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1、1 二次根式练习 （满分： 150 分，时间 120 分钟） 一选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1已知 n是一个正整数，是整数，则n 的最小值是（） A3B5C15 D25 2计算+之值为何（） A5 B33 C3 D9 3已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（） A5B3C7D8 4如果代数式有意义，则x 的取值范围是（） Ax 3 Bx3 Cx3 Dx 3 5实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|b|，则化简的结果为（） A2a+b B2a+b CbD2a b 6如果，则（） Aa BaCaD a 7实数 a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（） A7B
2、7 C2a15 D无法确定 8化简时，甲的解法是：=，乙 的解法是：=，以下判断正确的是（） A甲 的解法正确，乙的解法不正确B甲的解法不正确，乙的解法正确 C甲 、乙的解法都正确D甲、乙的解法都不正确 2 9已知 a=+1，b=，则 a 与 b 的关系是（） Aa=b Bab=1 Ca=b Dab=1 10 将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形， 求正八边形的面积 （） A（ 22） a 2 B a 2 C a 2D（32） a 2 二填空题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分） 11观察下列各式：； 则依次第四个式子是_；用 n（n 2）的等式表达你所观察得到的规
3、律应是 _ 12式子，中，一定是二次根式的是_ 13要使代数式的值为 0，则 x 的值是_ 14计算：=_ 15使是整数的最小正整数n=_ 16计算：=_ 17先化简（） ，再求得它的近似值为_（精确到0.01， 1.414， 1.732） 18观察下列等式：， 请你从 上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： =_ 19已知 a、b 为有理数， m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn 2=1， 则 2a+b=_ 3 20实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 _ 三解答题（共9 小题，满分80 分） 21 （6 分）计算： 22 （12 分） （1）计算： |4|
4、+（+1） 0 ； （2）先化简，再求值： （3+m） （3m）+m（m6） 7，其中 m= 23 （8 分）如图，实数a、b 在数轴上的位置，化简： 4 24 （8 分）计算： 25 （12 分，每小题4 分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+= （1+）2善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b=（m+n）2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有 a+b=m 2+2n2+2mn a=m2+2n 2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b的式子化为平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a、b、m、n 均为
5、正整数时，若a+b=，用含 m、n 的式子分别表 示 a、b，得： a=_，b=_； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n 填空：_+_ =（_+_） 2； （3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求a 的值？ 26 （8 分）先化简，再求值： （）?，其中 x= 5 27 （12 分， 4+8 分）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，即已 知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为： （其中 a、 b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s= （其中 p= ） （1）若已知三角形的三边长分别
6、为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形 的面积 s； （2）你能否由公式推导出公式？请试试 28 （6 分）相信你能成功！ 已知 a，b，c 为三角形的三边，化简 6 29 （8 分）借助计算器可以求得， 仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想为多少？ 7 二次根式练习 参考答案与试题解析 一选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1已知 n是一个正整数，是整数，则n 的最小值是（） A3B5C15 D25 考点：二 次根式的定义。 分析：先 将中能开方的因数开方，然后再判断 n 的最小正整数值 解答：解 ：=3，若是整数，则也是整数； n 的最小正整数值是15；故选 C
