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1、绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷3 至 5 页。 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。 参
2、考公式： 如果事件A，B 互斥，那么 如果事件A，B 相互独立，那么 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A) P(B) 棱柱的体积公式V=Sh. 球的体积公式 3 4 3 VR. 其中 S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径 h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合1,2,6,2,4,|15ABCxxR，则()ABC （A）2（B）1,2,4（C）1,2,4,6（D）| 15xxR （2）设变量, x y满足约束条件 20, 220, 0, 3, xy xy x y 则目标函数zxy的最大值为 （A） 2 3 （B）1（C
3、） 3 2 （D）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 24，则输出N的值为 （A）0 （B） 1（C）2（D）3 （4）设R，则“ | 1212 ”是“ 1 sin 2 ”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要 条件 （ 5）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2.若经过F和 (0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （A） 22 1 44 xy （B） 22 1 88 xy （ C） 22 1 48 xy （D） 22 1 84 xy （6）已知奇函数(
4、)f x 在R 上是增函数，( )( )g xxf x .若 2 (log 5.1)ag， 0.8 (2)bg， (3)cg，则 a，b， c 的大小关系为 （A） abc（B） cba（C） bac（D） bca （7）设函数( )2sin()f xx ， x R ，其中 0 ， |.若 5 ()2 8 f，()0 8 f， 且( )f x 的最小正周期大于2，则 （A） 2 3 ， 12 （B） 2 3 ， 12 （C） 1 3 ， 24 （ D ） 1 3 ， 24 （8）已知函数 2 3,1, ( ) 2 ,1. xxx f x xx x 设 aR ，若关于x 的不等式( )| 2 x
5、 f xa 在 R 上恒 成立，则a 的取值范围是 （A） 47 ,2 16 （B） 47 39 , 16 16 （C） 2 3,2（D） 39 2 3, 16 第卷 注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. （9）已知 aR ， i 为虚数单位，若 i 2i a 为实数，则a 的值为 . （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球 的体积为. （ 11）在极坐标系中，直线4cos()10 6 与圆2 sin的公共点的个数为 _. （12
6、）若,a bR，0ab，则 44 41ab ab 的最小值为 _. （ 13 ）在ABC中 ，60A，3AB，2AC. 若2BDDC， ()AEACABR，且4AD AE，则的值为 _. （14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的 四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答） 三. 解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13 分） 在ABC中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知ab，5,6ac， 3 sin 5 B. （）求b和sin A的值； （）求 sin(2)
7、4 A的值 . 16.（本小题满分13 分） 从甲地到乙地要经过3 个十字路口， 设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的 概率分别为 1 1 1 , 2 3 4 . （）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）若有2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率. （17） （本小题满分13 分） 如图，在三棱锥P-ABC 中， PA底面 ABC，90BAC.点 D，E，N 分别为棱PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4，AB=2. （）求证： MN平面 BDE； （）求二面角C-EM-N 的正
