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1、2017 学年春季学期 高等数学（二） 期末考试试卷（A） 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8 个小题，每小题2 分，共 16 分）将每题的正确答案的 代号 A、B、 C 或 D 填入下表中 1已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（）. (A)0ab(B)0ab(C)0a b(D)0ab 2.极限 22 22 0 0 1 lim()sin x y xy xy ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3下列函数中，dff的是 ( ). （A）( , )fx yxy（B） 00 ( ,),f
2、x yxycc 为实数 （C） 22 ( , )f x yxy（D）( , )e xy fx y 4函数( ,)(3)f x yxyxy，原点(0,0)是( , )f x y的( ). （ A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点 （ C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点 5 设 平 面 区 域 22 : (1)(1)2Dxy， 若 1 d 4 D xy I， 2 d 4 D xy I， 3 3 d 4 D xy I，则有（）. （A） 123 III（B） 123 III（C） 213 III（D） 312 III 6设椭圆L：1 34 22 yx 的周长为l，则 22 (34)d L xy
3、s （）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l12 7设级数 1n n a为交错级数，0 () n an，则（）. (A) 该级数收敛(B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛 8. 下列四个命题中，正确的命题是（）. （A）若级数 1 n n a 发散，则级数 2 1 n n a 也发散 （B）若级数 2 1 n n a 发散，则级数 1 n n a 也发散 （C）若级数 2 1 n n a 收敛，则级数 1 n n a 也收敛 （D）若级数 1 | n n a 收敛，则级数 2 1 n n a 也收敛 二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，
4、共 14 分) 1. 直线 34260 30 xyz xyza 与z轴相交，则常数a为 . 2设 ( ,)ln(), y f x yx x 则(1,0) y f_ _. 3函数( , )f x yxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4设 22 :2Dxyx，二重积分()d D xy = . 5设fx是连续函数， 22 (, )|09x y zzxy， 22 ()df xyv在柱面坐标系下 的三次积分为. 6. 幂级数 1 1 ( 1) ! n n n x n 的收敛域是 . 7. 将函数 2 1,0 ( ) 1,0 x f x xx 以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛
5、于. 题号一二三四总分 得分 阅卷人得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 纸 教 学 班 号 序 号 学 号 姓 名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 三、综合解答题一（5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 1设( ,) x uxf x y ，其中f 有连续的一阶偏导数，求 u x ， u y 解： 2求曲面 e3 z zxy在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程 解： 3. 交换积分次序，并计算二次积分 0 sin dd x y xy y 解： 4 设是由曲面1,xxyxyz及0z所围成
6、的空间闭区域，求 23d d d Ixy z x y z. 解： 5求幂级数 1 1 n n nx 的和函数( )S x，并求级数 1 2n n n 的和 解： 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 纸 教 学 班 号 序 号 学 号 姓 名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 四、综合解答题二（5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 1. 从斜边长为1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形 解 2计算积分 22 ()d L xys，其中L为圆周 22 xyax(0a) 解： 3利用格林公式， 计算曲线积分 22 ()d(2)d L Ixyx
7、xxy y，其中L是由抛物线 2 yx和 2 xy所围成的区域D的正向边界曲线 4 计算dx S， 为平面1zyx在第一卦限部分. 解： 5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d dd dd dx yy zz x S + 蝌 ， 其中为圆锥面 222 zxy介于平面0z及1z之间的部分的下侧. 解： 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 纸 教 学 班 号 序 号 学 号 姓 名 答 题 不 要 超 过 密 封 线 xO 2 yx 2 xy y D 2017 学年春季学期 高等数学（二） 期末考试试卷 (A) 答案及评分标准 一、单项选择题（8 个小题，每小题2 分，共 16 分） 1已知a与b都是
8、非零向量，且满足abab，则必有（ D ） (A)0ab； (B)0ab； (C)0a b； (D)0a b 2. 极限 22 22 0 0 1 lim()sin x y xy xy ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在 . 3下列函数中，dff的是 ( B )； （A）( , )f x yxy；（B） 00 ( , ),f x yxyc c 为实数； （C） 22 ( , )f x yxy；（D）( , )e xy fx y. 4函数( ,)(3)f x yxyxy，原点(0,0)是( , )f x y的( B ). （ A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；
