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1、12 十。?般 7(2009年第1期高中版) 案例评析 提 升 教 学 智 慧 ， 打 造 有 效 课 堂 “函数的零点“课例与点评 214023无锡市第一中学钱铭 214023无锡市辅仁高级中学钱军先 1 背景描述 前不久，我校与市教育研究中心联手举办了一 次“用智慧打造有效课堂”教学研讨活动，吸引了来 自苏锡常三地四星级高中近500名教师前来听课观 摩和学习交流这次研讨活动采用了“同课异构”的 方式：一方是从我们学校教师中挑选出来的由教学 新秀、教学能手和特级教师组成的开课队伍，另一方 是邀请无锡大市包括江阴、宜兴在内的兄弟学校的 特级教师、省市赛课一等奖获得者组成的开课队伍， 双方各请一
2、位教师对同一教学内容进行教学展示 面对同一个理念、同一个课题、同一个目标，共同探 讨如何提高课堂教学有效性的问题；通过不同的切 入点、不同的手段与方法、不同的教学风格，演绎不 同的教学精彩通过分学科对两位老师的教学课堂 进行观摩、分析和研讨。老师们直观地感受到教学智 慧在课堂教学中的作用，从而引发了大家对如何进 行有效课堂教学的进一步思考 “函数的零点”是宜兴市教研室数学教研员张海 强老师在这次研讨活动中为数学老师所上的一节展 示课这节课受到了所有听课老师的一致好评，大 家都认为：本节课较好地体现了新课程的理念，在教 材的处理、情景的创设、概念的建构和组织学生开展 探究活动等方面都具有一定的特
3、色下面是这节课 的教学过程实录以及根据笔者的体会所作的一些分 析和点评，供大家参考 2过程实录 21创设情境 (投影显示图片) 师：观察这幅图，你发现了什么? 生。：发现了3张脸 师：从左面看，是一个少女，从正面看，是一个老 妇人，从侧面看，是一个老头，发现卞3张脸有何 启发? 同一幅图，从不同的角度看。得到不同的结果， 你从这里能得到怎样的启发? 生：我们看问题，要善于从不同的角度进行思考 师：很好?(投影：从不同的角度看问题) 对Y=2xl ，你有怎样的思考? 生，：是一次函数，它的图象是一条直线(图1) 师：两种结果了，还有吗?假如让初一的学生 看，没学过函数，他将回答是什么?这是一个等
4、式， 含有两个未知数菇和Y 的等式，叫什么? 生(齐)：-元一次方程 师：对Y =2xl ，可以理解为是一次函数，也可 以理解为是二元一次方程，还可以看作是一条直线 ，二元一次方程， (投影：，=2x一1一条直线， ) L一次函数 如果令Y =0，可求出 茗=05，对菇=05，怎样理 解? 生：可以看作是方程 2x一1=0的根 师：这是从数的角度来 对它进行刻划，假如从形的 角度来看，05又具有怎样 的意义呢? 岁 一 o5 j O2 04 卜 O6 j7 O8 一l 图1 生5：函数Y =2xl 的图象与茹轴交点的横坐标 师：这样，o5既具有数的意义，又具有形的意义 其实，这个05还有一个名
5、字，叫函数Y =2xl 的零 点这就是我们今天这节课所要研究的问题 (板书课题函数的零点) (投影： 寨例评析 十?擞 7(2009年第1期高中版) 13 ，方程缸一1=O 的根数； 05I 函数Y =2x一1的图象与石轴的交点横坐枥卜一形；) 【函数Y=2x一1的零点 22建构概念 师：我们把05叫函数Y =2xl的零点为什 么要起这个名字?为什么要叫做零点呢? 生( 齐)：是由Y =O 得到的 师：那么，对于一般的函数Y =八菇)，如何来定义 它的零点呢? 生。：方程以并)=O的根，叫做函数Y 啾茗)的零点 师：非常好，跟课本上的定义几乎是一致的 (投影：函数Y =fC并) 的零点：使函数
