特殊三角形讲义副本.docx

1、学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题特殊三角形授课日期及时段教学目标掌握等腰三角形和等边三角形的定义、性质以及判定掌握直角三角形的性质和判定重点、难点运用特殊三角形的性质和判定去解决问题教学内容一、疑难讲解二、知识点梳理三角形复习：1.I由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”用符号表示.由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。三角形三个内角的和等于180。三角形按角进行分类：（注意要着重搞清各类三角形的特征。）r锐角三角形一一三个角都是锐角。三角形Y直角三角形一一有一个角是直角。（记作RtZABC）

2、钝角三角形有一个角是钝角。由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部,直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的

3、高都在三角形的外部，它们的垂足都在相讲义编号:组长签字：签字日期工应顶点的对边的延长线上。1.4全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。“全等”可用符号“且”来表示。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。1.5三角形全等的条件三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。特殊三角形（一）等腰三角形1.等腰三角形定义

4、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2 .等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）3 .等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。等边二角形的定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形，注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。1 .等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。2 .等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（二）直角三角形1.直角三角形定义如果三角形中有一个角是直角，

5、那么这个三角形叫直角三角形。注意：通常用符号“Rta”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果aABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角C用三角A、B、C对应的小写字母a、b、C分别表示三个角的对边。3 .等腰直角三角形：如果AB=AC且NA=90,显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。.直角三角形性质：1.直角三角形两个锐角互余”的性质。2 .直角三角形斜边上中线等于斜边的一半o3 .在直角三角形中如果一个锐角是30,那么它所对的直角边等于斜边的一半”。4 .直角三角形判定：两个锐角互余的三角形是直角

6、三角形注意：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。勾股定理：a2+b2=c2勾股定理的变形C=也2+/a2=c2-b2b2=c2-a2b=JC2三、典型例题1、等腰三角形的两边长分别为4、9,那么它的周长为（）A17B22C17或22D132、等边三角形的对称轴有（）Al条B2条C3条D4条3、以以下三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是（）A1,1,2B5,810C6,7,8D3,4,54、三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（）A中线上B角平分线上C高线上D不能确定5、以下条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A两个锐角对应相等B一

7、条边和一个锐角对应相等C两条直角边对应相等D一条直角边和一条斜边对应相等6、一个等腰三角形底上的高、和顶角的互相重合。7、在RtABC中，ZC=90度，ZB=25度,那么NA=度.8、等腰三角形的腰长为10,底边长为12,那么其底边上的高为9、等边三角形的周长为24cm,那么等边三角形的边长为cm10、RtBC的斜边AB的长为IOcm,那么AB边上的中线长为11、：如图，D是aABC的BC边上的中点，DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断ABC是什么三角形？并说明理由.考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.分析：用(HL)证明AEBDgaFCD,从而得出NEBD=

8、NFCD,即可证明aABC是等腰三角形.解答：ABC是等腰三角形.证明：连接AD,VDEAB,DFAC,ZBED=ZCFD=90o,且DE=DF,D是aABC的BC边上的中点，ABD=DC,RtEBDRtFCD(HL),ZEBD=ZFCD,ZABC是等腰三角形.12 .如图，ZABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证：DF=EF.B,考占. 分析:解答:全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.过D点作DGAE交BC于G点，由平行线的性质得N1=N2,Z4=Z3,再根据等腰三代形的性质可得NB=N2,那么NB=Nl,于是有DB=DG,根

9、据全等三角形的判定易得ADFGEFC,即可得到结论.证明：过D点作DGAE交BC于G点，如图，Z1=Z2,Z4=Z3,VAB=AC,.ZB=Z2,ZB=Z1,/.DB=DG,而BD=CE,ADG=CE,在aDFG和aEFC中,Z4=Z3.Zdfg=Zefc，dfgefc,df=ef.DG=CE13 .如图，：在C中，AB-AC,BD=BC,AD=DE=BE,求N4的度数.AB=AC,AD=DE,ED=EB,BD=BC.zABC=ZC,zA=zAED,NEBD=NEDB,NBDC=NC（等边对等角）设nA=2x。，那么NAED=2x。在ZkAED中，NAED是外角.zAED=ZEBD+zEDB（

10、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.zEBD=ZEDB=xo在AABD中，NBDC是外角.zBDC=ZEBD+zA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.zBDC=3xo.zC=3xo.,.zABC=3xo.在AABC中，zA+zC+zABC=I802xo+3xo+3xo=180o（三角形三个内角的和等于180）解得x=22.5o/.zA=2xo=45o14.如图，：在等边三角形力比中，D,分别在力8和/C上，且AD=CE,应和口相交于点2求：Z.BPD的度数.四、课堂练习一.填空题1 .直角三角形中，斜边及其中线之和为6,那么该三角形的斜边长为o2 .,RtZABC中，

