空间解析几何习题答案解析.pdf

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1、. . 一、计算题与证明题 1已知1| a, 4|b, 5|c, 并且0cba 计算accbba 解：因为1|a, 4|b, 5|c, 并且0cba 所以a与b同向，且 ba 与c反向 因此0ba，0cb，0ac 所以0accbba 2已知3|ba, 4|ba, 求|ba 解：3cos|baba（1） 4sin|baba（2） 22 2) 1(得25 2 ba 所以5ba 4已知向量 x与)2,5 , 1(,a 共线 , 且满足3xa, 求向量 x的坐标 解：设x的坐标为zyx,，又2,5 , 1a 则325zyxxa（1） 又x与a共线，则0ax 即 05252 512125 251 kyx

2、jxzizy k yx j yx i zy zyx kji 所以05252 222 yxxzzy 即01042026529 222 xyxzyzzyx（2） 又x与a共线，x与a夹角为 0或 30 3 251 10cos 222222222 zyxzyx ax 整理得 10 3222 zyx（3） 联立321、解出向量x的坐标为 5 1 , 2 1 , 10 1 . . 6已知点)7, 8, 3(A, )3, 2, 1(B求线段AB的中垂面的方程 解：因为7 ,8 ,3A,)3, 2, 1(B AB中垂面上的点到BA、的距离相等，设动点坐标为zyxM,，则由MBMA得 222222 32178

3、3zyxzyx 化简得027532zyx 这就是线段AB的中垂面的方程。 7 向 量a, b, c具 有 相 同 的 模 , 且 两 两 所 成 的 角 相 等 , 若a, b的 坐 标 分 别 为 )1 , 1 , 0()0 ,1 , 1 (和, 求向量c的坐标 解：rcba且它们两两所成的角相等，设为 则有 1101101ba 则 2 1 cos rba ba 设向量c的坐标为zyx, 则1 1 cos011 2 r rrbayxzyxca（1） 1 1 cos110 2 r rrcbzyzyxcb（2） 2011 222222 rzyxc 所以2 222 zyx（3） 联立（ 1） 、

4、（2） 、(3)求出 1 0 1 z y x 或 3 1 3 4 3 1 z y x 所以向量c的坐标为1 ,0, 1或 3 1 , 3 4 , 3 1 8已知点)1 ,6, 3(A, ) 1 ,4,2(B, )3,2,0(C, )3,0,2(D， (1)求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积 (2)求三棱锥BCDA的体积 . . (3)求BCD的面积 (4)求点A到平面BCD的距离 解：因为103 ，A，1 ,4,2B,3, 2,0C,3, 0,2D 所以0 ,10, 1AB 2, 8, 3AC 4, 6, 5AD （1） ADACAB, 是以它们为邻边的平行六面体的体积 17

5、612120001003 465 283 0101 V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD（三棱锥BCDA）的体积 3 88 176 6 1 6 1 VVT （3）因为222 ，BC，444 ，BD kji kji BDBC01616 444 222 所以2161616 22 BDBC，这是平行四边形BCED的面积 因此SS BCD 2 1 BCED28216 2 1 (4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥BCDA的体积 HSV BCDT 3 1 所以 2 211 2 11 28 3 88 3 3 BCD T S V H 1求经过点)1 , 2, 3(A和)3,2, 1(

6、B且与坐标平面xOz垂直的平面的方程 解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为 0DCzAx(1) 把点123 ，A和点321 ，B代入上式得 . . 03DCA(2) 03DCA(3) 由（ 2） ， （3）得 2 D A, 2 D C 代入（ 1）得0 22 Dz D x D 消去D得所求的平面方程为 02zx 2求到两平面0623:zyx和1 152 : zyx 距离相等的点的轨迹方程 解；设动点为zyxM,，由点到平面的距离公式得 2 2 2 2 2 2 1025 101025 213 623zyxzyz 所以101025 129 14 623zyxzyx 3已知原点到平面的距离为

7、120, 且在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2, 求的 方程 解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为 1 562k z k y k x 化成一般式为0306515kzyx 又因点0, 0,0O到平面的距离为 120，则有 120 6515 30 222 k 求出2864k 所以，所求平面方程为02861206515zyx 5已知两平面02467:zymx与平面0191132:zmyx相互垂直， 求m 的值 解：两平面的法矢分别为6,1, 1 mn，11,3,2 2 mn，由 1 n 2 n，得 066212mm 求出 19 66 m 6已知四点)0 ,0 ,0(A, )3,5,2(