7、点评：解 答此题的关键是能够正确的对进行开方化简 2计算+之值为何（） A5B33C3D9 考点：同 类二次根式；二次根式的加减法。 分析：先 将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案 解答：解 ：原式 =75+3=5 故选 A 点评：本 题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才 能合并 3已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（） A5B3C7D8 考点：同 类二次根式。 分析：根 据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出a 的值即可 解答：解： 与是同类二次根式 2a4=2 解得， a=3 故选 B 点评：此 题主要考查了同类二次根式的定义，即
8、：化成最简二次根式后，被开方数相同这 样的二次根式叫做同类二次根式 4如果代数式有意义，则x 的取值范围是（） Ax 3 Bx3 Cx3 Dx 3 考点：二 次根式有意义的条件；分式有意义的条件。 8 专题：计 算题。 分析：根 据二次根式的意义得出x3 0，根据分式得出x3 0，即可得出x30，求出即 可 解答：解：要使代数式 有意义， 必须 x3 0， 解得： x 3 故选 C 点评：本题考查了二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件的应用，注意： 分式中 A 0， 二次根式中 a 0 5实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|b|，则化简的结果为（） A2a+b B2a+b CbD
9、2a b 考点：二 次根式的性质与化简；实数与数轴。 专题：计 算题。 分析：现 根据数轴可知a0，b0，而 |a|b|，那么可知a+b0，再结合二次根式的性质、 绝对值的计算进行化简计算即可 解答：解 ：根据数轴可知，a0，b0， 原式 =a（ a+b）=a+a+b=b 故选 C 点评：本 题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负 数、以及绝对值结果的非负性 6如果，则（） Aa BaCaD a 考点：二 次根式的性质与化简。 专题：计 算题。 分析：由 已知得 2a 1 0，从而得出a 的取值范围即可 解答：解： ， 12a 0， 解得 a 故选 B 点评：
10、本 题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握 9 7实数 a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（） A7B7 C2a15 D无法确定 考点：二 次根式的性质与化简；实数与数轴。 分析：先 从实数 a 在数轴上的位置，得出a 的取值范围，然后求出（a4）和（ a11）的取 值范围，再开方化简 解答：解 ：从实数a在数轴上的位置可得， 5a10， 所以 a40， a110， 则， =a4+11a， =7 故选 A 点评：本 题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念 8化简时，甲的解法是：=，乙 的解法是：=，以下判断正确的是（） A甲 的解法正确，乙的解法不正确B甲
11、的解法不正确，乙的解法正确 C甲 、乙的解法都正确D甲、乙的解法都不正确 考点：分 母有理化。 分析：根 据二次根式的相关概念解答 解答：解 ：甲的做法是将分母有理化，去分母； 乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母均正确 故本题选C 点评：正 确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键本题用到了分母 有理化以及平方差公式等知识，常用的甲的解法 9已知 a=+1，b=，则 a 与 b 的关系是（） Aa=b Bab=1 Ca=b Dab=1 考点：分 母有理化。 分析：先 把 b 化简，再判断a 与 b 的关系 10 解答：解： b= =， a=b 故选 A 点评：此
12、题的关键是对b 的化简，即分母有理化 10 将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形， 求正八边形的面积 （） A（ 22） a 2 B a 2 C a 2D（32 ） a 2 考点：二 次根式的应用。 分析：设 剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边 形的边长为x，依题意得x+2x=a，则 x=，那么正八边形的面积等于原正 方形的面积减去四个直角三角形的面积 解答：解 ：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正 八边形的边长为x， 依题意得x+2x=a，则 x=， 正八边形的面积=a24 =（ 22） a 2 故选
13、A 点评：此 题综合性较强，关键是寻找正八边形和正方形边长和面积之间的关系，得以求解 二填空题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分） 11观察下列各式：； 则依次第四个式子是5=；用 n（n 2）的等式表达你所观察得到的规律应 是n= 考点：二 次根式的定义。 专题：规 律型。 11 分析： 观察上述各式的特点，n（n 2）的等式表达的规律应是n= 解答：解：第四个式子是 5=；用 n（n 2）的等式表达你所观察得到的规律应 是 n= 点评：仔 细观察给出的式子，用特殊到一般的方法寻找规律 12式子，中，一定是二次根式的是， 考点：二 次根式的定义。 分析：根 据二次根式的性质，根指数为
14、2，被开方数大于等于0 进行判断 解答：解：式子 ，中，一定是二次根式的是， 点评：主 要考查了二次根式的概念：式子（a 0）叫二次根式 13要使代数式的值为 0，则 x 的值是x=2 考点：二 次根式的定义；分式的值为零的条件。 分析：分 式的值为0 的条件是：（1）分子 =0； （2）分母 0两个条件需同时具备，缺一不可 解答： 解：要使代数式的值为 0， 即 x24=0，x= 2 x2+3x+2 0，x 2， x=2 故要使代数式的值为 0，则 x 的值是 x=2 点评：由 于该类型的题易忽略分母不为0 这个条件，所以常以这个知识点来命题 14计算：=1 考点：二 次根式的乘除法。 分析
