基于模态柔度曲率的损伤检测方法.pdf

《基于模态柔度曲率的损伤检测方法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于模态柔度曲率的损伤检测方法.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第2 3 卷第4 划V o l2 3 N o 4 2 0 0 6 年4 月 A p r i l2 0 0 6 T程 E N G I N E E R I N G 力学 M E C H A N I C S 文章编号：1 0 0 0 - 4 7 5 0 ( 2 0 0 6 ) 0 4 0 0 3 3 0 6 基于模态柔度曲率的损伤检测方法 + 曹晖1 ，M i c h a e lI F r i s w e l l 2 ( 】重庆大学B 区土木工程学院重庆4 0 0 0 4 5 ；2A e m s p a c e D e p a r t m e n t ，U n i v e r s i t yo f

2、B r i s t 0 1 Q e e a s B u i l d i n g ，U n i v e r s i t y W a l k ，B r i s t o l B S 8I T R ，U K ) 摘要：由于模态柔度对结构损伤的高灵敏性，各种基于模态柔度的检测指标在结构无损探伤N D E ( N o n d e s t r u c t i v e D a m a g eE v a l u a t i o n ) 中应用较多，如模态柔度差、模态柔度改变率和均匀荷载面曲率差等。这些指标经应用验证都 具有一定的有效性。在此基础上，采用模态柔度曲率的改变构建一种新的指标，称为模态柔度曲率差( M

3、 F C ) 。尽 管均匀荷载面曲率差也采用曲率，但不同的是它先将模态柔度矩阵按行加起来，再求损伤前后的曲率差。而提出 的模态柔度曲率差则按列计算损伤前后模态柔度矩阵的曲率差，然后挑选每列里面最大的值作为指标。采用一个 简支梁和一个列跨连续粱为算例，考虑各种损伤情况，将该指标与模态柔度差、模态柔度改变率和均匀荷载面曲 率差、以及振型曲率改变率等指标进行了比较证明了模态柔度曲率差检测损伤的有效性和优越性。 关键词：无损探伤；梁；模态柔度；振型曲率：模态柔度曲率差 中图分类号：T U 3 1 1文献标识码：A N o N D E S T R U C T I V ED A M A G EE V A

4、L U A T I o NI N D I C A T o RB A S E Do N M o D A LF L E X I B I L I T YC U R V A T U R E + C A OH u i l M i c h a e lT F d s w e l l 2 ( 1F a e u l t yo f C i v i lE n g i n e e r i n g ，C h o n g q i n gU n i v e r s i t y , C h o n g q i n g4 0 N 1 4 5 C h i n a ； 2A e r o s p a c e D e p a r t

5、m e n t ，U n i v e r s i t yo f B r i s t o l ，Q e e n s B u i l d i n g 。U n i v e r s i t y W a l k ，B r i s t o l B S 8I T R ，U K ) A b s t r a c t ：D u et ot h e h i g hs e n s i t i v i t yo ft h ec h a n g ej nm o d a lf l e x i b i l i t yt os t r u c t u r a ld a m a g e ，q u i t eaf e w n o

6、 n d e s t r u c t i v ed a m a g ee v a l u a t i o ni n d i c a t o r sb a s e do nm o d a lf l e x i b i l i t yh a v eb e e np u tf o r w a r d T h e s ei n d i c a t o r s s u c ha st h ec h a n g ei nm o d a lf l e x i b i l i t y , m o d a lf l e x i b i l i t yi n d e xa n dt h ec h a n g ei

7、 nu n i f o r ml o a ds u r f a c ec u r v a t u r e w e r eu s e di ns o m ec a s e sa n dp r o v e dt ob ev a l i dt os o m ee x t e n t I n 血i sp a p e Lan e wi n d i c a t o ri sc o n s t r u c t e d R a t h e rt h a nu s i n gt h ec h a n g ei nm o d a lf l e x i b i l i t y , t h ec h a n g ei

8、 nc u r v a t u r eo fm o d a lf t e x i b i f i t yi sa d o p t e da n d c a l l e dt h em o d a lf l e x i b i l i t yc u r v a t u r er M F C ) A l t h o u g ht h ec h a n g ei nu n i f o r ml o a ds u r f a c ec u r v a t u r ea l s ou s e s c u r v a t u r e i ti sd i f f e r e n tf r o mM F Cs