8、,B, )2, 1 ,0(C, )7 ,0 ,2(D, 求三棱锥ABCD中ABC . . 面上的高 解：已知四点7, 0,2,2, 1 ,0,3, 5,2,0,0,0DCBA,则 9, 1 , 2,4,5, 0,7, 0, 2DCDBDA 由DCDBDA,为邻边构成的平行六面体的体积为 912 450 702 ,DCDBDAV 80700090 87090 28 由立体几何可知，三棱锥ABCD的体积为 3 14 28 6 1 6 1 VV ABCD 设D到平面ABC的高为H 则有 ABCABCD SHV 3 1 所以 ABC ABCD S V H 3 又2, 1 ,0,3, 5, 2ACAB

9、kji kji ACAB247 210 352 所以，69 2 1 247 2 1 2 1 222 ACABS ABC 因此， 69 6928 69 28 69 2 1 3 14 3 H 7已知点A在z轴上且到平面014724:zyx的距离为7, 求点A的坐标 解：A在z轴上，故设A的坐标为（ 0 0 z） ，由点到平面的距离公式，得 7 724 147 222 z 所以69147z . . 则692z 那么 A点的坐标为 692,0,0A 8已知点A在z轴上且到点) 1 ,2,0(B与到平面9326:zyx的距离相等 , 求点A 的坐标。 解：A在z轴上，故设A的坐标为z,0,0，由两点的距

10、离公式和点到平面的距离 公式得 222 22 2 326 93 120 z z 化简得02297440 2 zz 因为03116422940474 2 方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。 1求经过点)0,2, 1(P且与直线 0 1 1 1 1 1zyx 和 0 1 11 zyx 都平行的平面的方 程 解：两已知直线的方向矢分别为011011 21 ，vv，平面与直线平行，则平面的法 矢CBAa，与直线垂直 由a 1 v，有00BA（1） 由a 2 v，有00BA（2） 联立（ 1） ， （2）求得0,0 BA,只有0C 又因为平面经过点021，P，代入平面一般方程得 00C2010

11、D 所以0D 故所求平面方程0Cz，即0z，也就是xoy平面。 2求通过点P(1， 0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0 平行且与直线 12 3 4 1zyx 相交的直 线的方程 解：设所求直线的方向矢为pnmv， 直线与平面0123zx平行，则vn，有 . . 023pnm（1） 直线与直线 12 3 4 1zyx 相交，即共面 则有0 200311 124 pnm 所以01287nm（2） 由（ 1） ， （2）得 87 13 712 32 128 21 pnm ，即 31504 pnm 取4m，50n，31p，得求作的直线方程为 31 2 504 1zyx 3求通过点)0 ,0,0

12、(A与直线 1 4 1 4 2 3zyx 的平面的方程 解：设通过点)0,0,0(A的平面方程为0)0()0()0(zCyBxA 即0CzByAx(1) 又直线 1 4 1 4 2 3zyx 在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直 所以 02CBA (2) 直线上的点4,4,3也在该平面上，则 0443CBA（3） 由（ 1） ， （2） ， （3）得知，将CBA,作为未知数，有非零解的充要条件为 0 443 112 xzy 即01158zyx，这就是求作的平面方程。 4求点)0, 1, 1 (P到直线 0 1 11 2zyx 的距离 解：点1,0,2A在直线上，直线的方向矢0 , 1,

13、1v 1 , 1, 1AP,则AP与v的夹角为 . . 0 11111 011 cos 22222 vAP vAP 所以 0 90 因此点0 ,1, 1P到直线的距离为3111 2 22 APd 5取何值时直线 0154 0623 zyx zyx 与z轴相交 ? 解：直线 0154 0623 zyx zyx 与z轴相交，则有交点坐标为z， 00， 由直线方程得 015 062 z z ，求得5 7求过点)25,3(且与两平面34zx和13zyx平行直线方程 解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为 kji kji nnv13

14、4 113 401 21 将已知点代入直线的标准方程得 1 5 13 2 4 3zyx 8 一 平 面 经 过 直 线 （ 即 直 线 在 平 面 上 ）l： 41 2 3 5zyx ， 且 垂 直 于 平 面 015zyx，求该平面的方程 解：设求作的平面为0DCzByAx (1) 直线 41 2 3 5zyx 在该平面上， 则有点0, 2, 5在平面上， 且直线的方向矢4, 1 , 3v 与平面的法矢CBAn,垂直 所以025DBA(2) 043CBA(3) 又平面与已知平面011zyx垂直，则它们的法矢垂直 所以 0CBA (4) . . 联立 (2),(3),(4) 得 DC DB D

15、A 34 2 34 7 39 5 代入（ 1）式消去D并化简得求作的平面方程为 039225zyx 3求顶点为)0,0,0(O，轴与平面x+y+z=0 垂直，且经过点)1 ,2,3()的圆锥面的方程 解： 设轨迹上任一点的坐标为zyxP， 依题意，该圆锥面的轴线与平面0zyx垂 直，则轴线的方向矢为111 ，v，又点0 ,0,0O与点1 ,23，在锥面上过这两点的线的方向矢为 1 ,2, 3 1 l，点)0 ,0,0(O与点zyxP，的方向矢为zyxl, 2 ，则有 1 l与v 的夹角和 2 l与v的夹角相等，即 222222222222 111123 111213 111 1111 zyx

