八年级数学一次函数典型应用题汇总.pdf

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1、第 1 页 共 11 页 一次函数应用题 例 1 已知雅美服装厂现有A 种布料 70 米， B 种布料 52 米，现计划用这两种布料生产M，N 两种型 号的时装共80 套。已知做一套M 型号的时装需要A 种布料 0.6 米， B 种布料 0.9 米，可获利润45 元； 做一套 N 型号的时装需要A 种布料 1.1 米，B 种布料 0.4 米，可获利润50 元。若设生产N 种型号的时 装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为 y元。 （1）求y与 x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当 N 型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多

2、少？ 解： 由题意得： xxy50)80(45 36005x 52)80(9. 04 .0 70)80(6.01 .1 xx xx 解得： 40x 44 y与 x的函数关系式为：36005xy ，自变量的取值范围是：40x 44 在函数 36005xy 中，y随 x的增大而增大 当x 44 时，所获利润最大，最大利润是： 3600445 3820（元） 例 2 某市电话的月租费是20 元，可打60 次免费电话（每次3 分钟） ，超过 60 次后，超过部分每次 0.13 元。 （1）写出每月电话费y（元）与通话次数 x之间的函数关系式； （2）分别求出月通话50 次、 100 次的电话费； （3

3、）如果某月的电话费是27.8 元，求该月通话的次数。 解； （1）由题意得：y与 x之间的函数关系式为： y )60)(60(13. 020 )600(20 xx x （2）当 x50 时，由于x60，所以 y20（元） 当x100 时，由于 x60，所以 y )60100(13.020 25.2（元） （3） y27.820 x60 8.27)60(13.020x 解得： x120（次） 例 3 荆门火车货运站现有甲种货物 1530 吨， 乙种货物1150 吨， 安排用一列货车将这批货物运往广州， 这列货车可挂A、B 两种不同规格的货厢50 节，已知用一节A 型货厢的运费是0.5 万元，用一

4、节 B 型 货厢的运费是0.8 万元。 第 2 页 共 11 页 （1）设运输这批货物的总运费为y（万元），用 A 型货厢的节数为 x（节），试写出 y与 x之间的 函数关系式； （2）已知甲种货物35 吨和乙种货物15 吨，可装满一节A 型货厢，甲种货物25 吨和乙种货物35 吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A、 B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 解： （1）由题意得： )50(8 .05.0xxy 403 .0x y与 x之间的函数关系式为： y 403 .0x （2）由题意得： 1

5、1 5 0)50(3515 1530)50(2035 xx xx 解得： 28x 30 x是正整数 x28 或 29 或 30 有三种运输方案：用 A 型货厢 28 节， B 型货厢 22 节； 用 A 型货厢 29 节， B 型货 厢 21 节； 用 A 型货厢 30 节， B 型货厢 20 节。 （3）在函数y 403 .0x 中 y随x的增大而减小 当x30 时，总运费 y最小，此时y 40303.0 31（万元） 方案 的总运费最少，最少运费是31 万元。 例4 某工厂现有甲种原料 360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品， 共 50 件。已知生产一件A 种

6、产品，需用甲种原料9 千克、乙种原料3 千克，可获利润700 元；生产一 件 B 种产品，需用甲种原料4 千克、乙种原料10 千克，可获利润1200 元。 （1）按要求安排A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A、 B 两种产品获总利润为y（元），生产 A 种产品 x件，试写出 y与 x之间的函数 关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 解； （1）设需生产A 种产品 x件，那么需生产 B 种产品 )50(x 件，由题意得： 290)50(103 360)50(49 xx xx 解得： 30x 32 x是正整数 x30 或

7、 31 或 32 有三种生产方案：生产 A 种产品 30件，生产B 种产品 20件； 生产A种产品31件， 生产 B 种产品 19 件； 生产 A 种产品 32 件，生产B 种产品 18 件。 第 3 页 共 11 页 （2）由题意得； )50(1200700xxy 60000500x y随x的增大而减小 当x30 时， y有最大值，最大值为： 6000030500 45000（元） 答：y与x之间的函数关系式为： y 60000500x ， （1）中方案 获利最大，最大利润为 45000 元。 例 5 某地上年度电价为0.8 元，年用电量为1 亿度。本年计划将电价调至0.550.75 元之间

8、，经测算， 若电价调至 x元， 则本年度新增用电量 y（亿度） 与 )4.0(x （元） 成反比例， 又当 x 0.65 时， y 0.8。 （1）求y与 x之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为0.3 元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？收益用电量 （实际电价成本价） 解： （1）y与 )4 .0(x 反正比例 y 4.0x k 把x0.65，y0.8 代入上式得： k 0.2 y与x之间的函数关系式为： 4.0 2.0 x y （2）由题意得： %20113.08.03.0 4 .0 2 .0 1x x 化简得： 03 .01 .1 2 xx 即 03