9、 i n c ei ta d d su pt h em o d a lf l e x i b i l i t ym a t r i xr o w w i s ea n dt I l e nc a l c u l a t e st h e c h a n g eo fc u r v a t u r e w h i l eM F cc o m p u t e st h ec h a n g eo fc u r v a t u r ec o l u r n n w i s ei nt h em o d a lf l e x i b i l i t ym a t r i xa n d c h o o

10、s e st h em a x i m u mi ne a c hc o l u m n T w os i m u l a t i o n s as i m p l eb e a ma n daf o u r - s p a nc o n t i n u o u sb e a m a r e u t i l i z e dt ov e d f yt h en e wi n d i c a t o r C o m p a r e dt ot h ea f o r e m e n t i o n e di n d i c a t o r sa n dm o d a lc u r v a t u r

11、 ei n d e x M F C i Sp r o v e dt ob eV a l i da n de f f i c i e n ti Ov a r i o u sc a s e s a n ds u p e r i o rt ot h ec o m p e t i t o r s K e yw o r d s ：n o n d e s t r u c t i v ed a m a g ee v a l u a t i o n ；b e a m ；m o d a lf l e x i b i l i t y ；m o d a lc u r v a t u r e ；m o d a lf

12、l e x i b i l i t y C U r v a t n r e 在结构的无损探伤中，基于结构损伤将导致结 构刚度的改变，并进而引起结构模态( 振动频率和振 型) 改变的认识，利用频率和振型来进行损伤检测是 研究较早，应用较多的方法 1 , 2 1 。频率和振型可以从 收稿E l 期：2 0 0 4 0 5 2 2 ；修改日期：2 0 0 5 0 82 9 基金项目：国家留学基金资助 作者简介：+ 曹晖0 9 6 9 ) ，男，四川省内江市人，副教授，博士，从事结构抗震和结构损伤榆测研究咂- m a i l ：g u a r d i a a c a 2 0 0 3 1 6 3c o

13、m ) M i c h a e lIF f i s w e l ，男，英国人，S i rG e o r s eW h i t eP r o f e s s o r ，博士，从事机械和结构动力及控制研究 万方数据 工程力学 结构的振动信号中以较高精度提取出来o 。由于频 率和振型对结构损伤的敏感性还不是很高，不少更 敏感的基于振型或者频率和振型的指标被研究者 提出并用于损伤检测。这其中应用较多的有振型曲 率”j l ，模态柔度差】，模态柔度改变率”等。损伤 检测一般说来，至少包括三个方面的内容，即其一 是否有损伤，其二损伤的位置，其三损伤的程度( 进 一步的要求是对可能发生的损伤进行预测) 。上

14、述 指标经研究者的分析和应用表明，一般都能对损伤 的前两个方面或者三个方面做出较为准确的判断， 但是结果的明晰程度不一定都很好，并且准确的程 度依赖于利用的频率和振型的数量。 作者据此提出一种称为模态柔度曲率差的指 标。该指标利用结构损伤前后的模态柔度的曲率之 差来检测损伤的位置和程度。由于桥梁结构通常都 可以简化为简支梁或连续梁模型，因而本文利用简 支梁和连续梁两个仿真算例来对比该指标和前述 几个指标的损伤检测效果。 1 指标定义 1 1 模态柔度差M o d a lF l e x i b i l i t y 该指标I 由P a n d e y 和B i s w a s 提出”】，将振型针对

15、 质量矩阵规一化以后，可得到利用频率和振型表示 的模态柔度矩阵F n1 F = 彻1 矿= 专耕 ( 1 ) i = 1 叶 其中，西= 硝，如，丸】为振型矩阵，谚为第i 振型， 臼= d i a g ( 砰) 为对角阵，皑为第i 频率。由于结构 损伤一般导致结构刚度下降，柔度增加，则损伤前 后的柔度变化矩阵为一 一= E F d( 2 ) F ，和n 分别为损伤前后的柔度矩阵。用占，表示4 中 第f 列里的绝对最大值 = m a x l 8 I ( 3 ) J ，可用作损伤检测的指标，下文用M F 表示。 1 2 模态柔度改变率M o d a lF l e x i b i f i t yI

