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1、谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中 值定理的证明方法， 力求正确地理解和掌握它， 是十分必要的 . 拉格朗日中值定 理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理 的辅助函数有无数个， 因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中 值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分， 我们仅发现五种引 入辅助函数的方法 . 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一 概述. 1 罗尔Rolle中值定理 如果函数xf满
2、足条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内可 导； （3）bfaf, 则在ba,内至少存在一点 , 使得0 f 罗尔中值定理的几何意义： 如果连续光滑曲线xfy在点BA,处的纵坐标 相等，那么，在弧AB 上至少有一点,Cf，曲线在 C 点的切线平行于x 轴，如图 1， 注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立； 但不 能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于ba,的，使得0 f. 这就 是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2 拉格朗日lagrange中值定理 1 若函数xf满足如下条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内 可导；则在ba,内至少存在一点，使
3、ab afbf f 拉格朗日中值定理的几何意义： 函数xfy在区间ba,上的图形是连续光 滑曲线弧 AB上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦AB . 如图 2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若xf在闭区间ba,两端点的函 数值相等，即bfaf，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说， 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形. 正因为如此，我们只须对函 数xf作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明作辅助函数 fbfa Fxfxx ba 显然，函数xF满足在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，
4、而且 F aFb 于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ba，使 0 ab afbf fF. 即 ab afbf f . 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明作辅助函数ax ab afbf afxfx 显然，函数x在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，0ba， 因 此 ， 由 罗 尔 中 值 定 理 得 ， 至 少 存 在 一 点ba,， 使 得 0 ab afbf f，即 ab afbf f 推广 1如图 3 过原点 O作 OT AB ，由xf与直线 OT 对应的函数之差 构成辅助函数 x ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有： 2 ab afbf KK ABOT ， OT
5、 的直线方程为：x ab afbf y，于是引入的辅 助函数为： x ab afbf xfx. （证明略） 推广2如图4 过点Oa,作直线 B A AB ，直线 B A的方程为： ax ab afbf y， 由xf与直线函 BA数之差构成辅助函数x， 于是有： ax ab afbf xfx. （证明略） 推 广 3如 图 5 过 点 作Ob,直 线 BA AB ， 直 BA线 的 方 程 为 bx ab afbf y，由xf与直线 A B 函数之差构成辅助函数x，于是有： bx ab afbf xfx. 事实上，可过 y 轴上任已知点mO,作 / BA AB 得直线为mx ab afbf y，
6、 从而利用xf与直线的 B A函数之差构成 满足罗尔中值定理的辅助函数x都可以 用来证明拉格朗日中值定理. 因m是任意实数，显然， 这样的辅助函数有无多个 . 3.3 用对称法引入辅助函数法 在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于 x轴的对称函数也有无数个， 显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理. 从几何意义上看，上面的辅 3 助函数是用曲线函数xf减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数xf， 即可得与之对称的辅助函数如下： xfax ab afbf afx xfx ab afbf x xfax ab afbf x xfbx ab afbf x 等等. 这类能用来证明拉格朗日中值
