2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(辽宁卷).pdf

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1、 1 (2005 辽宁 ) 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学编辑：何国杰共享你我的资源，大家把自己拥有的完全解析传上来。我所编辑的广东、辽宁卷希望能起到抛砖引玉的作用，广东卷还没有发布标准答案，当中若有不当之处请不吝赐教，联系：第卷（选择题，共60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4RS 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 其中 R 表示球的半径如果事件 A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 3 3 4 RV球次

2、的概率 knkk nn PPCkP)1()(其中 R 表示球的半径一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（）数 1 1 1 i i z在复平面内，z所对应的点在（）（）第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限【答案】 B 【解答】 i i ii i i z 11 1 )1( 1 1 1 z所对应的点在第二象限故选B 【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算（）极限)(lim 0 xf xx 存在是函数)(xf在点 0 xx处连续的（）（）充分而不必要的条件（）必要而不充分的条件（）充要条件（）既

3、不充分也不必要的条件【答案】 B 【解答】极限)(lim 0 xf xx 存在且)()(lim 0 0 xfxf xx ，则函数 )( xf 在点 0 xx处连续的，极限)(lim 0 xf xx 存在是函数)( xf在点 0 xx处连续的必要而不充分的条件，故选B 【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要（）设袋中有80 个红球， 20 个白球若从袋中任取10 个球，则其中恰有6 个红球的概率为（） 10 100 6 10 4 80 C CC （） 10 100 4 10 6 80 C CC （） 10 100 6 20 4 80 C CC （） 10 100 4 20 6

4、80 C CC 【答案】 D 【解答】从袋中任取10 个球有 10 100 C种，其中恰有6 个红球有 4 20 6 80 CC种，故选D 【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算（）已知m、n是两条不重合的直线，、、是三个两两不重合的平面给出下列的四个命题：若m，m，则/；若，则/；若 m，n，nm /，则/；若m、n是异面直线，m，/m，n，/n，则/， 2 (2005 辽宁 ) 其中真命题是（）和（）和（）和（）和【答案】 D 【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以错误；因为当与相交时，若m、n平行于两

5、平面的交线，则nm /，所以错误；因为若m、n是异面直线，m，/m，n，/n，当且仅当/，所以正确【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决（）函数 )1ln( 2 xxy 的反函数是（） 2 xx ee y（） 2 xx ee y（） 2 xx ee y（） 2 xx ee y 【答案】 C 【解答】由)1ln( 2 xxy，得 1 2 xxe y ，即1 2 xxe y ，两边平方，化简得12 2yy xee，故 y y e e x 1 2 ，即 2 yy ee x， )1ln( 2 xxy 的反函数是 2 xx ee y 【点拨】求反函数设法解出x （）若0 1 1

6、log 2 2 a a a ，则a的取值范围是（）), 2 1 (（）),1(（）)1, 2 1 (（）) 2 1 ,0( 【答案】 C 【解答】法一：代特殊值验证法二：当 0 1 1 log 120 2 2 a a a a ，即 1 1 1 2 1 0 2 a a a 时，无解；当 0 1 1 log 12 2 2 a a a a ，即 1 1 1 0 2 1 2 a a a 时，1 2 1 a，故选 C 【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数（）在上定义运算：)1(yxyx若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（）11a（）20a（） 2 3 2 1 a（）

7、 2 1 2 3 a 【答案】 C 【解答】)1)()()(axaxaxax，不等式1)()(axax对任意实数 x成立，则1)1)(axax对任意实数x成立，即使01 22 aaxx对任意实数x成立，所以 0)1(41 2 aa，解得 2 3 2 1 a，故选 C 3 (2005 辽宁 ) 【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系（）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，则m的范围是（）)2,1(（）),2(（）),3（）),3( 【答案】 B 【解答】钝角三角形三内角的度数成等差数列，其中一个角为60o，如图，直角三角形时，2m，所以

8、钝角三角形时，有2m，故选 B 【点拨】利用数形结合解题较快捷（）若直线02cyx按向量 )1,1(a 平移后与圆5 22 yx相切，则c的值为（）或（）或（）或（）或【答案】 A 【解答】由 1 1 yy xx ，得 1 1 yy xx ，所以02cyx平移后，得032cyx，其与圆5 22 yx相切，即圆心到直线的距离为 5，即 5 5 |3|c ，解得8c或2c，故选 A 【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理（ 10 ）已知)( xfy是定义在上的单调函数，实数 21 xx， 1， 1 21 xx ， 1 12xx 若

