高考数学复习三角函数和解三角形(经典教案).pdf

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1、. . 三角函数和解三角形 【知识导读】 【方法点拨】 三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的 联系， 同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法“三角法”这一部分的内容，具有以下几个特 点： 1公式繁杂 . 公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系， 是记住这些公式的关键. 2思想丰富 . 化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方 法在本单元中也得到充分的应用. 如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同 名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三

2、角函数问题化成同角的三角函数问题等. 3变换灵活 . 有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表 达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强. 4应用广泛 . 三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量 问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、 天文学、 测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用. 第 1 课 三角函数的概念 【考点导读】 1 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算 角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合 任意角

3、 的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 弧长与扇形 面积公式 三角函数的 图象和性质 和 角 公 式 差 角 公 式 几个三角 恒等式 倍 角 公 式 同角三角函 数关系 诱 导 公 式 正弦定理与 余弦定理 解斜三角形 及其应用 化简、计算、 求值 与证明 . . ZkkS,360；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1 弧度的角，熟练掌握角 度与弧度的互换，能运用弧长公式rl及扇形的面积公式 Slr 2 1 （l为弧长）解决问题. 2 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的 终边上任取一点( ,

4、 )P x y（不同于坐标原点） ，设OPr（ 22 0rxy） ，则的三个三角函数值 定义为：sin,cos,tan yxy rrx 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域 为|, 2 RkkZ 3 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为： 一正（第一象限内全为正值），二 正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦 值为正）另外，熟记0、 6 、 4 、 3 、 2 的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4 掌握正弦

5、线、余弦线、正切线的概念 在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和 正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题 基础自测 1885化成2(02 ,)kkZ的形式是 2已知为第三象限角，则 2 所在的象限是 3已知角的终边过点( 5,12)P，则cos= ，tan= 4 tan( 3)sin5 cos8 的符号为 5已知角的终边上一点( , 1)P a（0a） ，且atan，求sin，cos的值 【范例解析】 例 1. （1）已知角的终边经过一点(4 , 3 )(0)Paa a，求2sincos的值； （2）已知角的终边在一条直线3yx上，求si

6、n，tan的值 例 2. （1）若sincos0，则在第 _象限 . . （2）若角是第二象限角，则 sin2 ，cos2，sin 2 ，cos 2 ，tan 2 中能确定是正值的有_个 例 3. 一扇形的周长为 20cm， 当扇形的圆心角 等于多少时， 这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：选取变量，建立目标函数求最值 作业 1若sin cos 且sin cos0则 在第 _象限 2已知6，则点(sin,tan)A在第 _象限 3已知角是第二象限，且(,5)P m为其终边上一点，若 2 cos 4 m，则m的值为 _ 4将时钟的分针拨快 30min，则时针转过的弧度为 5若46，且与

7、2 3 终边相同，则= 6已知1 弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_，这个圆心角所在的扇形的 面积是 _ 7 （1）已知扇形AOB的周长是6cm ，该扇形中心角是1 弧度，求该扇形面积 （2）若扇形的面积为8 2 cm，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小 第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式 【考点导读】 1. 理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系 2. 掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变 号，变角等作用 【基础练习】 1. tan600=_ . . 2. 已

8、知是第四象限角， 5 tan 12 ，则sin_ 3. 已知 3 cos 22 ，且 2 ，则 tan_ 4.sin15 cos75+cos15sin105 =_ 【范例解析】 例 1. 已知 8 cos() 17 ，求sin(5 )，tan(3)的值 例 2. 已知是三角形的内角，若 1 sincos 5 ，求tan的值 作业 1已知 5 sin 5 , 则 44 sincos的值为 _ 2 “ 2 1 s i nA”是“A=30o ”的 _条件 3设02x, 且1sin2sincosxxx，则x的取值范围是_ 4已知 1 sincos 5 ，且 3 24 ，则cos2的值是 5 （1）已知