6、Y =以茗)的 值为零的实数膏的值) 对于这个定义，我们也可以从两个角度来刻划： 数的角度和形的角度从数的角度怎样理解? 生，：方程八茗)=0的根 师：形的角度呢? 生，：函数Y=2xl 的图象与茗轴交点的横坐标 师：非常好! ( 投影：数的角 度函数Y =，(髫) 的零点就是方程八茗) =0的根；形的角 度函数Y =厂(髫) 陟 厂 ，一 f D 1 2 j V 图2 的零点就是它的图象与茗交点的横坐标) 请大家观察图2并回答下面的问题：你能说明 这个函数的零点是什么吗?有两个答案可供选择 (1)zl =O，X2=1，聋3=2； ( 2) (0，0) ，(1，0) ，(2，O ) 生( 齐)
7、 ：选(1) 师：为什么呢? 生(齐)：根据定义，函数的零点是它的图象与髫 轴交点的横坐标，是一个数，而不是点 师：说得好。从这里，大家可以体会到，定义是解 题的重要依据下面，我们来研究二次函数的零点 问题1确定二次函数Y =茗22x一2的零点个 (投影显示) 从和形两个角度来理解如果从的角度， 你能用另一种方式叙述这个问题吗? 生。：方程茗22x一2=O的根的个数 师：很好!从数的角度看，就是方程，一氖一2=O 的根的个数，问题就化归到确定方程茹22x一2=0 的根的个数的问题，你准备用什么方法来解决它? 生(齐)：计算，A0，有两个根 师：A 0，说明二次函数Y =茗22茁一2有两个零 点
8、从形的角度如何来处理呢? 生，：看函数Y =戈22x一2的图象与茗轴交点的 个数 师：这位同学表达得非常好! 接下来要做什么 工作了? 生(齐)：画图象 师：画出图象，用描点法(投影显示)，发现函数图 象与髫轴有两个交点，也说明二次函数有两个零点 到此，我们从数和形两个不同的角度对同一个问题进 行了研究，得到的结果是一样的，可谓是殊途同归在 这个过程中，我们也提示了数与形两者之间的内在联 系从数的角度看，A O ，表现在图形上，二次函数的 图象与髫轴有两个交点；反之，二次函数的图象与髫 轴有两个交点，A 0，两者之间存在着一定的联系 现在请大家用类似的方法研究下面的问题： 问题2确定函数Y =
9、菇22x+1的零点个数 ( 投影显示) 生10从数的角度看，A =0，有一个零点；从形的 角度看，图象与茹轴只有一个交点，也说明这个函数 只有一个零点 师：下面大家再看一个问题： 问题3确定函数Y =茹22x+2的零点个数 (投影显示) 生(齐)：从数的角度看，A 0=0o) | jV Jl 0x2讧 0工I ：x2jO j ，=似2+如+c ( a#O ) y弘 ( 0，并且图象是不间断的 师：你们认为怎么样?说得是不是非常好?她 的表示已经和课本上差不多了其实，让我们来分 析一下，确实是这样，函数值从负的变到正的，又是 不问断的，必定要跨越过为零的情况就象郭晶晶 跳水，从水上跳到水下，不经
10、过水面，可能吗? (学生会心地笑了) 这样，我们就可以用符号语言来表达上面的图 形 特征 ： 如果关； ； 三吕 ：并 且 图象 是 不间 断的 ， 我们 就能得到函数在(2，3)上有一个零点 同学们，这是从符号、数的角度对图形来进行刻 划，可以说，形的直观和数的清晰，在这里互为印证， 相得益彰 好，接下来，请同学们动手做一下，函数八菇)= 茗22x一2的另一个零点在哪一个区间上，然后用刚 才的结论验证一下，是不是正确? 生。：另个零点在( 一1，O ) 上，满足以一1)0， 以0)0，就一定没有零点吗? (学生充分讨论后组织交流) 24数学应用 师：下面，请大家尝试运用我们所得到的定理来 解
