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1、,返回首页,Theory of Vibration with Applications,固有频率 主振型 主坐标和正则坐标 固有频率相等的情形,多自由度系统 固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,设n自由度系统运动微分方程的特解为,即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将解式代入系统运动微分方程，并消去 ，得到,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Ap
2、plications,特征矩阵,要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。,式是关于2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,可得到,前乘以,下面对其取值情况进行讨论。,由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正定的，因此有,于是，得到,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,频率方程中
3、所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。 一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为,其中最低阶固有频率1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。,多自由度系统 固有频率 主振型,对应于i可以求得A(i)，它满足,返回首页,Theory of Vibration with Applications,A(i)为对应于i的特征矢量。它表示系统在以i的频率作自由振动时，各物块
4、振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。,对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型,在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。,令 ，于是可得第i阶主振型矢量为,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求
5、得。,特征矩阵,逆矩阵,比较,所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。,任何非零列成比例,多自由度系统 固有频率 主振型,用矩阵A的第i 行第j 列的代数余子式把第j 行第i 列的元素替换掉得到就是A的伴随矩阵，记作adjA。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有,频率方程,求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将i值代入而求出.,代入位移方程,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例1
6、 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为,将M和K代入频率方程,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,解方程得到,求出系统的三个固有频率为,再求特征矩阵的伴随矩阵,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将1值代入，得到第一阶主振型为,得到第二、三
7、阶主振型为,三个主振型由图所示,多自由度系统 固有频率 主振型,归一化后，即令,返回首页,Theory of Vibration with Applications,= 0,主振型也可由式 求得,可得主振型,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例2 在例1中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型。,相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为,解：,特征矩阵为,可得到频率方程,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,解出,得到三个
8、固有频率,分别代入的第三列,归一化后，得到三个主振型,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例4 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力T很大，因而各点的横向位移不会使拉力有明显的变化。设m1= m2= m3= m ，尺寸如图所示，试用位移方程求
9、该系统的固有频率和主振型。,解：系统的质量矩阵是,其柔度矩阵可按柔度影响系数求出,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,首先仅在m1质量处施加水平单位力F=1,m1位移是,m2位移是,m3位移是,画出m1的受力图。根据平衡条件，得,m1,由图中三角形的几何关系可解出,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,写出柔度矩阵,系统的特征矩阵为,多自由度系统 固有频率 主振型,得频率方程，即得,返回首页,Theory of Vibration w
10、ith Applications,求出各根，按递降次序排列,于是得到系统的固有频率,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,为求系统的主振型，先求出adjL的第一列,代入,各阶主振型,归一化,多自由度系统 固有频率 主振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,主振型的正交性 主振型矩阵与正则振型矩阵 主坐标和正则坐标,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,n自由度的振动系统，具有n个固有频
11、率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。,对应于,相减,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。,Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。,令j = i,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with App
12、lications,可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。 因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,以各阶
13、主振型矢量为列，按顺序排列成一个nn阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即,根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质,主质量矩阵,主刚度矩阵,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,使MP由对角阵变换为单位阵,将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即,这样得到的振型称为正则振型。,正则振型的正交关系是,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,以各阶正则振型为列，依次排列成一个nn阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即,由正交性
14、可导出正则矩阵两个性质,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。 由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐
15、标或正则坐标。,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1. 主坐标 首先用主振型矩阵进行坐标变换，即,这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,即原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一定的比例组合而成。,新坐标,系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。,如果令,则可得,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory o
16、f Vibration with Applications,将式,由主振型矩阵的两个性质,由于主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵，所以方程式中无偶合，且为相互独立的n个自由度运动微分方程。即,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第i 个模态坐标代表在位移向量中第i阶主振型（模态振型）所作的贡献。任何一阶主振型的存在，并不
17、依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，而不是模态耦合的结果。各阶模态之间是不耦合的。,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,2. 正则坐标 用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设,由正则振型矩阵的两个性质,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,3. 位移方程的坐标变换,设系统的位移方程,单位矩阵的转置矩阵,谱矩阵的逆矩阵,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theor
18、y of Vibration with Applications,例5 试求例1中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。,由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵,解：将在例1中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,于是，可得各阶正则振型,以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵,多自由度系统 主坐标和正则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由刚度矩阵,可求出谱矩阵,可写出以正则坐标表示的运动方程,展开式为,多自由度系统 主坐标和正
19、则坐标,返回首页,Theory of Vibration with Applications,在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。 为了说明这一点，假设频率方程有二重根。,可写出,线性组合,说明对应于0的主振型不能唯一地确定,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,因此，当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。不仅所选定的A(1)和A(2)之间应满足对M、K
20、的正交关系，而且还必须满足与其它振型间关于M、K的正交关系。,例6 图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1, x2 。 写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为,得到特征矩阵,得到频率方程,解出系统的两个固有频率，是重根。,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,求出特征矩阵的伴
21、随矩阵,并将两个固有频率代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵adjB 确定主振型。,需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设,然后用两振型关于M、K的正交性来校核,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,是该系统的一组正交主振型,需要指出的是，这种相互独立正交的主振型组可以有无穷多组。就好象在平面几何中，一个圆有无穷多组相互垂直的二个直径一样。图所示，为另一组相互正交的主振型，即,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theor
22、y of Vibration with Applications,例 图所示的系统中，各个质量只沿铅垂方向运动，设k1= k2= k3= k， m1= M，m2= m3= m4= m，试求系统的固有频率和主振型。,解：,其中,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由特征矩阵,建立频率方程为,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由特征矩阵,求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,求与重根对应的主振型,按第一行展开,同时应满足,正交化,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,同理，可得到满足第三阶主振型的关系式,多自由度系统 固有频率相等的情况,返回首页,Theory of Vibration with Applications,多自由度系统 习题,习题 4.3，4.4,