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1、. 直线与圆锥曲线的位置关系练习题 一、选择题 1双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为k，则直线 l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是() Ak b a Bk b a Ck b a或 k b a D b ak b a 2若直线mxny 4 与 O：x 2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 x 2 9 y 2 4 1 的交点个数是 () A至多为1 B2 C1 D0 3斜率为1 的直线 l 与椭圆 x 2 4 y21 相交于 A、B 两点，则 |AB|的最大值为 () A2 B.4 5 5 C.4 1
2、0 5 D.8 10 5 4设双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的一条渐近线与抛物线 yx 21 只有一个公共点，则双 曲线的离心率为() A. 5 4 B5 C. 5 2 D.5 5已知 A，B 为抛物线C：y 24x 上的两个不同的点， F 为抛物线C 的焦点， 若 FA 4FB ， 则直线 AB 的斜率为 () A 2 3 B 3 2 C 3 4 D 4 3 6.过点 (0,2)与抛物线y 2 8x 只有一个公共点的直线有 ( C ) A1 条B2 条C 3 条D无数条 7.直线 ykx k 1与椭圆 x 2 9 y 2 4 1 的位置关系为( A ) A相交B相切
3、C相离D不确定 8.已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的右焦点为 F，若过点F 且倾斜角为60 的直线与双曲线 的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( A ) A(1,2) B (1,2 C2， ) D(2， ) 9.过抛物线y 24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点， 点 O 是原点，若|AF|3， 则 AOB 的面积为 ( C ) A. 2 2 B. 2C.3 2 2 D2 2 10已知对 kR，直线 ykx10 与椭圆 x 2 5 y 2 m1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是 () A(0, 1)B(0,5) C1,5)(5， ) D
4、1,5) . 11直线 l： yx3 与曲线 y 2 9 x |x| 4 1 交点的个数为 () A0B1C2D3 12已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)的右焦点为 F，若过点F 且倾斜角为60 的直线与双 曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是() A(1,2) B(1,2) C(2， ) D2， ) 13斜率为1 的直线 l 与椭圆 x 2 4 y21 交于不同两点A、B，则 |AB|的最大值为 () A2 B. 45 5 C.4 10 5 D.8 10 5 14设离心率为e 的双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)的右焦点
5、为 F，直线 l 过焦点 F，且 斜率为 k，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是() Ak 2 e21 Bk2e21 Ce2k21 De 2k21 二、填空题 1直线 ykx1 与椭圆 x 2 5 y 2 m1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 _ 2已知 (4，2)是直线 l 被椭圆 x 2 36 y 2 9 1 所截得的线段的中点，则l 的方程是 _ 3(2013 汕头模拟 )已知点P 在直线 xy50 上，点 Q 在抛物线 y 2 2x 上，则 |PQ|的最 小值等于 _ 4.若椭圆 x 2 3 y 2 m 1 与直线 x2y20 有两个不同的交点，则m 的取值范围是.
6、 5.已知两定点M( 2,0)，N(2,0) ，若直线上存在点P，使得 |PM|PN|2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：yx1；y3x2；y x3；y 2x.其中是“ A 型直线”的序号是. 三、解答题 1设 F1， F2分别是椭圆 E：x2 y 2 b 21(0b0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于A，B 两点， O 为坐标原点 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1 2，求椭圆的离心率； (2)若|AP|OA|，证明直线OP 的斜率 k 满足 |k|3. . 4.已知 i，j 是 x，y 轴正方向的单位向量，设axi(y1)j，b xi(y 1)j，
7、且满足 |a|b|22. (1)求点 P(x，y)的轨迹 C 的方程； (2)设点 F(0,1)，点 A，B，C，D 在曲线 C 上，若 AF 与FB 共线， CF 与FD 共线， 且AF CF 0.求四边形ACBD 的面积的最小值和最大值 5(2013 佛山质检 )在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：x 2 3 y21.如图 893 所示， 斜率为 k(k0)且不过原点的直线l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段AB 的中点为E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线x 3 于点 D(3，m) (1)求 m 2k2 的最小值； (2)若|OG| 2|OD| |OE|，求证：直线l 过定