15、：根 据二次根式的乘除法法则运算 解答：解： =1=21=1 点评：主 要考查了二次根式的乘除法运算二次根式的运算法则：乘法法则= 除 12 法法则= 15使是整数的最小正整数n=3 考点：二 次根式的性质与化简。 分析：先 将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n 的最小正整数值 解答：解 ：=2，由于是整数，所以n 的最小正整数值是3 点评：解 答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简 16计算：= 考点：二 次根式的加减法；零指数幂。 专题：计 算题。 分析：分 别进行分母有理化、二次根式的化简及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案 解答：解 ：原式 =12+1 = 故答案为： 点
16、评：此 题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化 简、分母有理化及零指数幂的运算法则 17先化简（） ，再求得它的近似值为5.20（精确到 0.01， 1.414， 1.732） 考点：二 次根式的加减法；近似数和有效数字。 分析：根据 a= 化简原式后再解答 解答： 解：原式 =（） =（） =+ =3 3 1.732 5.196 5.20 点评：在 根式的解答过程中，经常遇到类似本题的题型，在解答此类题型时，化简时，先把 分数化成根式形式后，再去解答会比较容易一些 13 18观察下列等式：， 请你从 上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： =2006 考点
17、：分 母有理化。 专题：规 律型。 分析：所 求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为： + +=，然后利用平方 差公式计算 解答：解： ， 原式 =（+ +） （） =（） （） =20082 =2006 故本题答案为：2006 点评：解 答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律 19已知 a、b 为有理数， m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn 2=1， 则 2a+b=2.5 考点：二 次根式的混合运算；估算无理数的大小。 专题：计 算题。 分析：只 需首先对 估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用a 表 示再分别代入amn+bn 2=1 进行计
18、算 解答：解 ：因为 23，所以 253，故 m=2，n=52=3 把 m=2，n=3代入 amn+bn 2=1 得， 2（3 ） a+（3） 2b=1 化简得（ 6a+16b）（ 2a+6b） =1， 等式两边相对照，因为结果不含， 所以 6a+16b=1 且 2a+6b=0，解得 a=1.5，b=0.5 所以 2a+b=30.5=2.5 故答案为： 2.5 点评：本 题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算能够正确估算出一个较复 杂的无理数的大小是解决此类问题的关键 20实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为b 考点：二 次根式的性质与化简；实数与数轴。 专题：计 算
19、题。 分析：由 数轴得出b0a， |b|a|，原式化简为|a+b|+a，去掉绝对值符号得出ab+a， 14 合并同类项即可 解答：解 ：由数轴可知：b 0a，|b|a|， +a， =|a+b|+a， =ab+a， =b， 故答案为：b 点评：本 题考查了二次根式的性质与化简和实数与数轴的应用，解此题的关键是根据数轴得 出 b0a 和|b|a|，题目比较典型，是一道比较好的题目 三解答题（共9 小题，满分80 分） 21 （6 分）计算： 考点：二 次根式的性质与化简；绝对值；零指数幂；负整数指数幂。 分析：理解绝对值的意义：负数的绝对值是它的相反数； 表示的算术平方根即；一 个数的负指数次幂等
20、于这个数的正指数次幂的倒数；任何不等于0 的数的 0 次幂都等 于 1 解答：解：原式 =2 +1=1 点评：注 意实数的四则混合运算顺序，特别要理解幂运算的相关性质 22 （12 分） （1）计算： |4|+（+1） 0 ； （2）先化简，再求值： （3+m） （3m）+m（m6） 7，其中 m= 考点：二 次根式的性质与化简；绝对值；整式的混合运算化简求值；零指数幂。 分析：（ 1）先对 |4|+（+1） 0 进行化简，得4+1 2，然后进行计算； （ 2）利用平方差公式先对（3+m） （3m）+m（m6） 7 进行化简，代入m 的值， 求出结果 解答：解 ： （1）|4|+（+1） 0
21、=4+12=52； （ 2）原式 =（3+m） （3m）+m（m6） 7 =9m 2+m26m7=26m， 当 m=时，原式 =26 =1 点评：利 用公式可以适当简化一些式子的计算 23 （8 分）如图，实数a、b 在数轴上的位置，化简： 15 考点：二 次根式的性质与化简；实数与数轴。 分析：本 题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义 解答：解 ：由数轴知， a0，且 b0， ab0， ， =|a|b|（ ab）， =（ a） b+ab， =2b 点评：本 小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等 基础知识，考查基本的代数运算能力 观察数轴
