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1、与垂径定理有关的辅助线 一连半径构造直角三角形 (教材 P83 练习第 1 题 ) 如图 1，在 O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为3 cm，求 O 的半径 图 1 变形 1 答图 解：作 OEAB 于 E，连接 OA，则 AE1 2AB 1 284(cm)，OE3 cm，OA AE2OE2 4232 5(cm) 【思想方法】求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成 直角三角形进行求解 如图 2，AB 为 O 的直径，弦CDAB 于 E，已知 CD12，BE2，则 O 的直 径为 (D) A8B10C16D20 【解析】如图，连接OC，根
2、据题意，得CE 1 2CD6，BE2.在 Rt OEC 中，设 OC x， 则 OEx2， 故(x2) 262x2，解得 x10，即直径 AB20. 图 2 图 3 “ 圆材埋壁 ” 是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“ 今有圆材，埋壁中， 不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现在的数学语言表述是：“ 如图 3 所示， CD 为 O 的直径， CDAB，垂足为 E，CE1 寸， AB 1尺，求直径CD 长是多 少寸 ”(注： 1 尺 10 寸) 解： ABCD， AEBE. AB10， AE5. 在 RtAOE 中， OA 2OE2 AE2， OA2(OA1)252，
3、 OA13， CD2OA26(寸) 二作弦心距巧解题 (教材 P90 习题 24.1 第 10 题) O 的半径为13 cm，AB，CD 是 O 的两条弦， ABCD，AB24 cm， CD10 cm，求 AB 和 CD 的距离 解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD10 cm， DE5 cm.OD13 cm，利用勾股定理可得OE 12 cm.同理可求OF5 cm， EF7 cm. 第二种情况： EFOEOF17 cm. 【思想方法】已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股 定理求解是常用方法 如图 4， O 的半径为17 cm，弦 ABCD，AB
4、 30 cm，CD16 cm，圆心 O 位于 AB，CD 的上方，求AB 和 CD 的距离 图 4 变形 1 答图 解：如图，过点O 作 OEAB，交 CD 于 F，连接 OA， ABCD， OFCD. 在 RtOAE 中， OA 17，AEBE 1 2AB15， OE8，同理可求 OF15. 圆心 O 位于 AB，CD 的上方， EFOF OE1587(cm)， 即 AB 和 CD 的距离是7 cm. 如图 5 所示，若 O 的半径为13 cm，点 P是弦 AB 上一动点，且到圆心的最短距 离为 5 cm，则弦 AB 的长为 _24_cm. 【解析】点 P 到圆心的最短距离即点O 到弦 AB
5、 的垂线段的长度，当点P 是 AB 中点时， 连接 OA，则 AB 2AP2OA 2OP22 13 252 2 1224(cm) 图 5 图 6 如图 6，在半径为5 的 O 中， AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且 AB CD8，则 OP 的长为 (C) A3 B4 C 3 2 D42 【解析】如图，作OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OB，OD. 由垂径定理、勾股定理，得 OMON5 2423. 弦 AB，CD 互相垂直， DPB90. OMAB 于 M，ONCD 于 N， OMP ONP90， 四边形MONP 是正方形，OP32，故选 C. 把球放在长方体纸盒内，球的一
6、部分露出盒外，其截面如图7 所示，已知EFCD 16 cm，则球的半径为_10_cm. 图 7 变形 4 答图 【解析】取 EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取弧 EF 所在圆的圆心为O，连接 OF. 设 OFx，则 OM16x，MF 8， 在直角三角形OMF 中， OM2MF 2OF2， 即(16x)282x2，解得 x10. 当宽为 3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8 所示 (单位： cm)，那么该圆的半径为_25 6 _cm. 图 8 【解析】连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D， ODAB， AD 1 2AB 1 2(9 1) 4.设
7、 OAr， 则 ODr3， 在 RtOAD 中，OA 2OD2AD2， 即 r2(r3)242， 解得 r25 6 cm. 如图 9 所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB3 m，弓形的高EF 1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在圆 O 的半径 图 9 解：由垂径定理得BF1 2AB1.5，OEAB，设圆 O 半径为 x，则 OFx1，在 RtOBF 中，根据勾股定理得x21.52(x1)2，解得 x1.625，即圆 O 的半径是1.625 m. 某地有一座圆弧形拱桥，圆心为 O，桥下水面宽度为7.2 m， 过 O 作 OCAB 于 D， 交圆弧于 C，CD2.4 m(
8、如图 10 所示 )现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 图 10 解：如图，连接ON，OB，且设 DE 为船舱的高 OCAB， D 为 AB 中点 AB7.2 m， BD 1 2AB3.6 m又 CD2.4 m， 设 OBOCONr，则 OD(r2.4)m. 在 RtBOD 中，根据勾股定理得r 2(r2.4)23.62，解得 r 3.9 m. CD2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m， CE2.420.4 (m)， OErCE3.90.4 3.5 (m) 在 RtOEN 中， EN 2ON2OE23.923.52
9、2.96， EN 2.96， MN2EN 2 2.963.44(m) 3(m)， 此货船能顺利通过这座拱桥 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 11 所示，正常水位下水面宽AB60 m，水面到 拱顶距离 CD18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水 面宽 MN32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由 图 11 解：不需要采取紧急措施理由如下： 设 OAR，在 RtAOC 中， AC30，OCR18， R2302(R18)2 解得 R34(m) 如图，连接OM，设 DEx，在 RtMOE 中， ME 16， 34 2162(34 x)2， 即 x268x 2560， 解得 x14， x264(不合题意，舍去)， DE4.4 m3.5 m，不需采取紧急措施