8、点 . 直线与圆锥曲线的位置关系练习题 解析及答案 一、选择题 1 【解析】由双曲线的几何意义， b ak b a.【答案】 D 2 【解析】由题意知： 4 m 2 n 22，即 m 2n22， 点 P(m，n)在椭圆 x 2 9 y 2 4 1 的内部，因此直线与椭圆有2 个交点【答案】B 3 【解析】设椭圆与直线相交于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点， 由 x 24y24， yxt. 消去 y， 得 5x 28tx4(t21)0，则有 x 1x2 8 5t，x1x2 4（t 2 1） 5 . |AB|1k 2|x 1x2|2（ 8 5t） 244（t 2 1） 5 42 5 5t
9、2， 当 t0 时， |AB|max 4 10 5 .【答案】C 4 【解析】双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的一条渐近线为yb ax， 由方程组 y b ax， y x 2 1 消去 y 得， x 2b ax10 有唯一解，所以 (b a) 2 40，b a2， e c a a 2b2 a 1（ b a） 2 5.【答案】D 5 【解析】焦点 F(1，0)，直线 AB 的斜率必存在，且不为0. 故可设直线AB 的方程为yk(x1)(k0)，代入 y 24x 中化简得 ky 24y4k0. 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 y1 y2 4 k，y1y2 4， 又由 FA
10、4FB 可得 y1 4y2，联立 式解得 k 4 3.【答案】 D 6、解析： 易知 y 轴与抛物线切于原点满足条件；直线 y2 与抛物线的对称轴平行也满 足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x 轴上方， 故这样的直线有3条选 C. 7. 选 A. 8、解析： 双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即 b a0 64m 24m 4m3 0 ，解得 1 43. 5 解析： 由条件知考虑给出直线与双曲线x 2y 2 3 1 右支的交点情况，作图易知 直 线与双曲线右支有交点，故填 . 三、解答题 1解： (1)由椭圆定义知 |AF2|AB|BF2| 4， 又 2|AB| |AF2|BF2|，
11、得 |AB| 4 3. (2)l 的方程为 yxc，其中 c1 b 2. 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组 yxc， x 2y 2 b 21， 化简得 (1b 2)x2 2cx12b20.则 x 1x2 2c 1b 2，x1x2 1 2b 2 1b 2. 因为直线 AB 的斜率为1，所以 |AB|2|x2x1|，即 4 3 2|x2 x1|. 则 8 9(x1x2) 24x 1x2 4 1b 2 1b 2 2 4 12b 2 1b 2 8b 4 1b 2 2，解得 b 2 2 . . 2解： (1)设抛物线 C 的方程为y 22mx，由 4xy 200，
12、 y 22mx， 得 2y 2 my20m0. 0，m0 或 mb0，故 (1k 2)24k24，即 k214，因此 k23，所以 |k| 3. 4.解析： (1)|a| |b|2 2，x 2 y12 x2 y1 22 2. 由椭圆的定义可知，动点P(x，y)的轨迹是以点F1(0， 1)，F2(0,1)为焦点，以 2 2为 长轴的椭圆点P(x，y)的轨迹 C 的方程为： x2 y 2 2 1. (2)由条件知AB 和 CD 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且 ABCD，直线AB、 CD 中至少有一条存在斜率，不妨设AB 的斜率为k，又 AB 过点 F(0,1)，故 AB 的方程为y k
13、x 1，将此式代入椭圆方程得(2k 2)x22kx10，设 A、B 两点的坐标分别为 (x1，y1)， (x2，y2)，则 x1 k2k22 2k 2，x2 k2k22 2 k 2， 从而 |AB|2(x1x2)2 (y1y2)2 8 1k 2 2 2k 2 2，亦即 |AB| 2 2 1 k 2 2 k 2. 当 k0 时， CD 的斜率为 1 k，同上可推得 |CD| 22 1 1 k 2 2 1 k 2 ， 故四边形 ABCD 面积 S 1 2|AB|CD| 1 2 8 1k 2 1 1 k 2 2k 2 2 1 k 2 4 2k 21 k 2 52k 22 k 2 . 令 uk2 1
14、k 2，得 S 4 2u 52u 2 1 1 52u . uk2 1 k 22，当 k 1 时 u2，S16 9 ，且 S是以 u 为自变量的增函数， 16 9 S2. 当 k0 时， CD 为椭圆长轴， |CD|2 2，|AB|2， S 1 2|AB|CD|2. 故四边形 ABCD 面积的最小值和最大值分别为 16 9 ，2. 5 【解】(1)设直线 l 的方程为y kxt(k0)由题意知t0. . 由方程组 y kxt， x 2 3 y 21， 得(3k 21)x26ktx3t230.由题意知 0，所以 3k 21t2 . 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1
15、x2 6kt 3k 21， 所以 y1y2 2t 3k 21.所以 xE 3kt 3k 21，yE t 3k 2 1， 此时 kOEy E xE 1 3k.所以 OE 所在直线的方程为 y 1 3kx. 由题意知 D(3， m)在直线 OE 上，所以m 1 k ，即 mk1， 所以 m 2 k2 2mk 2，当且仅当 mk1 时等号成立此时由 0，得 0t2. 因此当 mk1 且 0t2 时， m 2 k 2 取最小值2. (2)证明由 (1)知 OD 所在直线的方程为y 1 3kx， 将其代入椭圆 C 的方程，并由 k 0， 解得 G( 3k 3k 21， 1 3k 21)又 E( 3kt
16、3k 21， t 3k 2 1)，D(3， 1 k)， 由距离公式及t0，得 |OG| 2( 3k 3k 21) 2( 1 3k 21) 29k 21 3k 21， |OD|（ 3） 2（1 k） 2 9k 21 k ， |OE|（ 3kt 3k 21） 2（t 3k 2 1） 2 t9k 21 3k 21 . 由|OG| 2|OD| |OE|，得 tk.因此直线l 的方程为yk(x1) 所以直线l恒过定点 (1，0)单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。