2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(山东卷.理).pdf

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1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修 II ） 第 I 卷（共 60 分） 参考公式：如果事件A、B 互斥，那么()()()PABPAPB 如果事件A、B 相互独立，那么()()()P ABPA P B 一选择题：本大题共12 小题，每题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一 个符合题目要求的选项. （1） 22 11 (1)(1) ii ii （A）i（B）i（C）1 （D）1 （2）函数 1 (0) x yx x 的反函数图像大致是 （A）（B）（C）（D） （3）已知函数sin() cos() 1212 yxx，则下列判断正确的是 （A）

2、此函数的最小周期为2，其图像的一个对称中心是(, 0) 12 （B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是(,0) 12 （C）此函数的最小周期为2，其图像的一个对称中心是(, 0) 6 （D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是(, 0) 6 （4）下列函数既是奇函数，又在区间1,1 上单调递减的是 （A）()sinfxx（B）()1fxx（C） 1 ()() 2 xx fxaa（ D） 2 ()ln 2 x fx x （5）如果 32 1 (3) n x x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 3 1 x 的系数是 （A）7 （B）7（C） 21 （D）21 （6）函数

3、2 1 sin(),10 () ,0 x xx fx ex ，若(1)()2,ffa则 a 的所有可能值为 （A）1 （B） 2 2 （ C） 2 1, 2 （ D） 2 1, 2 （7）已知向量,a b，且2 ,56ABab BCab，72CDab ，则一定共线的三点是 x y 1 ox y 1 o x y o 1 x y o 1 （A） A、 B、D （B）A、 B、C （ C）B、C、D （D）A、C、D （8）设地球的半径为R，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬75东经120，则 甲、乙两地的球面距离为 （A）3R（B） 6 R（C） 5 6 R（D） 2 3 R （9） 10

4、 张奖券中只有3 张有奖， 5 个人购买，至少有1 人中奖的概率是 （A） 3 10 （B） 1 1 2 （ C） 1 2 （D） 11 12 （10）设集合A、 B 是全集U的两个子集，则A B 是 U CABU 的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（ D）既不充分也不必要条件 （11）01a，下列不等式一定成立的是 （A） (1)(1) log(1)log(1)2 aa aa （B） (1)(1) log(1)log(1) aa aa （C） (1)(1) log(1)log(1) aa aa (1)(1) log(1)log(1) aa aa （D） (1)(1)

5、log(1)log(1) aa aa (1)(1) log(1)log(1) aa aa （12）设直线: 220lxy关于原点对称的直线为l， 若l与椭圆 2 2 1 4 y x的交点为A、 B、 ，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为 1 2 的点P的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （ D） 4 第 II卷（共 90 分） 二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上. （13） 22 2 2 lim_ (1) n nn n CC n . (14)设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q 两点

6、，如果PQF是直角三角形，则双曲线的离心率_e. (15)设 x 、y满足约束条件 5, 3212, 03, 04. xy xy x y 则使得目标函数65zxy的最大的点(,)x y 是_ (16) 已 知 mn、是 不 同 的 直 线 ， 、 是 不 重 合 的 平 面 ， 给 出 下 列 命 题 ： 若 / /, m，n则 /mn；若 ,/,m nm则/若,/mnmn， 则/,m n是两条异面直线，若/,/,/,/mmnn，则/ 上面的命题中，真命题的序号是_（写出所有真命题的序号） 三解答题：本大题共6 小题，共74 分. 解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分

7、12 分） 已知向量(cos, sin)m和(2sin, cos),(, 2)n，且 82 , 5 mn 求 A 1 A B C D 1 B F 1 C 1 D E cos() 28 的值 . (18)( 本小题满分12 分) 袋中装有黑球和白球共7 个, 从中任取2 个球都是白球的概率为 1 , 7 现有甲、乙两人从袋 中轮流摸取1 球，甲先取， 乙后取， 然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球 时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. （I ）求袋中原有白球的个数； （II ）求随机变量的概率分布； （III）求甲取到白球的概率. （19）

8、（本小题满分12 分） 已知1x是函数 32 ()3(1)1fxmxmxnx 的一个极值点，其中 ,0m nR m ， （I ）求 m 与 n 的关系式； （II ）求()fx的单调区间； （III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m 的取值范围 . (20)( 本小题满分12 分) 如图， 已知长方体 1111, ABC DA B C D 1 2,1,ABAA直线B D 与平面 11 AA B B所成的角为 30，AE垂直BD于E，F为 11 A B 的中点 . （I ）求异面直线AE与BF所成的角； （II ）求平面B D F与平面 1 A A B所

