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1、八 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学试题（文科） 第卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1函数sin 2 6 yx 的最小正周期是( ) (A) 2 (B) (C) 2 (D) 4 解： T= 2 2 =,选(B) 2设全集1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5 ,3,4,5,6,7UPQ，则 U PC Q( ) (A) 1,2(B) 3,4,5(C) 1,2,6,7(D)1,2,3,4,5 解： U C Q=1,2, 故 U PC Q=1,2, 选(
2、A) 3点1, 1到直线10xy的距离是 ( ) (A) 1 2 (B) 3 2 (C) 2 2 (D) 3 2 2 解：点1, 1到直线10xy的距离 d= 22 |1( 1)1|3 2 2 1( 1) ,选(D) 4设1fxxx，则 1 2 ff( ) (A) 1 2 (B)0 (C) 1 2 (D) 1 解： 1 ( ) 2 f= 11 |1| 22 =0, 1 2 ff=f(0)=1, 选(D) 5在 56 11xx的展开式中，含 3 x 的项的系数是( ) (A) 5 (B) 5 (C) 10 (D) 10 解： 5 1x中 x 3 的系数为 10, 6 1x中 x 3 的系数为 -
3、20, 56 11xx的展开式 中 x3的系数为 -10,选(C) 6从存放号码分别为1，2， 10 的卡片的盒子中，在放回地取100 次，每次取一 张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37 解：取到号码为奇数的频率是 1356181153 100100 =0.53,选(A) 7设、为两个不同的平面，lm、为两条不同的直线，且,lm，有如下 的两个命题： 若，则 lm；若 lm，则 那么 (A)
4、 是真命题，是假命题(B) 是假命题，是真命题 (C) 都是真命题(D) 都是假命题 解：命题有反例 ,如 图中平面 平面 =直线 n,l,m 且 ln,mn,则 ml,显然平面 不垂直平面 故是假命题；命题显然也是假命题, 因此本题选 (D) 8已知向量5,3 ,2,axbx ，且ab，则由 x 的值构成的集合是( ) (A)2,3(B)1,6(C) 2(D) 6 解：由ab得a b=0,即(x-5)2+3x=0 解得 x=2,选(C) 9函数 2 1yax的图象与直线yx相切，则a( ) (A) 1 8 (B) 1 4 (C) 1 2 (D)1 解：由题意 ,得 2 10axx有两个等实根
5、,得 a= 1 4 ,选(B) 10设集合,| , ,1Ax yx yxy是三角形的三边长，则 A 所表示的平面区域(不含 边界的阴影部分)是( ) 解：由题意可知 0 0 10 .1 1 1 x y xy xyxy xyxy xyyx 得 1 0 2 1 0 2 1 1 2 x y xy 由此可知 A 所表示的平面 区域(不含边界的阴影部分 )是(A ) 第卷 (非选择题共 100分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡 的相应位置。 11函数,2 2 x yxRx x 且的反函数是 _ 解：由 y 2 x x (xR，且 x2),得 x= 2 1
6、 y y (yR,y1),所以函数y 2 x x (xR，且 x2)的反函数是 f -1=2 1 x x (xR,x1). 12 设 M、 N 是直角梯形ABCD 两腰的中点， DEAB 于 E(如图 ) 现 将 ADE 沿 DE 折起，使二面角A DEB 为 45 ，此时点A 在平面 BCDE 内的射影恰为点B，则 M、N 的连线与AE 所成角的大小等于_ 解：如左图 ,在平面 AED 内作 MQAE 交 ED 于 Q,则 MQ ED,且 Q 为 ED 的中点 , 连结 QN,则 NQED 且 QNEB,QN=EB, MQN 为二面角 ADEB 的平面角 , MQN=45AB平面BCDE,又
7、AEB= MQN=45,MQ= 1 2 AE= 1 2 2 EB,在平面 MQN 内作 MPBQ,得 QP=MP= 1 2 EB, 故 PB=QP= 1 2 EB,故 QMN 是以 QMN 为直角的等腰三角形 ,即 MNQM,也即 MN 子 AE 所成角大小等于90 13过双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交 于M、 N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 _ 解：由题意可得 2 b ac a ,即 c 2-a2=a2+ac,化成关于 e 的方程 e2-e-2=0,解得 e=2 12从集合, ,P Q R S与