16、n d e x 该指标由K o 等人提出”J ，定义为4 的对角项， 并经最中相应对角项规一化，下文用M F I 表示 其中，c ；( i ) 和c ? ( i ) 分别为损伤前后第J 振型第i 位置的曲率，计算如下 c 弘) = 竖型掣( 6 ) c d ( i ) - - 堕竺二! ! 丝! 兰! ! 二! 型塑 2 F 式中，( i ) 为第，振型第i 位置的元素，上标U 和d 表 示损伤前和后，为i 单元长度，当各单元长度相 等时，可以省略。 1 4 模态柔度曲率差M o d a lF l e x i b i l i t yC u r v a t u r e 本文提出的这个指标，是在求

17、模态柔度差之 前，先求损伤前后模态柔度的曲率矩阵C F 。和 C F 4 ，其元素计算如下 C F ? ( i ) ：笪竺二! ! ! 笠! ! ! ) 二! 型塑r 8 ) 。 斫 c F ? ( f ) ：F f ( i - 1 ) + F d ( i + 1 ) - 2 F ( i ) ( 9 ) 2 F 群( j ) 和F ? ( i ) 分别为损伤前后柔度矩阵第J 列第i 行的元素，再求模态柔度曲率的差值，并将其各列 的最大值作为检测指标M F C M F C = I C F “一C F 4 l ( 1 0 ) 需要指出的是，上述各个指标在计算时不是需 要用到所有的频率和振型，实际结

18、构振动测量也不 可能得到所有的模态，往往是较少的几个低阶模态 容易测到。从式( 1 ) 可以看出，较高频率的模态对模 态柔度的贡献是很小的，因此利用较少的几个低阶 模态( 比如二到三个) 就能达到足够的精度。Z h a o 和 D e W o l f 的研究表明”J ，模态柔度对损伤的敏感程度 远高于频率和振型。这就使不少研究者对其很有兴 趣 8 - 1 0 l 。本文采用的算例在计算模态柔度时都只使 用三个模态。而振型曲率改变率则是针对某单个振 型的，因而有选择振型的考虑，比如选某个振型或 者取几个振型结果的平均值。就本文的算例表明， 振型曲率改变率只采用第一振型效果最好，因此下 面的计算都

19、只采用了第一振型。 2 简支梁 M F I d 硝聪I 幔?( 4 ) 2 1 模型 1 3 振型曲率改变率M o d a lC u r v a t u r eI n d e x 建立一简支梁的有限元模型，该简支梁长6 m ， 该指标也由K o 等人提出”1 ，用M C 表示 划分为等长的1 5 段，如图1 所示( 图中上排圆圈内的 M C d C ? ( f ) 一c ；( f ) I ，I C ；( f ) 一c j ( 1 ) I ( 5 ) 数字为单元编号，下排数字为节点编g - ) 。截面惯性 一 矩为3 3 3 1 0 4 m 4 ，面积为0 1 m 2 ，材料弹性模量为 万方数据

20、 工 程力学 3 2 G P a ，密度为2 5 0 0 k g m 3 。结构损伤表现为单元刚 度的降低，质量保持不变。用弹性模量的减少米模 拟损伤导致的刚度降低，采用集中质量，用有限元 程序计算在无损伤和各种损伤情况下的前三阶模 态( 竖向振动，平动振型) 。 1 23 4 56 7 891 ：。21 j14156 L 立一 I 图1 简支梁有限元模型 F i g 1 F i n i t e e l e m e n t m o d e l o f as i m p l e b e a m 2 2 单个损伤的情况 考虑简支梁只有个单元有不同损伤程度的 情况，对比模态柔度差M F 和模态柔度曲