8、弦值； （）已知点H 在棱 PA 上，且直线NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7 21 ，求线段AH 的 长. 18.（本小题满分13 分） 已知 n a为等差数列，前n 项和为() n SnN， n b是首项为2 的等比数列，且公比大于 0， 23 12bb, 341 2baa， 114 11Sb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）求数列 221 nn a b 的前 n 项和()n N. （19） （本小题满分14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 1 2 .已知A是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l
9、的距离为 1 2 . （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II ） 设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A） ， 直线BQ 与x轴相交于点 D.若APD 的面积为 6 2 ，求直线 AP的方程 . （20） （本小题满分14 分） 设aZ， 已知定义在R 上的函数 432 ( )2336f xxxxxa在区间(1,2)内有一个零 点 0 x，( )g x为( )fx的导函数 . （）求( )g x的单调区间； （）设 00 1,)(,2mxx，函数 0 ( )( )()()h xg xmxf m，求证： 0 () ()0h m h x； （）求证：存在大于 0 的
10、常数 A， 使得对于任意的正整数, p q，且 00 1,)(,2, p xx q 满 足 0 4 1 | p x qAq . 天津理数答案 1-4BDCA 5-8BCAA 9.-2 ； 10. 9 2 ； 11.2； 12.4 ； 13. 3 11 ； 14.1080 15.（）解：在ABC中，因为ab，故由 3 sin 5 B，可得 4 cos 5 B.由已知及余弦定 理，有 222 2cos13bacacB，所以13b. 由正弦定理 sinsin ab AB ,得 sin3 13 sin 13 aB A b . 所以，b的值为13，sin A的值为 3 13 13 . （）解：由（）及a
11、c，得 2 13 cos 13 A，所以 12 sin 22sincos 13 AAA， 25 cos212sin 13 AA.故 7 2 sin(2)sin 2coscos2sin 44426 AAA. 16.（）解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 1111 (0)(1)(1)(1) 2344 P X， 11111111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 23423423424 P X， 1111111111 (2)(1)(1)(1) 2342342344 P X， 1111 (3) 23424 P X. 所以，随机变量X的分布列为 X0 1 2 3 P 1 4
12、11 24 1 4 1 24 随机变量X的数学期望 1111113 ()0123 42442412 E X. （）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求 事件的概率为 (1)(0PYZPYZ 11111111 42424448 . 所以，这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为 11 48 . （17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空 间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分. 如图，以 A 为原点，分别以AB ， AC ， AP 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立
13、空间直角坐 标系 .依题意可得 A（0，0，0），B（2，0， 0），C（0，4， 0）， P（0，0， 4）， D（0，0，2），E（0，2， 2）， M（0，0，1）， N（ 1，2，0）. （）证明：DE =（0，2，0）， DB =（2，0，2）.设( , , )x y zn，为平面BDE 的法向 量， 则 0 0 DE DB n n ，即 20 220 y xz .不妨设1z，可得(1,0,1)n.又 MN =（1，2，1），可得 0MN n. 因为 MN平面 BDE，所以 MN/平面 BDE . （） 解：易知 1 (1,0,0)n为平面 CEM 的一个法向量.设 2 ( , ,
14、)x y zn为平面 EMN 的法向量， 则 2 2 0 0 EM MN n n ，因为(0, 2, 1)EM，(1,2, 1)MN，所以 20 20 yz xyz .不妨设1y， 可得 2 ( 4,1, 2)n. 因此有 12 12 12 4 cos, |21 nn n n |nn ，于是 12 105 sin, 21 n n. 所以，二面角CEMN 的正弦值为 105 21 . （）解：依题意，设AH=h（0 4h ），则 H（0， 0，h），进而可得( 1, 2, )NHh ， ( 2,2,2)BE.由 已 知 ， 得 2 |22|7 | cos,| 21| 52 3 NHBEh NH