9、成的二面角； （III）求点A到平面BD F的距离 . （21） （本小题满分12 分） 已 知 数 列 n a的 首 项 1 5,a前 n 项 和 为 n S， 且 * 1 5 () nn SSnnN （I ）证明数列1 n a是等比数列； （ II ）令 2 12 () n n fxa xa xa x，求函数 ()fx在点 1x处的导数 (1)f并比较 2(1)f与 2 2313nn的大小 . (22)( 本小题满分14 分) 已知动圆过定点, 0 2 p ，且与直线 2 p x相切，其中0p. （I ）求动圆圆心C的轨迹的方程； （II ）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直

10、线O A和O B的倾斜角分别为 和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点 的坐标 . 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） （试题参考答案） 理科数学（必修+选修 II） 一选择题 1 答案 D 思路 本题考查复数的概念和基本运算， 22 11 11 ii ii 1111 1 2222 iiii ii . 2 答案 B 思路 本题考查反函数的概念及函数的图象。 1 0 x yx x ，解得反函数 1 1 ()(1) 1 fxx x ,它的图象是将函数 1 y x 的图象 向左平移1 个单位后得到的. 3 答案 B 思路 本题考查三角函数的变形及三角函数的图

11、象的性质. sincos 1212 yxx =sin(2) 6 x,它的周期为T= ， 对称中心的横坐 标为 x= 212 k , 当 k=0 时, 对称中心为,0 12 . 4 答案 D 思路 本题考查函数的奇偶性和增减性. 2 ()ln 2 x fx x ， 2 ()ln() 2 x fxfx x ，所以它是奇函数，又在区间1, 1 上 2 ()ln 2 x fx x 是单调递减的. 5 答案 C 思路 本题考查二项展开式的性质. 32 1 3 n x x 的 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为128， 所 以n=7 ， 展 开 式 中 第7 项 为 616 617 3 32 12

12、 1 ( 3)()TCx x x ， 3 1 x 的系数是21. 6 答案 C 思路 本题考查分段函数的应用，函数的值域等. 2 1 sin(),10, () ,0. x xx fx ex 又(1)()2,ffa将 x=1 代入得 f(1)=1， f(a)=1, 当11，03 m ，即 3m ( x 1) x (1+ 2 m )3 m m 0 ( x 1) x (1+ 2 m )1 (*) 1 x =1 时， (*) 化为 01 恒成立， m 0 2 x 1 时， x 1,1 ， 2 x 10 (*) 式化为 2 m ( x 1) 1 1x 令t= x 1，则t 2,0)，记 1 ( )g t

13、t t ，则( )g t在区间 2,0)是单调增函数 min 13 ( )(2)2 22 g tg 由(*) 式恒成立，必有 234 23 m m ，又 m 0，则 4 0 3 m 综合 1、 2 得 4 0 3 m 20(考查知识点：立体几何) 解法一：在长方体 1111 ABC DA B C D中，以AB所在的直 线为 x 轴，以AD所在的直线为y轴， 1 AA所在的直线 为z轴建立如图示空间直角坐标系 由 已 知 1 2 ,1,A BA A可 得( 0 , 0 , 0 ) ,( 2 , 0 , 0AB， (1,0,1)F 又AD平面 11 AA B B， 从而BD与平面 11 AA B

14、B所 成 的 角 为30D BA， 又2AB，AEBD， 23 1, 3 AEAD从 而 易 得 1323 , 0,0 , 0 223 ED （I）因为 13 ,0,1, 0,1 22 AEBF 所以 cos, AEBF AEBF AEBF = 1 2 2 42 易知异面直线AEBF、所成的角为 2 arccos 4 （II ）易知平面 1 AA B的一个法向量(0,1, 0)m设(,)nx y z是平面BD F的一个法向 量， 23 (2, 0) 3 BD由 0 0 nBFnBF nBDnBD 0 23 20 3 xz xy3 xz xy 即 1,3,1n 15 cos, 5 mn m n

15、mn 即平面BD F与平面 1 AA B所成的二面角的大小（锐角）为 15 arccos 5 （III）点A到平面BD F的距离，即AB在平面BD F的法向量 n 上的投影的绝对值， 距离cos,dABAB n= 25 5 ABn n 所以点A到平面BD F的距离为 25 5 解法二： (I) 连结 B1D1，过 F作 B1D1的垂线，垂足为K BB1与两底面ABCD ，A1B1C1D1都垂直 1 1111 1111 FKBB FKB DFKBD D B B DBBB 平 面 又 1 11 1 AEBB AEBDAEBD D B BBBDB 平 面 因此 FKAE BFK为异面直线BF与 AE