16、yx 化简得所求的圆锥面方程为 01414111111 222 yzxyzyx 4已知平面过z轴, 且与球面0411086 222 zyxzyx相交得到一个半径为 2 的圆 , 求该平面的方程 解：过z轴的平面为0ByAx（1） 球面方程化为9543 222 zyx 表示球心坐标为5,4 ,3O到截面圆的圆心的距离为 523 22 d,如题三 .4 图所示 由点到平面的距离公式为 5 43 22 BA BA 化简得011244 22 BBAA 解关于A的一元二次方程地 . . 42 11442424 22 BBB A 求出BABA 2 11 , 2 1 21 分别代入 (1)式得0 2 11

17、,0 2 1 ByBxByBx 消去B得所求平面方程为yx2或yx 11 3 5求以轴为母线z, 直线 1 1 y x 为中心轴的圆柱面的方程 解:如习题三 .5 所示 ,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为 1 ,1,半径为2,所以求作的圆柱面方程为211 22 yx 6求以轴为母线z, 经过点)7 ,3,6()2, 2,4(,BA以及的圆 柱面的方程 解:设以z轴为母线的柱面方程为 222 abyax(1) 因为点)2, 2,4(,A,)7 ,3, 6(B在柱面上 ,则有 2 22 24Rba(2) 2 22 36Rba(3) 则 222 00Rba(4) 联立 (2),(3),(4) 求

18、出 8 25 a, 4 5 b, 64 225 2 R 代入 (1)式得所求的柱面方程为 64 225 4 5 8 25 22 yx 7根据k的不同取值 , 说明1)1 ()4()9( 222 zkykxk表示的各是什么图形 解:方程1149 222 zkykxk(1) 9k时,(1)式不成立 , 不表示任何图形; 94k时 ,(1) 式变为1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x , 表示双叶双曲线; 41k时,(1) 式变为1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x , 表示单叶双曲线; . . 1k时,(1)式变为1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ,

19、表示椭球面 ; 1k 时,(1) 式变为1 2 2 2 2 b y a x , 表示母线平行于z轴的椭圆柱面; 4k 时 ,(1) 式变为1 2 2 2 2 b z a x , 表示双曲柱面 ; 9k时,(1)式变为1 2 2 2 2 c z b y , 不表示任何图形; 1已知2| a, 7|b, 5| c, 并且0cba 计算accbba 解: 2|a, 7|b, 5|c, 且0cba 则反向均与、同向，与bcaca. 所以0accbba 000 0cos25180cos57180cos72 103514 39 3已知点)4, 1 ,0(A, )0, 3 ,2(B求线段AB的中垂面的方程

20、解：已知点)4 ,1 ,0(A, )0 ,3,2(B，设AB的中垂面上任一点的坐标为zyxM,，由两点间 的距离公式得 222222 012410zyxzyx 化简得012zyx 4已知平面与三个坐标轴的交点分别为CBA,且ABCO的体积为80, 又在三个坐 标轴上的截距之比为3:5:4, 求的方程 解：设在三个坐标轴上的截距之比为kcba3:5:4:，则平面与三个坐标 轴的交点为kCkBkA3 ,0, 0,0,5,0,0, 0,4 80354 6 1 6 1 0 kkkOCOBOAV ABC 所以，2,8 3 kk 因此，63,105,84kckbka . . 平面的方程为1 6108 zy

21、x 5已知两平面0112:xmyx与平面1:zymx相互垂直 , ,求m的值 解：平面0112:zmyx，1,2 1 mn 平面1:zymx，1, 1, 2 mn 与垂直，则 1 n 2 n，所以0 21 nn 即012mm 所以 3 1 m 6取何值时直线 0132 012 zyx zyx 与x轴相交 ? 解：直线 0132 012 zyx zyx 与x轴相交，则交点坐标为0,0 ,x，代入直线方程为 01x（1） 01x（2） （ 1）+（2）得01x，而原点0,0,0O不在直线上，故0x，所以1, 01 根据企业发展战略的要求，有计划地对人力、资源进行合理配置，通过对企业中员工的招聘、培训、使用、考核、评价、激励、调整等一系列过程，调动员工地积极性，发挥员工地潜能，为企业创造价 值，确保企业战略目标的实现。 读书是一种感悟人生的艺术读杜甫的诗使人感悟人生的辛酸，读李白的诗使人领悟官场的腐败，读鲁迅的文章使人认清社会的黑暗，读巴金的文章使人感到未来的希望每一本书都是一个朋友，教会我们 如何去看待人生读书是人生的一门最不缺少的功课，阅读书籍，感悟人生，助我们走好人生的每一步