21、率差M F C 的检测效果。取单元4 的刚度分别下降2 0 、4 0 、 6 0 和8 0 四种情况，用讲表示。由于M F C ；是- 曲率 指标，所以两个边节点不能计算，但并不影响对边 单元损伤的判断，后面的算例可以说明这一点。图 2 给出了两个指标的结果，图中横坐标为单元节点 号，纵坐标为指标值。模态柔度差以节点的M F 为最 大值的方式指示出损伤单元，位置是准确的，但没 有损伤的单元其节点的M F 值不趋近于零，这就影响 到对损伤单元的判断，尤其是损伤较小时。而模态 柔度曲率差在损伤单元的节点上取大值，而非损伤 单元的肘开C 值非常小( 如果取全部的模态来计算，则 7 6 5 七 ；4

22、芷3 ： 2 没有损伤的单元其节点的M F C 值为零) 。当单元两端 节点的值都明显大于零时，则表明该单元有损伤。 因此，对损伤单元位置的判断M F C 比M F 更清楚。 此外，两个指标都随损伤的增加而增加，因此就一 个损伤单元的情况，可以通过二指标的值来判断损 伤的程度。 2 , 3 多个损伤的情况 先考虑两个中间单元，目口4 单元和8 单元( 位于8 节点和9 节点之间) 的刚度分别降低2 0 、4 0 、6 0 、 8 0 和3 0 、5 0 、7 0 、9 0 的情况( 用耐和嬲表 示) ，计算模态柔度差、模态柔度改变率、振型曲率 改变率和模态柔度曲率差四个指标，结果如图3 所 示

23、。从图可见，与一个单元损伤的情况类似，M F 准确地指示出了损伤单元8 单元的位置，但是4 单元 的指示却不是很明确，只是直线上的一点不易看清 的转折。相比之下，M 丹更不清楚，除了8 单元的位 置以最大值表现出来外，4 单元的位置似乎以局部 最大的形式反映，但在2 节点和1 5 节点的转折让人 混淆。M C I f f t 8 单元的指示比较明确，虽然在非损伤 单元节点的值并不小。对4 单元的指示不清楚，尤 其是在损伤较小时。而且在损伤程度不同时，8 单 元节点的值不是顺序变化，小损伤的M c ，值反而更 大，使得对损伤程度的判断很困难。与前三者相比， 朋F c 非常准确地给出了两个损伤单元

24、的位置，非损 伤单元节点的值几乎为零。而且J 1 4 F C 的值随损伤的 增加而顺序增加。 毛 24 5 节点尹9 1 21 41 6 万方数据 工 程力学 1 5 呈 二1 0 兰 5 ( c ) 7891 01 21 41 5 节点 柙) 23456 7 节瘩o ” 图3 简支梁两个损伤单元的情况 F i g 3 T w od a m a g e de l e m e n t si nas i m p l eb e a m 图4 简支梁两个损伤单7 i ( 一个边单元) 的情况 F i g 4 T w o d a m a g e de l e m e n t si nas i m p l

25、 eb e a m ( o n el l e a Et h es u p p o r t ) 特别值得注意的是，4 单元的M F C 值不受8 单元 的影响，对比图2 ( b ) 和图3 ( d ) 可以清楚地发现，不论 8 单元是否有损伤以及损伤大小，4 单元的值几乎不 变。也就是说，每个损伤单元的M F C 是独立的，不 受其它损伤单元的影响，这给损伤单元的定位及判 断损伤程度带来了极大的好处。结合下面另外一种 损伤情况，可以看到，这是其它二三个指标不具备的 优点。因此，就多个损伤单元的情况，只有M F C 可 以直接用来判断损伤程度。 再考察有一个边单元f 1 单元) 和一个中间单元 (

26、 4 单元) 有损伤的情况，用珊和耐表示，见图4 。与 两个中间单元损伤的情况类似，M F C 对损伤的定位 最清楚准确，并且再次验证了M F C , f f r 各单元的独立 性。虽然1 节点没有值，但从2 节点的值不难判断1 单元有损伤。M F 对te a 元的指示仍然是不明确的。 而从M F I 值的大小几乎看不出两个损伤单元的位 置，2 节点的最大值不知道是指示1 单元还是2 单元 有损伤，4 单元则根本看不出来了。M C I 的问题仍然 是对损伤程度的表示有误。 3 连续梁 考虑一四跨连续梁，各跨跨度相等，均为4 m ， 每跨均等分为8 个单元，则共计3 2 个单元。取2 、9 、