9、 1 cos 3 ，且0 2 ，求 2cos()3sin() 4cos()sin(2) 的值 （2）已知 1 sin() 64 x，求 2 5 sin()sin () 63 xx的值 6已知 4 tan 3 ，求 . . （ I ） 6sincos 3sin2cos 的值； （ II ） 2 1 2sincoscos 的值 第 3 课 两角和与差及倍角公式（一） 【考点导读】 1. 掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换； 3. 三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过 “角变换”， “

10、名称变换” ， “升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4. 证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一， 变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” 【基础练习】 1.sin163 sin 223sin 253 sin313 _ 2. 化简2 cos6 sinxx_ 3. 若f(sinx) 3cos2x，则f(cosx) _ 4. 化简： sinsin 2 1coscos2 _ 【范例解析】 例 . 化简： （1） 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin () 44 xx xx ； （2） (1sincos )(sincos)

11、22 (0) 22cos 作业 . . 1化简 2 2sin 2cos 1cos2cos2 _ 2若sintan0xx，化简1cos2x_ 3若 0 4 ， sin cos = ，sin cos = b，则a与b的大小关系是 _ 4若sincostan(0) 2 ，则的取值范围是_ 5已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan= . 6化简： 2 2 2cos1 2tan() sin () 44 7求证： 222 sin 22coscos22cosxxxx 8化简： 22 sinsin2sinsincos() 第 4 课 两角和与差及倍角公式（二） 【考点导读】 1. 能熟练运用两角和与

12、差公式，二倍角公式求三角函数值； 2. 三角函数求值类型： “给角求值” ， “给值求值” ， “给值求角” 【基础练习】 1写出下列各式的值： （1）2sin15 cos15_；（2） 22 cos 15sin 15_； （3） 2 2sin 151_；（4） 22 sin 15cos 15_ . . 2已知 3 (,),sin, 25 则tan() 4 =_ 3求值：（1） 1tan15 1tan15 _； （ 2） 5 coscos 1212 _ 4求值：tan10tan203(tan10tan20 )_ 5已知tan3 2 ，则cos_ 6若 cos22 2 sin 4 ，则cossi

13、n_ 【范例解析】 例 1. 求值： （1）sin 40 (tan103)； （2） 2sin50sin80 (13 tan10 ) 1cos10 例 2. 设 4 cos() 5 ， 12 cos() 13 ，且(,) 2 ， 3 (,2 ) 2 ，求cos2， cos2 例 3. 若 3 cos() 45 x， 177 124 x，求 2 sin 22sin 1tan xx x 的值 作业 1 2 . . 1设) 2 ,0(，若 3 sin 5 ，则) 4 cos(2=_ 2已知 tan 2 =2，则 tan 的值为 _， tan() 4 的值为 _ 3若 3 1 6 sin ，则 2 3

14、 2 cos=_ 4若 13 cos(),cos() 55 ，则tantan 5求值： 11 sin 20tan40 _ 6已知 2 3 2 , 5 3 4 cos求 4 2cos的值 第 5 课 三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在0,2，正切函 数在(,) 22 上的性质； 2. 了解函数sin()yAx的实际意义，能画出sin()yAx的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 【基础练习】 1.已知简谐运动( )2sin()() 32 fxx的图象经过点(0 ， 1

15、) ，则该简谐运动的最小正周期 T_；初相_ 2. 三角方程2sin( 2 x)=1 的解集为 _ 3. 函数), 2 , 0)(sin(RxxAy的部分图象如图 所示，则函数表达式为 _ 4 3 第 3 题 . . 4. 要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象向右平移_个单位 【范例解析】 例 1. 已知函数( )2sin(sincos )f xxxx （）用五点法画出函数在区间 , 22 上的图象，长度为一个周期； （）说明( )2sin(sincos )f xxxx的图像可由sinyx的图像经过怎样变换而得到 例 2. 已知正弦函数sin()yAx(0,0)A的图像如图所