9、，则（）0（）0（）10（）1 【答案】 A 【解答】数形结合法：当0，如图所示，有|)()(|)()(| 21ffxfxf ，当0时，如图所示，有|)()(|)()(| 21ffxfxf ，故选 A 【点拨】数形结合解决定比分点问题（11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3若它的一条准线与抛物线xy4 2 的准线重合，则该双曲线与抛物线xy4 2 的交点到原点的距离是（）632（）21（）21218（）21 【答案】 B 【解答】由3e，得3 a c ，由一条准线与抛物线xy4 2 的准线重合，得准线为1x，所以1 2 c a ，故3a，3c，6b，所以双曲线方程为1 63

10、22 yx ，由 xy yx 4 1 63 2 22 ，得交点为)12,3(，所以交点到原点的距离是21 ，故选【点拨】由已知条件发拨出a、b、c 的取值，得到双曲线的方程（12）一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0( 1a，由关系式)(1nnafa 得到的数列 na满足)N( * 1naann ，则该函数的图象是 y x O 1 x 2 x y x O 1 x 2 x 图图 60 4 (2005 辽宁 ) （）（）（）（）【答案】 A 【解答】由 )( 1nn afa ， nn aa 1 ，得 nn aaf)( ，即 xxf)( ，故选 A 【点拨】分析清楚函数值

11、与自变量的关系，即可判断. 第卷（非选择题共 90 分）二填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共 16 分（13） 6 2 1 2 1 )2(xx的展开式中常数项是_ 【答案】 160 【解答】通项公式为 rrrrrr xCxxC 3 6 2 1 6 2 1 6 )2()2()(，由03r，得3r，所以常数项是160)2( 3 3 6 C，【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式（14）如图，正方体的棱长为，、分别是两条棱的中点，、、是顶点，那么点到截面ABCD的距离是 _ 【答案】 3 2 【解答】如图建立空间直角坐标系xyzA，)0,0,0(A，)0, 1,1(B，)1, 2 1

12、,0(D， )0,1,0(M ，则)0,1,1(AB，)1, 2 1 ,0(AD，)0,0,1(MB设),1(yxn为平面AB C D法向量，则有 0 0 nAD nAB ，即 0 2 01 y x x ，解得 2 1 1 y x ，即) 2 1 , 1,1(n，所以点到截面ABCD的距离 3 2 2 3 1 1 nMB nMB d 【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法（15）用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有_个（用数字作答）【答案】 576 【解答】将与，与，与捆绑在一起排成一列有482 3 3 3

13、A 种，再将、插入4 个空位中的两个有12 2 4A 种，故有5761248种【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y x O A B C D M x y z 5 (2005 辽宁 ) （16）是正实数，设)(cos)(|是奇函数 xxfS，若对每个实数a ， S )1,(aa 的元素不超过个，且有a使S )1,(aa 含有个元素，则的取值范围是_ 【答案】 2,( 【解答】)( xf是奇函数，且Rx， 0)0(f， 2 k ，kZ， S )1,(aa 的元素不超过个， 1 2 ，2，且有a使S )1,(aa 含有个

14、元素， 1，2，【点拨】通过数轴得出 S )1,(aa 元素个数与两点间距离的关系再求解三解答题：本大题共6小题，共 74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题共12 分）。已知三棱锥ABC 中，、分别是AC、 AB 的中点， ABC ， PEF 都是正三角形，PFAB ()证明 PC平面 PAB； ()求二面角ABC 的平面角的余弦值； ()若点、在一个表面积为12的球面上，求 ABC 的边长 ( 18 )（本小题共12 分）如图，在直径为的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 0xy () 将十字形的面积表示为的函数； () 为何值时，十

15、字形的面积最大？最大面积是多少？ ( 19 )（本小题共12 分）已知函数)1( 1 3 )(x x x xf设数列 n a满足1 1 a，)( 1nn afa，数列 n b满足 |3| nn ab， 21 bbSn)( * Nnbn， ()用数学归纳法证明 1 2 )13( n n n b； ()证明 3 32 n S （20）（本小题满分12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有、两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为 A C B P F E 2 k 2 )1 ( k 2 )2 (k x x

16、y x y O 6 (2005 辽宁 ) 级时，产品为一等品，其余均为二等品（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率甲、乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（）的条件下，求、的分布列及E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金如表三所示，该工厂有工人40 名，可用资金 60 万，设 x 、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（）的条件下，x 、y为何值时 yExEz最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）（21）（本小题满分14 分）已知椭圆)0(1 2 2 2 2

17、 ba b y a x 的左、右焦点分别是 )0,( 1 cF、)0,( 2 cF，Q是椭圆外的动点，满足aQF2| 1 ，点是线段QF 1 与该椭圆的交点，点在线段QF2上，并且满足0|,0 22 TFTFPT （）设x 为点的横坐标，证明x a c aPF| 1 ；（）求点的轨迹的方程；（）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使 21MF F的面积 2 bS若存在，求 21MFF 的正切值；若不存在，请说明理由（22）（本小题满分12 分）函数)(xfy在区间),0(内可导，导函数)( xf是减函数，且0)( xf 设 ),0( 0x ， mkxy 是