27、2 0 和3 2 四个单元为损伤单元，考虑3 0 和5 0 两种 刚度降低情况( 具体见图5 ) 。其中，单元9 和3 2 分别 位于中间支座和边支座旁边，其两端节点分别为9 和1 0 ，3 2 和3 3 。截面参数和有限元计算及取用模态 均同前述的简支梁。各指标计算结果如图5 所示。 M F 正确地指示出了2 0 单元有损伤，也似乎能看 出2 单元有损伤，但是有损伤的9 单元和3 2 单元却一 点也看不出来。 I G I 1 F I 的值至多只能判断出2 0 单元 是有损伤的。M C I 也是明确地指出2 0 单元是损伤单 i 。孔 。 i | 。 _ ：= 一 0 羽 万方数据 工 程力学

28、 元，而其它三个损伤单元就基本看不出来了。而且 在两种损伤情况下，保持损伤程度不变的2 单元的 M C l 4 疽相差很大，让人混淆。只有M F C 准确清楚地 表示出了各损伤单元，并且2 单元和3 2 单元的M F C 值几乎保持不变，和其损伤程度不变的事实相吻 合。虽然在9 单元和2 0 单元损伤增加后，非损伤单 元的肘F c 值有所增加，但相L I ：M C ! 的图形，整个基 线要平得多，损伤单元与非损伤单元的差值非常明 显，不影响判断。 1 0 8 乞6 ； 生4 2 2 35 9 1 0 1 5 节点1 2 53 03 3 2 3 59 l O 1 5 节点1 2 5 3 2 。(

29、 d ) d r 7 一j 1 ；= - - o 2 = 03 ，C t 9 = O5 c t 2 0 = O5 ( x 3 2 = 03 25 一I a 2 = o 3 0 t 9 = 03 。c 【2 0 = 03 ，o 3 2 = 03 2 35”o 1 5 - 帝点”1 “” 图5 连续粱四个损伤单元的情况 F i g5 F o u rd a m a g e de l e m e n t si nac o n t i n u 6 u sb e a m 4M F C 与均匀荷载面曲率差的对比 Z h a n g 和A k t a n 曾建议采用所谓均匀荷载面曲 率差( c h a n g

30、 ei nu n i f o r ml o a ds u r f a c ec u r v a t u r e ，以下 简记为U L S C ) 作为损伤检测的指标J 。该指标与本 文提出的M F C 有些类似，都是采用模态柔度，不同 的是先分别将损伤前后的柔度矩阵各列加在一起， 再求这两个列矩阵的曲率，再相减，得到每个节点 的U L S C 值。 经计算，采用U L S C 与M F C 检测简支梁，其效 粟相近，而检测连续粱时，U L S C 则明显存在问题。 仍然采用前面的连续粱，考虑各损伤单元刚度f 降 3 0 的情况，两指标的对比结果如图6 所示。U L S C 对2 单元和9 单元

31、做出了准确指示，但是同样有损伤 的2 0 单元和3 2 单元则无法从图上看出。并且同M F C 相比，u L s c 非损伤单元节点的值与损伤单元节点 的值差别不够丈，容易引起判断误差。 图6 连续粱四个损伤单元一M F C 与u L s c 的对比 F i g 6 F o u rd a m a g e de l e m e n t si naC O N d N U O U Sb e a mM F CV S U L S C 图7 连续梁第二跨 F i g 7 T i l es e c o n ds p a n o f ac o n t i n u o u sb e a m 考虑到u L S c

32、 能对简支梁做出准确的检测，是 否可以将连续梁在支座处分开作为若干简支梁来 计算呢? 计算表明，分跨时在某些跨会出现异常现 象，导致判断失误。比如分跨计算时，该连续梁的 o ， o 毛l x o u = 万方数据 工程力学 第二跨，损伤单元9 单元应该通过1 0 节点有大的 【J I c 值反映出来。但实际是非损伤单元的值同样 很大，甚至比损伤单元的值还更大，而且与整体计 算时的值相比差了数量级，如图7 所示。这说明用 U L S C 来检测连续梁是不合适的。 5 结论 本文利用结构损伤前后的模态柔度，求其曲率 差值，并从中找到最大值，作为检测结构损伤的指 标，称为模态柔度曲率差。通过与已有的