7、定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以 为例给出拉格朗日中值定理的证明. 证明显然，函数x满足条件：1在闭区间ba,上连续；2在开区间 ba,内可导；3 ab abfbaf ba. 由罗尔中值定理知，至少存在一点 ba,，使得0 f ab afbf ，从而有 ab afbf f ，显 然可用其它辅助函数作类似的证明. 3.4 转轴法 由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系 xoy逆时针旋转适当 的角度，得新直角坐标系 XOY ，若OX 平行于弦 AB ，则在新的坐标系下xf 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明. 证明作转轴变换sincosYXx，cossinYXy，为求
8、出， 解出YX,得 xXxfxyxXsincossincos xYxfxyxYcossincossin 由bYaY得cossincossinbfbafa，从而 ab afbf tan，取满足上式即可 . 由xf在闭区间ba,上连续，在开区间 ba,内可导， 知xY在闭区间ba,上连续， 在开区间ba,内可导， 且bYaY， 因 此 ， 由 罗 尔 中 值 定 理 知 ， 至 少 存 在 一 点ba,， 使 得 4 0cossin fY，即 ab afbf ftan 3.5 用迭加法引入辅助函数法 让xf迭 加 一 个 含 待 顶 系 数 的 一 次 函 数mkxy， 例 如 令 mkxxfx或
9、mkxxfx，通过使ba，确定出mk,， 即可得到所需的辅助函数. 例如由mkxxfx，令ba 得mkbbfmkaaf，从而 ab afbf k，而m可取任意实数， 这 样我们就得到了辅助函数mx ab afbf x，由m的任意性易知迭加法可 构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理. 3.6 用行列式引入辅助函数法 证明构造一个含xf且满足罗尔中值定理的函数x，关键是满足 ba. 我们从行列式的性质想到行列式 1 1 1 xfx afa bfb 的值在,xa xb时恰 恰均为 0，因此可设易证 1 1 1 xfx xafa bfb ，展开得 xfb xbf aafxaf b
10、fa xbfx . 因为xf在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，所以x在闭区间ba, 上连续，在开区间ba,内可导，且0ab，所以由罗尔中值定理知，至 少存在一点ba,，使得0 . 因为0 fbabfaf 即： ab afbf f 3.7 数形相结合法 引理 在平面直角坐标系中， 已知ABC三个顶点的坐标分别为,A a f a， ,B b fb，,C c f c，则ABC面积为 1 1 1 2 ABC afa Sbfb acfc ， 5 这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定 理作出一种新的证明 . 这种方法是将数形相结合， 考虑实际背景刻意构造函数使
11、之满足罗尔中值定理的条件. 如图， 设, c f c是直线 AB 与 yfx 从 A点开 始的第一个交点，则构造 2 1 1 1 4 1 afa xcfc xfx ， 易验证x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间,a c 上连续，在开区间,a c 内 可导，而且ba，则至少存在一点ba,，使 / 0，即： 0 11 1 1 1 1 1 f cfc afa f cfc afa 但是 1 10 1 afa cfc f ，这是因为，如果 1 10 1 afa cfc f ， 则 ffcfcfa cca ， 这样使得, f成为直线 AB 与 yfx 从 A 点的第一个交点，与已知矛盾）. 故0 1 1 1
12、 f cfc afa ， 即 ac afcf ab afbf f . 若只从满足罗尔中值定 理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件， 完全可以构造 1 1 1 afa xbfb xfx 来 解决问题，从而使形 式更简 洁 ，而且 启发我们做进一步 的推广：可构造 1 1 1 g afa xg bfb gxfx 来证明柯西中值定理 . 6 3.8 区间套定理证法 证明将区间,Ia b 二等分，设分点为 1，作直线1 x，它与曲线 yfx相交于 1 M，过 1 M作直线 11L M弦 baM M. 此时，有如下两种可能 : 若直线 11 M L与曲线 yfx 仅有一个交点 1 M，则曲线必在直线
13、11 M L 的一侧. 否则，直线 11 M L不平行于直线 ab M M. 由 于曲线 yfx 在点 1 M处有切线，根据曲线上一 点切线的定义，直线 11 M L就是曲线 yfx 在点 1 M处的切线，从而 ab afbf f 1 . 由作法知， 1在区间 , a b 内部， 取 1 于是有 ab afbf f 若直线 11 M L与曲线 yfx 还有除 1 M外 的其他交点，设 111 ,Nx y为另外一个交点，这时选 取 以 11 ,x为 端 点 的 区 间 ， 记 作 111 ,Ia b， 有 1 ,11 2 ba lI ba, 11 11 f bfaf bfa baba ，把 1