18、曲线 )(xfy 在点)(,( 00xfx 处的切线方程，并设函数 mkxxg)( （）用 0 x 、)( 0 xf、)( 0 xf表示m；（）证明：当),0(x，)()(xfxg；（）若关于x的不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx在),0上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a 与b所满足的关系 y x O 1 F 2 F P 表一概工率序产品第一工序第二工序甲0.8 0.85 乙0.75 0.8 表三用项量目产品工人 (名) 资金 (万元 ) 甲8 5 乙2 10 表二利等润级产品一等二等甲5(万元 ) 2.5(万元 ) 乙2.5(万元 ) 1

19、.5(万元 ) 7 (2005 辽宁 ) 2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中

20、间分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分60 分. (1) B (2) B (3) D (4) D (5) C (6) C (7) C (8) B (9) A(10) A(11) B (12) A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4 分，满分16 分。 (13) 160 (14) 3 2 (15) 576 (16) 2,( 三、解答题 (17)本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12 分. （）证明：连结CF. ACBCEFPE 2 1 2 1 ， PCAP ABP

21、FABCF,， AB平面PCF， PCFPC平面， ABPC PC平面PAB 4 分（）解法一： ,CFABPFAB PFC为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则aCF a EFPF 2 3 , 2 ， 3 3 2 3 2 cos a a PFC 8 分解法二：设P在平面 ABC 内的射影为O. PAFPAE，PAB.PAC 得PCPBPA. 于是 O 是 ABC 的中心 . PFO为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则. 2 3 3 1 , 2 aOF a PF . 3 3 cos PF OF PFO 8 分 P C A E D O F 8 (2005 辽宁 ) （）解法一：设PA=

22、x，球半径为R.， ,PBPAPABPC平面 Rx23， 124 2 R， 3R，得2x， 22的边长为ABC. 12 分解法二：延长PO 交球面于D，那么 PD 是球的直径 . 连结 OA、 AD，可知 PAD 为直角三角形 . 设 AB=x，球半径为R. 124 2 R， .32PD xPFOOFPO 6 6 tan，xOA 2 3 3 2 ， ) 6 6 32( 6 6 ) 3 3 ( 2 xxx, 22x于是， 22的边长为ABC. 12 分 18本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的

23、能力. 满分 12 分. （）解：设S 为十字形的面积，则 2 2xxyS ). 24 (coscossin2 2 4 分（）解法一： 2 coscossin2S 2 1 2cos 2 1 2sin 2 1 )2sin( 2 5 其中 . 5 52 arccos 8 分当 S, 2 2,1)2sin(时即最大 . 10 分所以，当S, 5 52 arccos 2 1 4 时最大 . S 的最大值为. 2 15 12 分解法二：因为,coscossin2 2 S 所以cossin2sin2cos2 22 S .2sin2cos2 8 分令0S，即,02sin2cos2 可解得)2ar

24、ctan( 2 1 2 10 分所以，当)2arctan( 2 1 2 时， S 最大， S 的最大值为. 2 15 12 分 9 (2005 辽宁 ) 19本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12 分。（）证明：当.1 1 2 1)(,0 x xfx时因为 a1=1，所以*).(1Nna n 2 分下面用数学归纳法证明不等式. 2 )13( 1n n n b （1）当 n=1 时， b1=13，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即. 2 )13( 1k k k b 那么 k k kk a a ab 1 |3|)1

25、3( |3| 11 6 分 . 2 )13( 2 13 1 k k k b 所以，当 n=k+1 时，不等也成立。根据（ 1）和（ 2），可知不等式对任意n N* 都成立。 8 分（）证明：由（）知，. 2 )13( 1n n n b 所以 nn bbbS 21 1 2 2 )13( 2 )13( )13( n n 2 13 1 ) 2 13 (1 ) 13( n 10 分 .3 3 2 2 13 1 1 ) 13( 故对任意.3 3 2 , n SNn 12 分 20 （本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数

26、学模型以解决实际问题的能力，满分12 分 . （）解：.6.08.075.0,68.085.08.0 乙甲 PP 2 分（）解：随机变量、的分别列是 ,2.432.05.268.05E .1.24.05.16.05.2E 6 分 5 2.5 P 0.68 0.32 2.5 1.5 P 0.6 0.4 10 (2005 辽宁 ) （）解：由题设知 .0 ,0 ,4028 ,60105 y x yx yx 目标函数为 .1.22.4yxyExEz 8 分作出可行域（如图）：作直线:l,01.22.4yx 将 l 向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大，此时y

