2013年浙江省考试院高考数学测试卷(理).pdf

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1、Z 数学（理科）试题第1 页 ( 共 12 页 ) 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p,那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k次的概率 Pn(k)=C k n pk(1p)n-k(k=0,1,2, ， n) 台体的体积公式 V=)( 3 1 2211 SSSSh 其中 S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 ShV 其中 S表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 ShV 3 1 其中 S表示锥体的

2、底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S =4 R 2 球的体积公式 3 3 4 RV 其中 R 表示球的半径 2013 年浙江省考试院高考数学测试卷(理) 姓名 _ 准考证号 _ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5 页，选择题部分1 至 3 页，非选择题 部分 4 至 5 页。满分150 分，考试时间120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 50 分) 注意事项 : 1答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如

3、需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1已知集合Ay | y2 x，xR，则 R A Z 数学（理科）试题第2 页 ( 共 12 页 ) AB (， 0 C(0， ) DR 2已知 a，b 是实数，则“| ab | | a | b |”是“ ab0”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 3若函数f(x) (xR)是奇函数，函数g(x) (x R)是偶函数，则 A函数 fg(x)是奇函数B函数 gf(x)是奇函数 C

4、函数 f(x) g(x)是奇函数D函数 f (x)g(x)是奇函数 4设函数f(x)x 34xa，0a2若 f(x)的三个零点为 x1，x2，x3，且 x1x2x3，则 Ax1 1 Bx20 Cx20 Dx3 2 5如图，在四边形ABCD 中， AB BC，ADDC若 |A B|a，|AD|b，则 A CB D Ab 2a2 Ba 2b2 Ca 2b2 Dab 6设数列 an A若 2 n a 4 n，nN*，则 a n为等比数列 B若 anan+2 2 1n a，nN*，则 an为等比数列 C若 aman 2 m+n，m，nN*，则 a n为等比数列 D若 anan+3an+1an+2，nN

5、*，则 an为等比数列 7已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是 该三棱锥的三视图是 ABCD A B C D (第 6 题图 ) 侧视图正视图 俯视图 1 3 2 侧视图正视图 俯视图 2 3 1 侧视图正视图 俯视图 1 3 2 侧视图正视图 俯视图 2 3 1 Z 数学（理科）试题第3 页 ( 共 12 页 ) 8若整数x，y 满足不等式组 0, 2100, 3530, xy xy xy 则 2xy 的最大值是 A 11 B23 C26 D30 9如图， F1，F2是双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a 0，b0) 的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分 别

6、交于 A， B 两点 若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |3:4 : 5， 则双曲线的离心率为 A1 3B 1 5 C2D 3 10如图，函数yf(x)的图象为折线ABC，设 f1(x)f(x)， fn+1 (x)f fn(x)，nN*，则函数yf4(x)的图象为 AB CD O x y 1 1 1 1 O x y 1 1 1 1 O x y 1 1 1 1 O x y 1 1 1 1 A B C O x y 1 1 1 1 (第 10 题图 ) x y O A B F1F2 (第 9 题图 ) Z 数学（理科）试题第4 页 ( 共 12 页 ) 非选择题部分(共 100分

7、) 注意事项： 1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。 11已知 i 是虚数单位， a R若复数 2i 2i a a 的虚部 为 1，则 a 12设公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a2 2a 3 2a 4 2a 5 2，则 S 6 13若() 2 n x x(n 为正偶数 )的展开式中第5 项的二 项式系数最大，则第5 项是 14若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值 是 15在 ABC 中，内角 A，

8、B，C 的对边分别为a，b，c， 已知 C2A，cos A 3 4 ，b5，则 ABC 的面积为 16在 ABC 中， B(10，0)，直线 BC 与圆 ：x 2(y5)225 相切， 切点为线段BC 的中点 若 ABC 的重心恰好为圆 的圆心，则点A 的坐标为 17在长方体ABCDA1B1C1D1中， AB1，AD2若存在 各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2， P3，P4 分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD 所在的直线上， 则此长方 体的体积为 n12, i1 n3n1 开 始 n 是奇数 ? 输出 i 结 束 是否 n n1? 是 否 n 2 ii1 (第 14题图