14、I作为新的“选用区间” ，将 1 I二等分，并进行 与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点，要么又得到一个新“选用区间” 2 I. 如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生: (a) 在逐次等分 “选用区间” 的过程中，遇到某一个分点 k，作直线k x 它 与 曲 线 yfx 交 于 k M， 过 点 k M作 直 线 kkL M 弦 b MM, 它 与 曲 线 yfx 只有一个交点 k M，此时取 k 即为所求 . (b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间 序列 n I ，满足 : 12 III nnn baI, 7 0 2 nnn ba ban nn nn
15、f bfaf bf a baba 由 知 ， n I 构 成 区 间 套 ， 根 据 区 间 套 定 理 ， 存 在 唯 一 的 一 点 3,2, 1nIn，此点即为所求 . 事实上 n n n n balimlim， f存在 f ab afbf nn nn n lim， 由 lim n nn nn f bf afbfa baba ， 所 以 ab afbf f，从“选用区间”的取法可知，确在, a b 的内部 . 3.9 旋转变换法 证明引入坐标旋转变换 A: cossinxXY cossinYXy 因为 22 cossin cossin10 sincos 所以 A有逆变换 / A :cos
16、sincossinXxyxfxX x sincossincosYxyxfxY x 由于xf满足条件 : 1在闭区间ba,上连续；2在开区间ba,内可导，因此 式中函数 Y x 在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导 . 为使 Y x 满足罗 尔 中值定 理 的第 三个条 件，只 要 适当 选取旋 转 角， 使 Y aY b , 即 sincossincosaf abfb，也即 tan fbfa ba . 这样，函数Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点 ba，使0cossinfY即tanf. 由于所选取旋转角 满足 ab afbf tan，所以 ab afbf f. 结论
17、 8 本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有 很多方法是我没有想到的， 而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多 深奥的内容 . 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么， 不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三， 不要单纯为了 学习而学习，让自己做知识的主人！ 总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程， 全面的思 考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养. 参考文献 1 华东师范大学数学系 . 数学分析（上册）（第二版） M
18、. 北京：高等教育 出版社 .1991：153-161 2 吉林大学数学系. 数学分析 ( 上册 )M. 北京：人民教育出版社.1979 ： 194-196 3 同济大学应用数学系 . 高等数学（第一册）M. 北京：高等教育出版社 （第 五版） .2004：143-153 4 周性伟 , 刘立民 . 数学分析 M. 天津：南开大学出版社 .1986 ：113-124 5 林源渠 , 方企勤 . 数学分析解题指南M. 北京：北京大学出版社.2003 ： 58-67 6 孙清华等 . 数学分析内容、方法与技巧（上）M. 武汉：华中科技大学出 版社.2003：98-106 7 洪毅. 数学分析（上册
19、） M. 广州：华南理工大学出版社.2001 ：111-113 8 党宇飞 . 促使思维教学进入数学课堂的几点作法J.上海：数学通 报.2001,1 ：15-18 9 王爱云 . 高等数学课程建设和教学改革研究与实践J.西安：数学通 报.2002,2 ：84-88 10 谢惠民等 . 数学分析习题课讲义M. 北京：高等教育出版社.2003 ： 126-135 11 刘玉莲 , 杨奎元等 . 数学分析讲义学习指导书（上册）M. 北京：高等教 出版社.1994 ：98-112 12 北京大学数学力学系 . 高等代数 . 北京：人民教育出版社 . 1978:124-135 13 裴礼文 . 数学分析
20、中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社 .1993： 9 102-110 14 郑琉信 . 数学方法论 M. 南京：广西教育出版社 .1996：112-123 15 陈传璋等 . 数学分析（上册） M. 北京：人民教育出版社 .1983:87-92 16 李成章 , 黄玉民 . 数学分析（上） M. 北京：科学出版社 .1995 ：77-86 附录 柯西中值定理 若 函数 fx 与 g x 都在闭区间ba,上连续； xf 与xg 在开区间ba,内可导； xf 与xg 在ba,内不同时为零； g ag b ， 则在ba,内至少存在一点，使得 ab afbf g f . 区间套定理 若, nn a b是一个区间套，则存在唯一一点，使得 , nn a b，1,2,n 或 nn ab，1,2,n