16、示 （1）求此函数的解析式 1( ) fx； （2）求与 1( ) fx图像关于直线8x对称的曲线的解析式 2( ) fx； （3）作出函数 12 ( )( )yfxfx的图像的简图 作业 1为了得到函数Rx x y), 63 sin(2 的图像，只需把函数2sinyx，xR的图像上所有的点 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） ； 向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 1 倍（纵坐标不变） ； 2 2 2 x=8 x y O . . 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） ； 向

17、右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） 其中，正确的序号有_ 2为了得到函数) 6 2sin( xy的图象，可以将函数xy2cos的图象向右平移_个单位长度 3若函数( )2sin()f xx，xR（其中0， 2 ）的最小正周期是，且(0)3f， 则_；_ 4在2,0内，使xxcossin成立的x取值范围为 _ 5下列函数： sin 6 yx ；sin 2 6 yx ； cos 4 3 yx ；cos 2 6 yx 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_ 6如图，某地一天从6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数bxAy)sin( （1）求这段时间的

18、最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式 7如图，函数 2cos()(0 0) 2 yxxR，的图象与y轴相交于点(03)，且该函数 的最小正周期为 （1）求和的值； （2）已知点 0 2 A ，点P是该函数图象上一点，点 00 ()Q xy，是PA的中点， 当 0 3 2 y， 0 2 x ，时，求 0 x的值 第 6 题 第 5 题 y x 3 O P A 第 7 题 . . 第 6 课 三角函数的图像和性质（二） 【考点导读】 1. 理解三角函数sinyx，cosyx，tanyx的性质，进一步学会研究形如函数sin()yAx 的性质； 2. 在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等

19、变形转化为一个角的三角函数来研究 【基础练习】 1. 写出下列函数的定义域： （1）sin 3 x y的定义域是 _ ； （2） sin2 cos x y x 的定义域是 _ 2函数f (x) = | sin x +cos x | 的最小正周期是_ 3函数 22 sinsin 44 f xxx（ ）（）（）的最小正周期是_ 4. 函数y=sin(2x+ 3 ) 的图象关于点_对称 5. 已知函数tanyx在（ 2 ， 2 ）内是减函数，则的取值范围是 _ 【范例解析】 例 1. 求下列函数的定义域： （1） sin 2sin1 tan x yx x ； （2） 1 2 2logtanyxx 例

20、 2求下列函数的单调减区间： （1）sin(2 ) 3 yx；（2） 2cos sin() 42 x y x ； . . 例 3求下列函数的最小正周期： （1） 5tan(21)yx ； （2）sinsin 32 yxx 作业 1函数xxy 24 cossin的最小正周期为_ 2设函数( )sin() 3 f xxxR，则( )f x在0,2上的单调递减区间为_ 3函数( )sin3 cos (,0)f xxx x的单调递增区间是_ 4设函数( )sin3|sin3|f xxx，则( )f x的最小正周期为_ 5函数 22 ( )cos2cos 2 x f xx在0,上的单调递增区间是_ 6已

21、知函数 12cos 2 4 ( ) sin 2 x fx x （）求( )f x的定义域； （）若角在第一象限且 3 cos 5 ，求()f 7 设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线 8 x （）求； （）求函数)(xfy的单调增区间； （）画出函数)(xfy在区间,0上的图像 . . 第 7 课 三角函数的值域与最值 【考点导读】 1. 掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题； 2. 求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调 性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配

22、方法或图像法求解；（3）借助直线 的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法 【基础练习】 1. 函数xxycos3sin在区间0, 2 上的最小值为 2. 函数)(2cos 2 1 cos)(Rxxxxf的最大值等于 3. 函数tan() 2 yx ( 44 x且0)x的值域是 _ 4. 当 2 0x时，函数 x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 的最小值为 【范例解析】 例 1. （1）已知 1 sinsin 3 xy，求 2 sincosyx的最大值与最小值 （2）求函数sincossincosyxxxx的最大值 例 2. 已知函数 2 ( )2sin3 cos2 4 f