22、确定a、b 及 ab 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的 符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点 本题考查算术平方根的化简，应先确定a、b 及 ab 的符号，再分别化简 ，最后计算 24 （8 分） 考点：二 次根式的混合运算；分数指数幂；负整数指数幂。 分析：利 用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化 简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可 解答：解：原式 = = =3 点评：此 题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将 各式进行化简是解题关键 25 （12 分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，
23、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+= （1+）2善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b=（m+n）2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有 a+b=m 2+2n2+2mn a=m2+2n 2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b的式子化为平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若a+b=，用含 m、n 的式子分别表 示 a、b，得： a=m2+3n 2 ， b=2mn； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n 填空：4+2=（1+1 ） 2； （3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求a
24、的值？ 16 考点：二 次根式的混合运算。 分析：（ 1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b 的表达式； （ 2）首先确定好m、n 的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、 b 的值； （ 3）根据题意， 4=2mn，首先确定m、n 的值，通过分析m=2，n=1 或者 m=1，n=2， 然后即可确定好a 的值 解答：解： （1） a+b =， a+b=m 2+3n2+2mn ， a=m2+3n 2， b=2mn 故答案为m2+3n2，2mn （ 2）设 m=1，n=1， a=m2+3n 2=4，b=2mn=2 故答案为4、2、1、 1 （ 3）由题意，得： a=m 2+3n2，b=2
25、mn 4=2mn，且 m、n 为正整数， m=2，n=1 或者 m=1，n=2， a=22+3 12=7，或 a=12+3 22=13 点评：本 题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平 方公式和二次根式的运算法则 26 （8 分）先化简，再求值： （）?，其中 x= 考点：二 次根式的化简求值；分式的化简求值。 专题：分 类讨论。 分析：先 根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可 解答： 解：原式 =?， 当 x=时， x+10， 可知=x+1 ， 故原式 =?=； 点评：本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当 x
26、=时得出 17 =x+1，此题难度不大 27 （12 分）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，即已知三角形 的三边长，求它的面积用现代式子表示即为： （其中 a、 b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s= （其中 p= ） （1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形 的面积 s； （2）你能否由公式推导出公式？请试试 考点：二 次根式的应用。 分析：（ 1）代入计算即可； （ 2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再 进行计算 解答： 解： （1）
27、S=， =； P=（5+7+8）=10， 又 S=； （ 2）=（ ） =， =（c+a b） （c a+b） （a+b+c） （ a+bc） ， =（2p2a） （2p2b）?2P?（2p2c） ， =p（pa） （p b） （p c） ， 18 = （说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确） 点评：考 查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力 28 （6 分）相信你能成功！ 已知 a，b，c 为三角形的三边，化简 考点：二 次根式的应用；三角形三边关系。 分析：由 于 a，b，c 为三角形的三边，可根据三角形两边之和大于第三边，化简式子 解答：解 ： a， b，c 为三角形的三边， a+b c，a+cb，b+c a， =a+bc+bc c+b+c a =a+3bc 点评：本 题主要考查二次根式的化简的知识点，根据三角形两边之和大于第三边解答此题 29 （8 分）借助计算器可以求得， 仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想为多少？ 考点：二 次根式的应用。 专题：规 律型。 分析：首 先计算特例的值，再观察找规律，进而推广到一般 解答：解： =5，=55， 故前面有多少个4，后面就有多少个5 原式 = 点评：首 先由特例找规律，再得结论