9、) A B C D A1 B1 C1 D1 (第 17 题图 ) Z 数学（理科）试题第5 页 ( 共 12 页 ) 三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 (本题满分14 分) 已知函数f(x)3 sin 2 ax 3sin ax cos ax2 cos2 ax 的周期为 ，其 中 a0 () 求 a 的值； () 求 f(x)的值域 19 (本题满分 14 分 ) 已知 A，B，C，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的6 个顶点，在顶 点取自 A，B，C，D，E，F 的所有三角形中，随机(等可能 )取一个三角形设随机变 量 X 为取出三角

10、形的面积 () 求概率 P( X 3 4 )； () 求数学期望E( X) 20(本题满分15 分) 如图，平面ABCD平面 ADEF，其 中 ABCD 为矩形， ADEF 为梯形， AFDE，AFFE， AFAD2 DE2 () 求异面直线EF 与 BC 所成角的大小； () 若二面角ABFD 的平面角的余弦值为 1 3 ， 求 AB 的长 21 (本题满分15 分) 如图， F1，F2是离心率为 2 2 的椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的左、 右焦点， 直线l：x 1 2 将线段 F1F2分成两段， 其长度之比为1 : 3设 A， B 是 C 上的两个动点，线段AB 的

11、中垂线与C 交于 P，Q 两点， 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上 () 求椭圆 C 的方程； () 求 22 F PF Q的取值范围 22 (本题满分 14 分 ) 已知函数f(x)x 3 3 2 (1 a)x 2 3ax1，a0 () 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x0，p时，有 1 f(x)1； () 设()中的 p 的最大值为g(a)，求 g(a)的最大值 A E F D B C (第 20 题图 ) (第 21题图 ) O B A x y x 2 1 M F1F2 P Q Z 数学（理科）试题第6 页 ( 共 12 页 ) 数学测试题 (理科)答案及评分参考 说明 : 一

12、、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分 细则。 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1 分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分5

13、0 分。 1B 2B 3C 4 C5A 6C 7D 8B 9 A 10D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4 分，满分28 分。 112 120 13 3 5 8 x 6 1410 15 157 4 16(0，15) 或 (8， 1) 174 三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 () 由题意得 f(x) 3 2 (1cos 2ax) 3 2 sin 2ax(1cos 2ax) 3 2 sin 2ax 1 2 cos 2ax 5 2 s

14、in (2ax 6 ) 5 2 因为 f(x)的周期为 ， a0，所以 a1 ,7 分 () 由()得 Z 数学（理科）试题第7 页 ( 共 12 页 ) f(x) sin (2x 6 ) 5 2 ， 所以 f(x)的值域为 3 2 ， 7 2 ,14 分 19 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象 概括、运算求解能力和应用意识。满分14 分。 () 由题意得取出的三角形的面积是 3 4 的概率 P( X 3 4 ) 3 6 6 C 3 10 ,7 分 () 随机变量X 的分布列为 X 3 4 3 2 33 4 P 3 1 0 6 1 0 1 10 所以E

15、( X) 3 4 3 10 3 2 6 10 33 4 1 10 93 20 ,14 分 20 本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间 向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15 分。 () 延长 AD，FE 交于 Q 因为 ABCD 是矩形，所以 BCAD， 所以 AQF 是异面直线EF 与 BC 所成的角 在梯形 ADEF 中，因为 DEAF，AFFE，AF 2， DE1 得 AQF30 ,7 分 () 方法一： 设 AB x取 AF 的中点 G由题意得 DGAF A E F D B C (第 20 题图 ) H G Q Z 数学（理科）试

16、题第8 页 ( 共 12 页 ) 因为平面ABCD平面 ADEF ，ABAD，所以 AB平面 ADEF， 所以 AB DG 所以 DG平面 ABF 过 G 作 GHBF，垂足为H，连结 DH ，则 DH BF， 所以 DHG 为二面角 ABFD 的平面角 在直角 AGD 中， AD2，AG1，得 DG 3 在直角 BAF 中，由 AB B F sinAFB G H F G ，得 G H x 2 1 4x ， 所以 GH 2 4 x x 在直角 DGH 中， DG 3，GH 2 4 x x ，得 DH 2 2 3 2 4 x x 因为 cosDHG G H D H 1 3 ，得 x 2 1 5

