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1、二次函数最值问题 二次函数的最值问题分两类： 1 代数类：利润最大问题 2 几何类：面积最小问题 一利润最大问题 某商店将每件进价为8 元的某种商品按每件10 元出售，一天可销出约 100件该店想通过降 低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1 元，其销 售量可增加 10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? 利润=(售价进价 )销售量 2如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元 ? 108=2(元)，(108)100=200
2、(元) 3若每件商品降价x 元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (108x)；(100100x) 4x 的值是否可以任意取 ?如果不能任意取，请求出它的范围， x 的值不能任意取，其范围是0x2 5若设该商品每天的利润为y 元，求 y 与 x 的函数关系式。 y=(10 8x) (100100x)(0x2) y=100x2100x20D (0x2) 求最大值的两种方法： 1顶点法 2公式法 16某公司经销一种绿茶，每千克成本为50 元市场调查发现，在一段时间内，销售量 w（千克）随销售单价x（元 /千克）的变化而变化，具体关系式为：w 2x240设这种 绿茶在这段时间内的销
3、售利润为y（元），解答下列问题： （1）当 x 取何值时， y 的值最大？ （2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90 元/千克，公司想要在这段时间 内获得 2250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 16 解： 1 y(x50)? w (x 50) ? ( 2x240) 2x2340x12000， 2 (x85) 22450， 当 x 85 时， y 的值最大 2 当 y2250 时，可得方程2 (x85 ) 2 24502250 解这个方程，得x175，x295 根据题意， x2 95 不合题意应舍去 当销售单价为75 元时，可获得销售利润2250 元 练习 1 水果批发商场
4、经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克 . 经市场 调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克 . （1） 现该商场要保证每天盈利6000 元， 同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 2 商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，减少库存， 决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件。 设每件降价x 元，每天盈利y 元，列出y 与 x 之间的函数关系式； 若商场每天要盈利1200 元
5、，每件应降价多少元？ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 3 某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55 元，市 场调查发现， 若每箱以50 元的价格调查，平均每天销售90 箱，价格每提高1 元，平均每天 少销售 3 箱 （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价 x（元 /箱）之间的函数关系式 （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元 /箱）之间的函数关系式 （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 二 面积最大问题 1现有一块矩形场地，如图12 所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为
6、四块分别 种植：A兰花；B菊花；C月季；D牵牛花 （1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式；求出此函数 与x轴的交点坐标，并写出自为量的取值范围 （2）当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 图 12 A B C D x 30 40 x 2 例题如图 10 所示， E 是正方形ABCD 的边 AB 上的动点，EFDE 交 BC 于点 F （1）求证：ADEBEF； （2）设正方形的边长为4， AE=x，BF=y当x取什么值 时，y有最大值 ?并求出这个最大值 练习 1 如图在 RtABC 中，点 P 在斜边 AB 上移动， PMBC，PNAC ，M，N
7、分别为垂 足，已知AC=1 ，AB=2 ，求： （1）何时矩形PMCN 的面积最大，把最大面积是多少？ （2）当 AM 平分 CAB 时，矩形PMCN 的面积 . 2在直角坐标系中，点A 的坐标为（ 2，0） ， 抛物线 232 3 33 yxx （1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由. （2）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么P AB 是否有最大 面积？若有，求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解： （1）如图，抛物线的对称轴是直线x=1，当点 C 位于对称轴与线
8、段AB 的交点时， BOC 的周长最小 . 设直线 AB 为 y=kx+b.所以 3 3, 3 20.2 3 3 k kb kb b 解得， 因此直线AB 为 32 3 33 yx， 当 x=1 时， 3 3 y， 因此点 C 的坐标为（1，3 ）. （ 4）如图，过P 作 y 轴的平行线交AB 于 D. C B A O y x B A O y x 2 2 2 1 ()() 2 132 332 3 3 23333 33 3 22 319 3 228 PABPADPBDDPBA SSSyyxx xxx xx x 当 x= 1 2 时， PAB 的面积的最大值为 9 3 8 ，此时 13 , 24
9、 P. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（ 4，3） 平行于对 角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边 分别交于点M、N，直线 m 运动的时间为t（秒） (1) 点 A 的坐标是 _，点 C 的坐标是 _； (2) 当 t= 秒或秒时， MN= 2 1 AC； (3) 设OMN 的面积为S，求 S与 t 的函数关系式； (4) 探求 (3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由 已知：如图，抛物线)0(2 2 acaxaxy与 y 轴交于点C（0，4
10、） ，与 x 轴交于点A、 B，点 A 的坐标为（ 4，0） 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点Q 作 QEAC ，交 BC 于点 E，连接 CQ。当 CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标； （3） 若平行于x 轴的动直线 l与该抛物线交于点 P， 与直线 AC 交于点 F， 点 D 的坐标为（ 2， 0） 。问：是否存在这样的直线l，使得 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由。 D B A O y x P 图 9 B C O y xA 动点问题 1(10 分) 如图 9，抛物线 2 812 (0)yaxaxa a与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足ACB为直角 , 且恰使OCA OBC. (1)(3分 ) 求线段OC的长 . 解： (2)(3分) 求该抛物线的函数关系式 解： (3)(4分 ) 在x轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 2 如图，抛物线 2 23yxx与 x 轴交 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线l与抛物线 交于 A、C 两点，其中C 点的横坐标为2。 Y X C ADQBO