9、 （ C）极值点，非驻点；（D）非驻点，非极值点. 5 设 平 面 区 域D： 22 (1)(1)2xy， 若 1 d 4 D xy I ， 2 d 4 D xy I ， 3 3 d 4 D xy I ，则有（ A ） （A） 123 III；（B） 123 III；（C） 213 III；（D） 312 III 6设椭圆L：1 34 22 yx 的周长为l，则 22 (34)d L xys （D ） (A) l； (B) l 3； (C) l 4； (D) l12 7设级数 1n n a为交错级数，0 () n an，则（ C ） (A)该级数收敛； (B)该级数发散； (C) 该级数可能收
10、敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛 8. 下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数 1 n n a 发散，则级数 2 1 n n a 也发散； （B ）若级数 2 1 n n a 发散，则级数 1 n n a 也发散； （C ）若级数 2 1 n n a 收敛，则级数 1 n n a 也收敛； （D ）若级数 1 | n n a 收敛，则级数 2 1 n n a 也收敛 二、填空题 (7 个小题，每小题2 分，共 14 分) 1. 直线 34260 30 xyz xyza 与z轴相交，则常数a为3 。 2设 ( ,)ln(), y f x yx x 则 (1,0) y f_1
11、_ 3函数( , )f x yxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为2 4设 22 :2Dxyx，二重积分()d D xy = 5设fx是连续函数， 22 (, )|09x y zzxy， 22 ()df xyv在柱面坐标系下 的三次积分为 2 239 2 000 dd()dfz 6. 幂级数 1 1 ( 1) ! n n n x n 的收敛域是(,). 7. 函数 2 1,0 ( ) 1,0 x f x xx ，以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于 2 2 . 三、综合解答题一（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 1设( ,)
12、 x uxf x y ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求 u x ， u y 解： 12 ux fxff xy 4 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案D A B B A D C D 2 2 2 ux f yy . 7 分 2求曲面3 z ezxy在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程 解：令,e3 z F x y zzxy，2 分 (,)( , ,e1) z xyz FFFy xn， (2,1,0) (1,2,2)n，4 分 所以在点 (2,1,0) 处的切平面方程为(2)2(1)20xyz， 即2240xyz；6 分 法线方程为 21 122 xyz . 7 分 3. 交
13、换积分次序，并计算二次积分 0 sin dd x y xy y ； 解： 0 sin dd x y xy y = 00 sin dd y y yx y 4 分 = 0 sin d2y y 7 分 4设是由曲面1,xxyxyz及0z所围成的空间区域，求 23d d d Ixy zx y z 解：注意到曲面zxy经过x轴、y轴，2 分 =(, , ) : 0,0,01x y zzxyyxx 4 分 故 1 2323 000 d d dddd xxy Ixy zx y zxyxy zz= 364 1 7 分 5求幂级数 1 1 n n nx 的和函数( )S x，并求级数 1 2n n n 的和 解
14、： 1 1 ( ) n n S xnx ，(0)1S， 由已知的马克劳林展式： 1 1 ,| 1 1 n n xx x ，2 分 有 1 1 ( )()(1) 1 n n S xx x = 2 1 (1)x ，| 1x，5 分 12 n n n = 1 1 1 22n n n = 11 ( ) 22 S=2 7 分 四、综合解答题二（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 1. 从斜边长为1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形 解 设两个直角边的边长分别为x，y，则 22 1xy，周长1Cxy， 需求1Cxy在约束条件 22 1xy下的极
15、值问题 2 分 设拉格朗日函数 22 ( ,)1(1)L x yxyxy，4 分 令 22 120, 120, 1, x y Fx Fy xy 解方程组得 2 2 xy为唯一驻点，6 分 又最大周长一定存在，故当 2 2 xy时有最大周长. 7 分 2计算积分 22 ()d L xys，其中L为圆周 22 xyax(0a) 解：L的极坐标方程为cosa， 22 ；2 分 则 22 d() ddsa，4 分 所以 3 22232 22 22 ()ddcosd 2 L a xysaa 7 分 或解：L的形心( ,)(,0) 2 a x y，L的周长a， 22 ()d L xys=d L ax s=
16、ax a= 3 2 a 3利用格林公式，计算曲线积分 22 ()d(2)d L Ixyxxxyy，其中L是 由抛物线 2 yx和 2 xy所围成的区域D的正向边界曲线 解： 22 ()d(2)d L Ixyxxxyy D dxdy3 分 2 1 0 dd x x xy5 分 1 3 7 分 4 计算dx S， 为平面1zyx在第一卦限部分. 解：在xoy面上的投影区域为)0,0(1:yxyxD xy ，2 分 又, 1,1,1: y z x z yxz故dxdydS3，4 分 所以 11 00 3 33 6 xy x D xdSxdxdydxxdy. 7 分 或解：由对称性， 113 () 336 xdSxyz dSdS xO 2 yx 2 xy y D 5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d dd dd dx yy zz x S + 蝌 ，其中为锥面 222 zxy 介于平面0z及1z之间的部分的下侧。 解：补曲面 22 :1,1Dxyz（取上侧），2 分 由高斯公式知 d dd dd d D x yy zz x S + + 蝌 0， 4 分 故d dd dd dx yy zz x S + 蝌 d dd dd d D x yy zz x-+ 蝌 22 1xy dxdy=7 分