23、 xxx， 4 2 x ， （I ）求( )f x的最大值和最小值； （II ）若不等式( )2f xm在 4 2 x ，上恒成立，求实数m的取值范围 . . 【反馈演练】 1函数)( 6 cos() 3 sin(2Rxxxy 的最小值等于_ 2当0 4 x时，函数 2 2 cos ( ) cos sinsin x f x xxx 的最小值是 _ _ 3函数 sin cos2 x y x 的最大值为 _，最小值为 _. 4函数costanyxx的值域为 . 5已知函数( )2sin(0)f xx在区间, 34 上的最小值是2，则的最小值等于_ 6已知函数( )2cos(sincos )1fxx

24、xxxR， （）求函数( )f x的最小正周期； （）求函数( )f x在区间 3 84 ，上的最小值和最大值 第课 解三角形 【考点导读】 1. 掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2. 解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边， 实施边和角互化 【基础练习】 1在 ABC中，已知BC12，A60，B45，则 AC . 2在 ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC ，则 B的大小是 _. 3在ABC中，若 1 tan 3 A，150C，1BC，则AB . . 【范例解析】 例1. 在 ABC中，a，b，c

25、分别为 A， B， C的对边，已知20ac，2CA， 3 cos 4 A （1）求 c a 的值； （2）求b的值 例 2. 在三角形ABC中，已知 2222 ()sin()()sin()abABabAB，试判断该三角形的形状 例 3. 如图， D是直角ABC斜边BC上一点，AB=AD，记CAD=，ABC=. （1）证明：sincos20； （2）若AC=3DC，求 B D C A 例 4 . . 作业 1在ABC中，,75,45,3 00 CAAB则 BC =_ 2ABC的内角 A， B， C的对边分别为a，b， c， 若a，b， c 成等比数列， 且2ca， 则c o sB_ 3在ABC中

26、，若2abc， 2 sinsinsinABC，则ABC的形状是 _三角形 4若ABC的内角A满足 2 sin 2 3 A，则sincosAA= 5在ABC中，已知2AC，3BC， 4 cos 5 A （）求sinB的值； （）求sin 2 6 B 的值 6在ABC中，已知内角A，边2 3BC设内角Bx，周长为y （1）求函数( )yf x的解析式和定义域； （2）求y的最大值 7在ABC中， 1 tan 4 A， 3 tan 5 B （）求角 C的大小；（）若ABC最大边的边长为 17，求最小边的边长 . . 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 例 1（1） 第 9 课

27、 解三角形的应用 【考点导读】 1. 运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 2. 综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三 角变换的能力 【基础练习】 1在 200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 ，60 ，则塔高为 _m 2某人朝正东方向走x km后，向右转150 ，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x 的值为 _ km 3一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东 60 ，行驶 4h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为km 4

28、如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知ABD为边长等于a的正三角形，当目 标出现于C时，测得45BDC，75CBD，求炮击目标的距离 AC 【范例解析】 例 . 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 1 A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 1 B处，此时两船相距20海里，当甲船航 行20分钟到达 2 A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的 2 B处，此时两船相 距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解 A B C D 第 4 题 . . 作业 1江岸边有一

29、炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和30，而且两条船与炮台 底部连线成30角，则两条船相距_m 2有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长_km 3某船上的人开始看见灯塔在南偏东 30 方向，后来船沿南偏东 60 方向航行45 海里后，看见灯塔在 正西方向，则此时船与灯塔的距离是_海里 4把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且120ABC， 则第三条边AC的最小值是 _cm 5设)(tfy是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中240t. 下表是该港口某一 天 从 0 时至 24 时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察， 函数)(tfy的图象可以近似地看成函数)sin(tAky的图象 . 下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（） A24,0, 6 sin312tty B24,0), 6 sin(312tty C24,0, 12 sin312tty D24,0), 212 sin(312tty