33、模态柔度 差，模态柔度改变率和振型曲率改变率，以及均匀 荷载面曲率差等指标的对比计算，发现不论对简支 梁，还是连续梁，无论损伤的程度，该指标对损伤 的定位和损伤程度的判断都具有很好的效果，明显 优于已有的指标。 本文目前只用到了仿真算例，对于从实际测量 信号中提取的结构模态，由于不可避免的噪音污染 等问题，对该指标的检测效果肯定是有影响的，解 决办法有待下一步的工作。 参考文献 【2 l S o h nH Ar e v i e w o fs t r u c t u r a lh e a l t h m o n i t o r i n g I i t e r a t u r e ： 1 9 9

34、6 2 0 0 1 R 1 L o sA l a m o s N a t i o n a l L a b o r a t o r yR e p o r tL A 1 3 9 7 6 M S 2 0 0 2 3 1P e e t e r sBa n dR o e c kGD P r e f e r e n e c - b a s e ds t o c h a s t i c s u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o nf o ro u t p u t - o n l ym o d a la n a l y s i s M e c h a n i c a l

35、S y s t e m sa n dS i g n a lP r o c e s s i n g 1 9 9 9 1 3 ： 8 5 5 8 7 8 【4 】P a n d e yAK ，B i s w a sM ，S a m m a nM MD a m a g e d e t e c t i o nf r o mc h a n g e si nc u r v a t u r em o d es h a p e sf J l J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n1 9 9 】1 4 5 ：3 2 1 3 3 2 5 】 K oJM M

36、u l t i - s t a g ei d e n t i f i c a t i o ns c h e m ef o rd e t e c t i n g d a m a g e i n c a b l e - s t a y e dK a pS h i nM u nB r i d g e 【J E n g i n e e r i n gS t r u c t u r e s ，2 0 0 2 ，2 4 ：8 5 7 8 6 8 6 1P a n d e yA 艮B i s w a sM D a m a g ed e t e c t i o n 】ns t r u c t u r e s

37、u s i n gc h a n g e si nf l e x i b i l i t y 【J 】J o u r n a lo fS o u n da n d V i b r a t i o n 1 9 9 4 16 9 ：3 1 7 【7 z l l a tJ ，D e W o l fJ 工S e n s i t i v i t ys t u d yf o rv i b r a t i o n a l p a r a m e t e r su s e di nd a m a g ed e t e c t i o n J 1 J o a m a lo f S t r u c t u r a

38、 lE n g i n e e r i n g j 9 9 9 1 2 5 ：4 1 4 1 6 8 】 A k t a nAE M o d a lt e s t i n gf o rs t r u c t u r a li d e n t i f i c a t i o na n d c o n d i t i o na s s e s s m e n to fc o n s t a a a c t e df a c i l i t i e sf C l P r o c o f1 2 t hI n t e r u a t i o n a lM o d a lA n a l y s i sC

39、o n f e r e n c e ，1 9 9 4 4 6 2 4 6 8 I 】0 】 1D o e b l i n gSWD a m a g ei d e n t i f i c a t i o n a n dh e a l t h m o n i t o r l n go ：tS I r U C t u r a Ja n dm e c h a n i c a ls y s t e m sI r o m r ，1 c h a n g e si n t h e i rv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s ：al i t e r a t

40、 u r e r e v i e w R 】L o sA l a m o sN a t i o n a lL a b o r a t o r yR e p o r t L A - 1 3 0 7 0 一M S ，1 9 9 6 M a v e sRL A ne x p e r i m e n t a la l g o r i t h mf o rd e t e c t i n g d a m a g ea p p l i e dt ot h eI - 4 0b r i d g eo v e rt h eR i oG r a n d e C 】P r o c1 3 mI n t e c n a

41、t i o n a lM o d a lA n a l y s i sC o n f e r e n c e ， 1 9 9 52 1 9 2 2 5 D o e b l t h gSw F a r r a rC R C o m p u t a t i o no fs t r u c t u r a l f l e x i b i l i t yf o rb r i d g eh e a l t hm o n i t o r i n gu s i n ga m b i e n t m o d a ld a t a C E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s