27、xz1.22.4 10 分取最大值 . 解方程组 .4028 ,60105 yx yx 得.4,4 yx即4,4 yx时， z 取最大值， z 的最大值为25.2 . 12 分 21本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. （）证法一：设点P 的坐标为).,(yx 由 P),(yx在椭圆上，得 .)( )()(| 2 2 2 2 2222 1 x a c a x a b bcxycxPF 由0,acx a c aax知，所以.| 1 x a c aPF 3 分证法二：设点P 的坐标为).,(yx记

28、,| ,| 2211 rPFrPF 则.)(,)( 22 2 22 1 ycxrycxr 由cxrrarr4,2 2 2 2 121 ，得 x a c arPF 11 | 证法三：设点P 的坐标为).,(yx 椭圆的左准线方程为.0x a c a o l 1 l M x y 01.22.4yx 4028yx60105yx y x O 1 F 2 F P 11 (2005 辽宁 ) 由椭圆第二定义得 a c c a x PF | | 2 1，即 . | 2 1 x a c a c a x a c PF 由0,acx a c aax知，所以.| 1 x a c aPF 3 分（）解法一：设点T

30、 . 设点 Q 的坐标为（ yx , ），则 . 2 , 2 y y cx x 因此 .2 ,2 yy cxx 由aQF2| 1 得.4)( 222 aycx 将代入，可得. 222 ayx 综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是. 222 ayx 7 分（）解法一：C 上存在点 M（ 00, y x）使 S= 2 b的充要条件是 .|2 2 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由得ay| 0 ，由得.| 2 0 c b y 所以，当 c b a 2 时，存在点M，使 S= 2 b；当 c b a 2 时，不存在满足条件的点M. 11 分当 c b a 2 时，),(),

31、( 002001 yxcMFyxcMF，由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF， 212121 cos|MFFMFMFMFMF， 12 (2005 辽宁 ) 2 2121 sin| 2 1 bMFFMFMFS，得 .2tan 21MF F 解法二： C 上存在点M（ 00, y x）使 S= 2 b 的充要条件是 .|2 2 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由得.| 2 0 c b y上式代入得 .0)( 22 2 4 22 0 c b a c b a c b ax 于是，当 c b a 2 时，存在点M，使 S= 2 b；当 c b a 2 时，不存在满足

32、条件的点M. 11 分当 c b a 2 时，记 cx y kk cx y kk MFMF 0 0 2 0 0 1 21 , ，由,2| 21 aFF知90 21MF F，所以 .2| 1 |tan 21 21 21 kk kk MFF 14 分 22本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力 .满分 12 分（）解：).()( 000 xfxxfm 2 分（）证明：令.0)(),()()(),()()( 00 xhxfxfxhxfxgxh则因为)(xf递

33、减，所以)( xh递增，因此，当0)(, 0 xhxx时；当0)(, 0 xhxx时. 所以 0 x是)( xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)( xh的最小值为0，因此,0)(xh即 ).()(xfxg 6 分（）解法一：10b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,1 22 baxxbaxx即对任意),0x成立的充要条件是 .)1(2 2 1 ba 另一方面，由于 3 2 2 3 )(xxf满足前述题设中关于函数 )(xfy 的条件，利用（II ）的结果可知， 3 2 2 3 xbax的充要条件是：过点（0，b）与曲线

34、 3 2 2 3 xy相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2( 2 1 bxby 于是 3 2 2 3 xbax的充要条件是.)2( 2 1 ba 10 分 13 (2005 辽宁 ) 综上，不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx对任意),0x成立的充要条件是 .)1(2)2( 2 1 2 1 bab 显然，存在a、b 使式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2( 2 1 2 1 bb 有解、解不等式得 . 4 22 4 22 b 因此，式即为b 的取值范围，式即为实数在a 与 b 所满足的关系. 12 分（）解法二：0,10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0

35、)1(,1 22 baxxbaxx即对任意),0x成立的充要条件是 .)1(2 2 1 ba 8 分令 3 2 2 3 )(xbaxx，于是 3 2 2 3 xbax对任意),0x成立的充要条件是 .0)( x 由 .0)( 3 3 1 axxax得当 3 0ax时;0)( x当 3 ax 时， 0)( x ，所以，当 3 ax 时， )( x 取最小值 .因此0)( x成立的充要条件是0)( 3 a，即.)2( 2 1 ba 10 分综上，不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx 对任意),0x成立的充要条件是 .)1(2)2( 2 1 2 1 bab 显然，存在a、b 使式成立的充要条件是：不等式 2 1 2 1 )1(2)2(bb 有解、解不等式得. 4 22 4 22 b 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a 与 b 所满足的关系 . 12 分

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