16、所成的角 连结 BK ，由 FK面 BDD1B1得 FKBK 从而 BKF为 Rt 在 RtB1KF和 Rt B1D1 1 a 中，由 11 111 A DFK B FB D 得 111 2211 21 31 1 32 22 2(3 ) 3 ADAB A DB F FK B DBD 又 BF=2 cos BFK= 2 4 FK G F 异面直线AEBF、所成的角为 2 arccos 4 (II)由于 DA 面 AA1B，由 A作 BF的垂线 AG ，垂足为G，连结 DG ，由三垂线定理知BG DG AGD即为平面BDF与平面 AA1B所成二面角的平面角。且DAG=90 在平面 AA1B 中，延

17、长 BF与 AA1交于点 S F 为 A1B1的中点， A1F 1 2 / AB A1、F 分别为 SA 、SB的中点，即SA=2A1A=2=AB Rt BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点 F，即 G、F 重合。 易得 AG=AF= 1 2 SB=2 A 1 A B C D 1 B F 1 C 1 D E H S 在 RtBAS中， AD=2 3 3 2 3 6 3 tan 3 2 AD AG D AG AGD= 6 arctan 3 即平面 BDF与平面 AA1B 所成二面角 ( 锐角 ) 的大小为 6 arctan 3 。 (III)由(II)知平面 AFD是平面 BDF与平面

18、 AA1B所成二面角的平面角所成的平面。 面 AFD 平面 BDF 在 RtADF中，由 A作 AH DF于 H，则 AH即为点 A 到平面 BDF的距离 由 AH DF=AD 得 AH= 22 2 32 25 3 5 2 (3 )(2 ) 3 ADAF AH D F 所以点A到平面B D F的距离为 25 5 21 （考查知识点: 数列） 解：由已知 * 1 5() nn SSnnN可得 1 2,24 nn nSSn两式相减得 11 2()1 nnnn SSSS即 1 21 nn aa从而 1 121 nn aa 当1n时， 21 215SS则 211 26aaa，又 1 5a所以 2 11

19、a 从而 21 121aa 故总有 1 12(1) nn aa， * nN又 11 5,10aa 从而 1 1 2 1 n n a a 即数列1 n a是等比数列； （II ）由（ I ）知321 n n a 因为 2 12 () n n fxa xa xa x所以 1 12 ()2 n n fxaa xnax 从而 12 (1)2 n faana= 2 3212321(321) n n = 2 3 2222 n n-12n = 1 (1) 3126 2 n n n n 由上 2 2(1)23131212 n fnnn- 2 1221nn= 1212121 (21) n nnn=12(1)2(

20、21) n nn 当1n时，式 =0 所以 2 2(1)2313fnn； 当2n时，式 =-120所以 2 2(1)2313fnn 当3n时，10n又 011 211 n nnn nnnn CCCC2221nn 所以12210 n nn 即0从而2(1)f 2 2313nn 22 （ 考查知识点 : 圆锥曲线） 解： （I ）如图，设M为动圆圆心，记,0 2 p 为F，过点M作直线 2 p x的垂线，垂 足为N，由题意知：M FM N 即动点M到定点F与定直线 2 p x的距离相等 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中, 0 2 p F 为焦点， 2 p x为准线 轨迹方程为 2 2(0

21、)ypxp； （II ）如图，设 1122 ,AxyBxy，由题意得 12 xx（否则）且 12 ,0xx 直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb 显然 22 12 12 , 22 yy xx pp 将ykxb与 2 2(0)ypxP联立消去x ，得 2 220kypypb 由韦达定理知 1212 22 , ppb yyyy kk （1）当 2 时，即 2 时，tantan1 12 1212 12 1,0 yy x xy y xx ， 22 12 12 2 0 4 y y y y p 2 12 4y yp 由知： 22 4 pb p k 2.bpk 因此直线AB的方程可表示为2ykxPk，即(

22、2)0kxPy 直线AB恒过定点 2, 0p （2）当 2 时，由，得tan tan()= tantan 1tantan = 12 2 12 2() 4 p yy y yp 将式代入上式整理化简可得： 2 tan 2 p bpk ，则 2 2 tan p bpk， 此时，直线AB的方程可表示为ykx 2 2 tan p pk即 2 (2)0 tan p k xpy y A x o B , 0 2 p F M N 2 p x 直线 AB恒过定点 2 2, tan p p 综上， 由（1） （ 2）知，当 2 时，直线AB恒过定点2, 0p，当 2 时直线AB恒 过定点 2 2, tan p p .