42、 ：P r o c e e d i n g so f 1 1 t I lC o n f e m n c e ，L i nYKa n dS uTC ( e d s ) A S C E N e w Y o r k 1 9 9 6 2 ：】1 1 4 1 1 1 6 Z h a n gZ A k t a nAET h ed a m a g ei n d i c e sf o rt h e c o n s t r u c t e df a c i l i t i e sf C P r o c 1 3 t hI n t M o d a lA n a l y s i s C o n f ，1 9 9 5

43、，2 ：1 5 2 0 1 S 2 9 ( 上接第2 1 页) 参考文献 1 】B e l y t s c h k oT ，K r o n g a u zY M e s h l e s sm e t h o d s ：A n o v e “i e wa n dr e c e n td e v e l o p m e n t s 【J C o m p u tM e t h A p p lM e c hE n g n g ，1 9 9 6 1 3 9 ：3 4 7 【2 】张雄，宋康祖，陆明万无网格法研究进展及其应用 ( A 见：袁明武，孙树立编工程与科学中的计算力 锐q 北京：北京大学出版社，2

44、 0 0 1 11 2 1 2 1 Z h a n gX i o n g ，S o n gK a n g z u ，L uM i n g w a n R e s e a r c h p r o g r e s s a n da p p l i c a t i o no fm e s h l e s sm e t h o d A 】 I n ：Y u a nM i n g w u S u nS h u l i C o m p u t a t i o n a lM e c h a n i c s i n E n g i n e e r i n ga n dS c i e n c e 【c 】B e

45、 i j i n g ：P e k i n g U n i v e r s i t yP r e s s ，2 0 0 11 1 2 1 2 1 ( i nC h i n e s e ) 3 1 B e l y r s c h k oT L aYY ，G uL E l e m e n tf r e eg a l e r k i n m e t h o d sU 】I n tJN a m e rM e t h o d sE n g n g ，1 9 9 4 ，3 7 ： 2 2 9 2 5 6 。 【4 】 A t l u r iS N ，Z h uT ，An e wm e s h l e s

46、sl o c a lP e 口o v - G a l e r k i n ( M L P G ) a p p r o a c h i n c o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s J C o m p u tM e c h ，1 9 9 8 ，2 2 ：1 1 7 1 2 7 【5 L i uW K ，J u nS ，Z h a n gY F R e p r o d u c i n gk e m e lp a r t i c l e m e t h o d s J h a tJN u m e rM e t hF l u i d s ，1 9 9 5 ，

47、2 0 ： 1 0 8 l 1 1 0 6 f 6 】L u c yL B An u m e r i c a la p p r o a c ht ot h et e s t i n go ft h e f i s s i o nh y p o t h e s i s 【J 】T h eA s t t o nJ ，1 9 7 7 ，8 ( 1 2 ) ： 】0 1 3 1 0 2 4 【7 1 O n a t uE ， d e l s o h nS ，Z i e n l 6 e w i c zO C ，Af i n i t ep o i n t m e t h o di nc o m p u t

48、 a t i o n a lm e c h a n i c s ：A p p l i c a t i o n st o c o n v e c t i v et m n s p o f fa n df l u i df l o w J 1I n tJN u m e r M e t h o d sE n g n g ，1 9 9 6 3 9 ：3 8 3 9 3 8 6 6 【8 】 Z h a n gX i o n g ，S o n gK a n g z u 。L uM i n g w a n M e s h l e s s m e t h o db a s e do nc o l l o c a t i o nw i t hr a d i a lb a s i sf u n c t i o n 【J 】 C o m p u tM e c h 2 0 0 0 ，2 6 ( 舢：3 3 3 3 4 3 9 l C h e r tW S y m m e t r i cb o u n d a r yk n o tm e t h o d 【J JE n g n g A n a lB o u n d E l e m 2 0 0 2 2 6 ( 6 、：4 8 9 4 9 4 10 史宝军，袁明武，李君基于核重构思想的最+ - - 乘配 点型无网格方法田力学学