11、BD为斜边AC上的中线，假设NA=35,那么NDBC=3 .等边三角形两条高线相交所成的钝角为度4 .假设直角三角形的两个锐角之差为24度，那么较大的锐夕5、如图，在aABC中，B=C,NBAC与NACB的平分线AF、CF的度数为6、如图，在RtAABC中，CD是AB边上的高，假设AO4,BO3,那么CD=AAJBFc二.选择题1.等腰三角形的腰长为2百，底角等于30,那么底边长为A.3B,33C.63D.62 .如图，BE、CD分别是aABC的两条边上的高，M是BC的中A.不等边三角形B.等腰三角形C.直角三角于ABMC3 .ZA=37o,ZB=53o,那么aABC为()（八）锐角三角形(B

12、)钝角三角形(C)直角三角4 .以下图形中，不是轴对称图形的是()（八）线段(B)角(C)等腰三角形(D)直f5 .一个三角形的周长为15Cnb且其中两边长都等于第三边的2（八）Icm(B)2cm(C)3cm(D)4cm6.在aABC中，ZA：ZB：ZC=I:2：3,CD_LAB于D,AB=a（八）-(B)-(C)-(D)以上结果电234目的度数是O:相交于点D,且NB=70,那么NADECB()3那么aDEM是()%D.等边三角形形(D)以上都有可能自三角形倍，那么这个三角形的最短边为()那么DB等于()制不对三.解答题1 .等腰直角三角形ABC,BC是斜边.NB的角平分线交AC于D,过C作

13、CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.考点：全等三角形的判定与性质.分析：延长CE,BA交于一点F,由条件可证得aBFE全名ZXBEC,所以FE=EC,即CF=2CE,再通过证明aADB4FAC可得FoBD,所以BD=2CE.解答：证明：如图，分别延长CE,BA交于一点F.VBEEC,ZFEB=ZCEB=90o,YBE平分NABC,ZFBE=ZCBE,又YBE=BE,BFEBCE(ASA).FE=CE.CF=2CE.VAB=AC,ZBAC=90o,ZABD+ZADB=90o,ZADB=ZEDC,ZABD+ZEDC=90o.XVZDEC=90o,ZEDC+ZECD=90o,ZFC

14、A=ZDBC=ZABD.ADBAFC.FC=DB,BD=2EC.2 .如图，ZABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD.连接DE.(1)NE等于多少度？(2)ZM)BE是什么三角形？为什么？RCE3.如图，ZABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求NBFD的度数.考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)根据等边三角形的性质可知NBAoNo60,AB=CA,结合AE=CD,可证明aABFCAD,从而证得结论；(2)根据NBFD=NABE+NBAD,Z

15、ABE=ZCAD,可知NBFD=NCAD+NBAD=NBAO60.解答：(1)证明：ZABC为等边三角形，ZBAC=ZC=60o,AB=CA.在aABE和aCAD中，,AB=AC.ZBAE=ZCBECDD=BE.AE=CD(2)解：VZBFD=ZABE+ZBAD,XVABECAD,ZABE=ZCAd.ZBFD=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60.4,一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5,BD=210,求其斜边AB的长。五、课后作业1、如图4所示，ABC中，AB=AC,过AC上一点作DEJ_AC,EF_LBC,假设NBDE=I40,那么NDEF=()（八）55o(B)60o(C)65o

16、D)702、一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30,那么这个三角形是()（八）直角三角形(B)钝角三角形(C)可能是锐角三角形(D)以上说法都不对3、如图5所示，在aABC中，ZA：ZB：NO3：5：10,又4ABCABC,那么NBCA：ZBCB,等于()（八）1：2(B)1：3(C)2：3(D)1：44.如图6所示，ZABC中，NBAo90,AD_LBC于D,假设AB=3,BC=5,那么DC的长度是()（八）-(B)-(C)(D)5555a5 .等腰三角形的腰长是底边的2,底边等于12Cnb那么三角形的周长为cm46 .P为等边aABC所在平面上一点,且aPAB,PBC,P

17、CA都是等腰三角形,这样的点P有个.7 .在等腰4ABC中，AB=AcAD_LBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,那么AD=cm.8 .在直线，上依次摆放着七个正方形(如下图)。斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是a、S2、S3、S1,那么S+Sz+Ss+S,等于.9 .如图，：在bABC中，AB-AC,Zj4=40o,点o在&ABC内，且/。BC=4OCA,求：乙BoC的度数.10 .如图，ZABC和aABD中，ZC=ZD=RtZ,E是BC边上的中线。请你说明CE=DE的理由。D11 .：在AABC中，NABC=90,点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D,且点U为EC中点，连接BM,DM.(1)如图1,假设点E在线段AB上，探究线段BM与DM及NBMD与NBCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；(2)如图2,假设点E在BA延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜测并加以证明；(3)假设点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及NBMD与NBCD所满足的数量关系.六、课后评语：1、学生上次作业评价：O好O较好O一般。差2、学生本次上课情况：教师签字：3、家长对学科老师的意见和建议：家长签字：