17、5 ， 所以 AB 2 15 5 ,15 分 方法二：设ABx Z 数学（理科）试题第9 页 ( 共 12 页 ) 以 F 为原点， AF，FQ 所在的直线分别为x 轴， y 轴建立空间直角坐标系Fxyz则 F(0，0，0)，A(2，0，0)， E( 3， 0，0)，D(1，3， 0)， B(2，0，x)， 所以 D F(1，3，0)，BF(2，0， x) 因为 EF平面 ABF，所以平面ABF 的法向量可取 1 n(0，1，0) 设 2 n (x1，y1，z1)为平面 BFD 的法向量，则 11 11 20, 30, xz x xy 所以，可取 2 n(3，1， 23 x ) 因为 cos

18、12 12 | | nn nn 1 3 ，得 x 2 15 5 ， 所以 AB 2 15 5 ,15 分 21 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几 何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分。 () 设 F2(c，0)，则 1 2 1 2 c c 1 3 ， 所以 c 1 因为离心率e 2 2 ，所以 a 2 所以椭圆C 的方程为 2 2 1 2 x y,6 分 A E F D B C (第 20 题图 ) x z y O B A x y x 2 1 (第 21题图 ) M F1F2 Z 数学（理科）试题第10 页 ( 共 12 页) () 当直线 A

19、B 垂直于 x 轴时，直线AB 方程为 x 1 2 ，此时 P( 2，0)、Q(2 ,0) 22 1F PF Q 当直线 AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为 k，M( 1 2 ，m) (m0)，A(x1，y1)， B(x2， y2) 由 2 2 1 1 2 2 2 2 1, 2 1, 2 x y x y 得 (x1x2) 2(y1y2) 12 12 yy xx 0， 则 14mk0， 故 k 1 4 m 此时，直线PQ 斜率为 mk4 1 ， PQ 的直线方程为 ) 2 1 (4xmmy 即 mmxy4 联立 1 2 4 2 2 y x mmxy 消去 y，整理得 2222 (3 2

20、1)1 6220mxmxm 所以 2 12 2 1 6 3 21 m xx m ， 2 12 2 22 3 21 m x x m 于是 QFPF 22(x11)(x21)y1y2 Z 数学（理科）试题第11 页 ( 共 12 页) )4)(4(1)( 212121 mmxmmxxxxx 2 21 2 21 2 1)(14()161(mxxmxxm 2222 2 22 (11 6)( 22 )( 41)(1 6) 1 3 213 21 mmmm m mm 2 2 1 91 3 21 m m 令 t 132m2，1 t29，则 t QFPF 32 51 32 19 22 又 1t29，所以 22

21、1 2 5 1 23 2 F PF Q 综上， QFPF 22 的取值范围为1， 125 2 3 2 ） ,15 分 22 本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨 论等综合解题能力和创新意识。满分14 分。 () 由于f (x)3x 23(1a)x3a3(x1)(xa)，且 a0， 故 f(x)在0，a上单调递减，在a， )上单调递增 又 f (0)1，f (a) 1 2 a 3 3 2 a 21 1 2 (1a)(a2) 2 1 当 f(a) 1 时，取 p a 此时，当x0，p时有 1f(x)1 成立 当 f(a) 1 时，由于f(0)1 20，f(a)

22、10， 故存在 p(0，a)使得 f(p)10 此时，当x0，p时有 1f(x)1 成立 综上，对于正数a，存在正数p，使得当x0，p时，有 1f (x)1 ,7 分 () 由()知 f(x)在 0， )上的最小值为f(a) Z 数学（理科）试题第12 页 ( 共 12 页) 当 0a 1 时， f(a) 1，则 g(a)是方程 f(p) 1满足 pa 的实根， 即 2p2+3(1 a)p6a0 满足 pa 的实根，所以 g(a) 2 3(1)93 09 4 aaa 又 g(a)在(0，1上单调递增，故 g(a)maxg(1) 3 当 a1 时， f(a) 1 由于 f(0)1，f(1) 9 2 (1a)1 1，故 0， p 0，1 此时， g(a)1 综上所述， g(a)的最大值为3 ,14 分