、取值范围是 七、直线与椭圆的相交问题 15、已知一直线与椭圆 22 1 164 xy 交于 A、B 两点，弦 AB 的中点坐标为(2,1)M，求直线 AB 的方程 16、已知斜率为1 的直线l过椭圆 2 2 1 4 x y的右焦点交椭圆于A、B 两点，求弦AB 的长 17、椭圆 22 1 259 xy 上不同三点 1122 (,),(4,9),(,)A x yBC xy与右焦点F的距离成等差数列 （1）求证： 12 8xx （2）如果线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T，求点 T 的坐标 18、在椭圆 22 88xy上求一点 P，使点 P 到直线40xy的距离最小 纸上得来终觉浅，绝知此事要

49、躬行 22 双曲线及其标准方程 一基础知识 1双曲线的定义应注意和 2在双曲线的定义中，P 为动点 （1）若 1PF2PF 2a时，曲线只表示 （2）若 1 PF 2 PF=2a时，曲线只表示 （3）若 12 2F Fa时，曲线只表示 （4）若 12 2F Fa时，动点的轨迹 3双曲线的标准方程的两种情形 （1）焦点在x 轴上，标准方程为，焦点为，这里有 （2）焦点在y 轴上，标准方程为，焦点为，这里有 注：求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出a、b 的值，并由焦点所在的坐标轴确定方程形式。 二基础训练 1已知方程 22 1 11 xy kk 表示双曲线，则k的取值范围是 2 （05 上海）双曲线 22 9161xy的焦距是 3已知定点 1( 2,0) F、 2(2,