15、BE NHBE h ， 整 理 得 2 102180hh，解得 8 5 h，或 1 2 h. 所以，线段AH 的长为 8 5 或 1 2 . 18.【解析】（I）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q. 由已知 23 12bb，得 2 1( )12b qq，而 1 2b，所以 2 60qq. 又因为0q，解得2q.所以，2 n n b . 由 341 2baa，可得 1 38da. 由 114 =11Sb，可得 1 516ad， 联立，解得 1 1a，3d，由此可得32 n an. 所以，数列 n a的通项公式为32 n an，数列 n b的通项公式为2 n n b. （II
16、）解：设数列 221 nn a b的前n项和为 n T， 由 2 62 n an， 1 21 24 n n b，有 221 (31)4 n nn a bn， 故 23 245484(31)4 n n Tn， 2341 424548 4(34)4(31)4 nn n Tnn， 上述两式相减，得 231 324343434(31)4 nn n Tn 1 1 12(14 ) 4(31)4 14 (32)48. n n n n n 得 1 328 4 33 n n n T. 所以，数列 221 nn a b 的前n项和为 1328 4 33 nn . 19. （ ） 解：设F的坐标为(,0)c.依题意
17、， 1 2 c a ， 2 p a， 1 2 ac， 解得1a， 1 2 c， 2p，于是 2223 4 bac. 所以，椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x，抛物线的方程为 2 4yx. （）解：设直线AP的方程为1(0)xmym，与直线l的方程1x联立，可得点 2 ( 1,)P m ，故 2 ( 1,)Q m .将1xmy与 2 24 1 3 y x联立，消去x，整理得 22 (34)60mymy，解得0y，或 2 6 34 m y m .由点B异于点A，可得点 2 22 346 (,) 3434 mm B mm .由 2 ( 1,)Q m ，可得直线BQ的方程为 2 22 62342
18、 ()(1)(1)()0 3434 mm xy mmmm ，令0y，解得 2 2 23 32 m x m ，故 2 2 23 (,0) 32 m D m .所以 22 22 236 | 1 3232 mm AD mm .又因为APD的面积为 6 2 ，故 2 2 1626 232|2 m mm ， 整理得 2 32 6 | 20mm， 解得 6 | 3 m， 所以 6 3 m. 所以，直线AP的方程为3630xy，或3630xy. 20.（）解：由 432 ( )2336fxxxxxa，可得 32 ( )( )8966g xfxxxx， 进而可得 2 ( )24186gxxx.令( )0g x
19、，解得1x，或 1 4 x. 当 x 变化时，( ),( )g xg x的变化情况如下表： x (, 1) 1 ( 1,) 4 1 (,) 4 ( )gx+ - + ( )g x 所以，( )g x的单调递增区间是(, 1)， 1 (,) 4 ，单调递减区间是 1 ( 1,) 4 . （）证明：由 0 ( )( )()()h xg xmxf m，得 0 ()()()()h mg mmxf m， 000 ()()()()h xg xmxf m. 令函数 10 ( )( )()( )Hxg xxxf x， 则 10 ( )( )()Hxg xxx.由 （）知， 当1,2x 时，( )0g x，故当
20、 0 1,)xx时， 1( ) 0Hx，1( )Hx单调递减；当0(,2xx时， 1 ( )0Hx， 1( ) Hx单调递增. 因此，当 00 1,)(,2xxx时， 1100 ()()()0HxHxfx，可得 1( )0,()0Hmh m即. 令函数 200 ( )()()( )Hxg xxxf x，则 20 ( )()( )Hxg xg x.由（） 知，( )g x在 1,2上单调递增， 故当 0 1,)xx时， 2 ( )0Hx， 2( ) Hx单调递增； 当 0 (,2xx时， 2( ) 0Hx，2( )Hx单调递减 .因此，当001,)(,2xxx时，220( )()0HxHx， 可
21、得 20 ()0,()0Hmh x即. 所以， 0 () ()0h m h x. （III ）证明：对于任意的正整数 p，q，且 00 1)(, ,2 p xx q ， 令 p m q ，函数 0 ( )( )()()hgmxxxmf. 由（ II）知，当 0 1),mx时，( )h x在区间 0 (,)m x内有零点； 当 0 (,2mx时，( )h x在区间 0 (),xm内有零点 . 所以( )h x在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为 1 x，则 110 ()()()()0 pp hgxf q x q x. 由（ I）知( )g x在1,2上单调递增，故 1 0( )()12( )g
22、xgg， 于是 432234 04 1 ()|() | | 2336| | ()( )(2)2 pp ff ppp qp qpqaqqq x qg xggq . 因为当1 2,x时，( )0g x，故( )fx在1,2上单调递增， 所以( )f x在区间1,2上除 0 x外没有其他的零点，而 0 p x q ，故()0 p f q . 又因为 p，q，a均为整数，所以 432234 |2336|pp qp qpqaq是正整数， 从而 432234 | 2336|1pp qp qpqaq. 所以 04 1 | 2 | ( ) p x qgq .所以，只要取( )2Ag，就有 04 1 | p x qAq .