11、决一个问题： 问题5求证：函数(菇) =菇3+石2+l在区间 (一2，一1)上存在零点(投影显示) (先让学生思考，再由学生口述，教师点评，并投 影解题过程) 25课堂感悟 师：请大家用一句话概括一下，这节课学到了什 么?可以互相讨论 生“从多个角度看问题 生17函数与方程的关系 生18函数的零点及其存在的条件 生19数形结合的思想 生：反思 师：说得都很好只有反思，才能有提升我也 反思，这节课学过以后，能给大家留下什么呢?我送 给同学们一句话，仅供参考：一个概念，两种角度，三 条途径能理解吗?一个概念是什么?哪两种角 度?哪三条途径?希望同学们课后再做进一步的反 思，争取有更大的收获 3课例
12、简评 函数的零点是高中数学新课程的新增内容，是在 学生学习了“基本初等函数(I)”的基础上，研究函数 与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制与分 析，得到函数零点的概念，从而进一步探索函数零点 存在性的判定方法，使学生体会函数与方程的联系， 体会从函数的角度去思考方程问题的思想，为进一步 学习“用二分法求方程的近似解”奠定基础这节课 的教学内容平淡无奇，教学中很难出新、出彩如何 创造性地运用教材，构建出生动的问题情境，让学生 在探索中求知，在思考中生智，在品味中赏美，使课 堂充满灵动、演绎精彩，是对教师教学智慧的一个极 好的考验和极大的挑战 张海强老师的这节课，以民主的精神、开放的态 度、
13、合作的方式组织教学活动，教学过程是一种双向 的交流、动态的建构、成功的愉悦和发展的快乐，课堂 成为师生共同活动的舞台教师是用理智上课，同时 也投入了自己的激情，十分尊重学生的主体地位，为 学生探索新知创设条件，高度关注学生的感受和见 解，鼓励学生自主探究与合作交流课堂上，张老师用 自己的情感激发学生的情感，用自己的智慧启迪学生 的智慧，用自己的思维引导学生的思维学生在课 堂上学到的不仅仅是知识、方法、技能，更是生活、思 考、习惯、态度和为人，理性思维和精神世界都有实 质性的发展和提升，新课标的“促进学生全面、持续、 和谐发展”的理念得到了有效的体现 这节课；虽然缺乏高潮，在应用函数零点存在性定
14、 理解决问题的训练上有点薄弱，略显遗憾和不足，但是， 它仍不失为一节好课，它有以下几个特点： (1)有“趣”尽可能地将数学的“双基”镶嵌在 现实的、生活的情境和数学问题之中，创设贴近学生 实际的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题 解决的途径，经历知识形成的过程，激发学生的学习 动机，培养学生的学习兴趣； (2)有“动”充分发挥学生的主体作用，给学生 足够的时间和空间，使学生在课堂上既有动手操作 的实践活动，又有动脑思索和探究的数学思维活动， 使学生的手、脑、眼、耳、口多种感观全方位参与学 习，让课堂充满生命活力； (3)有“思”以问题串的形式层层设疑，机智地 引导学生去自主探究、合作交流，
15、逐步完成学习任 务，设问方式自然和谐，设计的问题有开放度、有层 次性、有思维量，能使学生产生亲切感、好奇心，激发 学生的求知欲； (4) 有“情”把数学内容的情感因素与自身所 体验的情感因素融合在一起，使教学的内容变为学 生易于学习和乐于接受的东西，不断地给学生以激 励与鼓励，为学生的学习创设愉悦的环境，以体现数 学教学的情意原理； (5) 有“用”一方面将数学与日常生活中的各 种现象和问题联系起来，帮助学生逐步形成和发展 数学应用意识；另一方面，指导学生运用所学的数学 知识、思想和思维方法分析问题、解决问题，提高学 生的应用能力 对于打造有效课堂、实施有效教学，我们可以从 中得到许多有益的启迪! ( 收稿日期：20081113)