8、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2 个元素排成一排(字母和数 字 均 不 能 重 复 ) 每 排 中 字 母Q 和 数 字0 至多 只 能 出 现 一 个 的 不 同 排 法 种 数 是 _ (用数字作答 ) 解：分三种情况：情况1.不含 Q、0 的排列： 224 394 CCP ；情况 2.0、Q 中 只含一个元素Q 的排列： 124 394 CCP ；情况 3.只含元素 0 的排列： 214 394 CCP . 综上符合题意的排法种数为 224 394 CCP + 124 394 CCP + 214 394 CCP =5832 三、解答题：本大题共6 小题，每小题 14 分，
9、共 84 分。解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤。 15已知函数2sincoscos2fxxxx () 求 4 f的值； () 设 2 0, 22 f ，求 sin的值 解：()f(x)=sin2x+cos2x,()sincos1 444 f ()()cossin. 2 f 13 sin()cos() 4242 , 1232 sinsin() 442222 26 4 ,(0,),sin0,故 sin= 26 4 16已知实数, ,a b c 成等差数列，1,1,4abc成等比数列， 且15abc， 求, ,a b c 解： 2 151 22 1413 abc acb acb 由(1)(2
10、)两式 ,解得 b=5,将 c=10-a 代入 (3),整理得 a 2-13a+22=0,解得 a=2 或 a=11. 故 a=2,b=5,c=11 或 a=11,b=5,c=-1.经验算 ,上述两组数符合题意. 17袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是 3 1 ， 从 B 中摸出一个红球的概率为p () 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5 次 (i)恰好有 3 次摸到红球的概率； (ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率 () 若 A、B 两个袋子中的球数之比为12，将 A、B 中的球装在一起后，从中摸出一个 红球的概率是 2 5 ，求
11、p 的值 解： ()(i) 332 3 1240 ( )() 33243 C (ii) 3 11 ( ) 327 (iii) 设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球 , 由 1 2 2 3 35 mmp m ,得 p= 13 30 . 18如图，在三棱锥P ABC 中， ABBC，ABBC 2 1 P A，点 O、D 分别是 AC、PC 的 中点， OP底面 ABC ()求证： OD平面 PAB； () 求直线 OD 与平面 PBC 所成角的大小 解：解法一 ()O、D 分别为 AC、PC 的中点： ODPA,又 AC平面 PAB,OD平 面 PAB. ()ABBC,OA=O
12、C,OA=OC=OB,又OP平面 ABC,PA=PB=PC. 取 BC 中点 E,连结 PE,则 BC平面 POE,作 OFPE 于 F,连结 DF,则 OF平面 PBC ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角 . 又 ODPA,PA 与平面 PBC 所成角的大小等于 ODF. 在 RtODF 中,sinODF= 210 30 OF OD ,PA与平面 PBC 所成角为 arcsin 210 30 解法二： OP平面 ABC,OA=OC,AB=BC, OAOB,OAOP,OB OP. 以 O 为原点 ,射线 OP 为非负 x 轴,建立空间坐标系O-xyz 如图),设 AB=a,则 A( 2
13、 2 a,0,0). B(0, 2 2 a,0),C(- 2 2 a,0,0).设 OP=h,则 P(0,0,h). P O D C B A ()D为PC的中点, 21 (,0,), 22 ODah又 21 (,0,), 22 PAah ODPAODPA, OD平面 PAB. () k= 1 , 2 则 PA=2a, h= 7 , 2 a 27 (,0,), 22 PAaa 可求得平面PBC 的法向量 1 (1, 1,), 7 n cos 210 (, ) 30 | | PA n PA n PAn . 设 PA 与平面 PBC 所成角为 ,刚 sin=|cos(,PA n)|= 210 30
14、. PA与平面 PBC 所成的角为 arcsin 210 30 . 19如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1， F2 在 x 轴上，长轴A1A2的长为 4，左准线l 与 x 轴的交点 为 M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()若点 P 为 l 上的动点，求F1PF2最大值 解 ：( ) 设 椭 圆 的 方 程 为 22 22 1 xy ab (a0,b0), 半 焦 距 为c, 则 |MA1|= 2 a a c ,|A1F1|=a-c 由题意 ,得 2 222 2() 24 a cac c a abc a=2,b= 3,c=1. 故椭圆的方程为 22 1 43 xy ()设 P(-4,y0),y00, 只需求 tanF1PF2的最大值即可 . 设直线 PF1的斜率 k1= 0 3 y ,直线 PF2的斜率 k2= 0 3 y , 0-1 时, 1 1 -1,解得 -10. 综上 ,0