9、1110 2 xx 0)35)(12(xx 1 x 0.5， 2 x 0.6 0.55x0. 75 x0.5 不符题意，应舍去。 故x0.6 答：电价调至0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。 例 6 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7 立方米时， 每 立方米收费1.0 元并加收0.2 元的城市污水处理费， 超过 7 立方米的部分每立方米收费1.5 元并加收0.4 元的城市污水处理费，设某户每月用水量为 x（立方米），应交水费为 y（元） 第 4 页 共 11 页 （1）分别写出用水未超过7 立方米和多于7 立方米时，y与 x之间的函数关

10、系式； （2）如果某单位共有用户50 户，某月共交水费514.6 元，且每户的用水量均未超过10 立方米， 求这个月用水未超过7 立方米的用户最多可能有多少户？ 解： （1）当 0x7时， xy)2.00.1( x2.1 当 x7 时，72.1)7)(4.05.1(xy 9.49 .1x （2）当x7 时，需付水费： 7 1.28.4（元） 当 x10 时，需付水费： 7 1.21.9（107） 14.1（元） 设这个月用水未超过7 立方米的用户最多可能有 a户，则： 6.514)50(1 .144.8aa 化简得： 4.1907 .5a 解得： 57 23 33a 答：该单位这个月用水未超过

11、7 立方米的用户最多可能有33 户。 例 7 辽南素以 “ 苹果之乡 ” 著称， 某乡组织20 辆汽车装运三种苹果42 吨到外地销售。 按规定每辆车只 装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2 车。 （1）设用 x辆车装运 A 种苹果，用y辆车装运B 种苹果，根据下表提供的信息求y与 x之间的 函数关系式，并求 x的取值范围； （2）设此次外销活动的利润为W（百元），求 W 与 x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的 车辆分配方案。 苹果品种A B C 每辆汽车运载量（吨）2.2 2.1 2 每吨苹果获利（百元）6 8 5 解： （1）由题意得： 42)20(21.22 .2yxyx 化简

12、得： 202xy 当y0 时， x10 1 x10 答：y与 x之间的函数关系式为：202xy ；自变量 x的取值范围是： 1 x10 的整数。 （2）由题意得： W )20(5281.262 .2yxyx 2008.62.3yx 200)202(8.62.3xx 第 5 页 共 11 页 3364.10x W 与 x之间的函数关系式为： y 3364.10x W 随 x的增大而减小 当x2时， W有最大值，最大值为： 33624 .10 最大值 W 315.2（百元） 当x2 时，202xy 16， yx20 2 答：为了获得最大利润，应安排2 辆车运输A 种苹果， 16 辆车运输B 种苹果

13、， 2 辆车 运输 C 种苹果。 同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？ 小结： 一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青 睐 .本文采撷几例中考试题加以评析，供参考. 一、图象型 例 1 (2003 年广西 )在抗击 “ 非典 ” 中，某医药研 究所开发了一种预防“ 非典 ” 的药品 .经试验这种药 品的效果得知： 当成人按规定剂量服用该药后1 小 时时，血液中含药量最高，达到每毫升5 微克，接 着逐步衰减， 至8小时时血液中含药量为每毫升 1.5 微克 .每毫升血液中含药量y(微克 )随时间 x(小时 ) 确定函

14、数解析式，求函数值 确定自变量取值范围 实际问题数学问题方案设计：利用不等式或不等式组及题意 方案决策： 最优方案：利用一次函数的性质及自变量 取值范围确定最优方案 解决问题 第 6 页 共 11 页 的变化如图所示 .在成人按规定剂量服药后： (1)分别求出x1 ，x1时 y 与 x 之间的函数关系式； (2)如果每毫升血液中含药量为2 微克或 2 微克以上， 对预防 “ 非典 ” 是有效的， 那么这个有效时间 为多少小时？ 解析本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意， 用我们学过的函数知识是不难解答的. 题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两个一

15、次函数图 象的组合 . (1)当x1时，设y=k 1x.将(1，5)代入，得k1=5. y=5x. 当 x1 时，设 y=k 2x+b.以 (1，5)，(8，1.5)代入，得， (2)以 y=2 代入 y=5x，得； 以 y=2 代入，得 x2=7. . 故这个有效时间为小时 . 注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用. 二、预测型 第 7 页 共 11 页 例2 (2002年辽宁省 )随着我国人口增长速度的减慢， 小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据 近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题： (1)求入学儿童人数y(人)与年份 x(年 )的函

16、数关系式； (2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000 人？ 年份 (x) 2000 2001 2002 入学儿童人数(y) 2520 2330 2140 解析建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿 童人数的变化趋势，这就要讨论 .若设(k0)，在三点 (2000，2520)，(2001，2330)，(2002，2140) 中任选一点确定k 值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变 化趋势，从而选用一次函数. (1)设 y=kx+b (k 0) ，将 (2000，2520)、(2001， 2

17、330)代入，得 故 y=-190x+382520. 又因为 y=-190x+382520 过点 (2002，2140)，所以 y=-190x+382520 能较好地描述这一变化趋势. 所求函数关系式为y=-190x+382520. (2)设 x 年时，入学儿童人数为1000 人，由题意得 -190x+382520=1000. 解得 x=2008.所以， 从 2008 年起入学儿童人数不超过1000 人. 注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述这一 变化趋势 . 第 8 页 共 11 页 三、决策型 例 3 (2003 年甘肃省 )某工厂生产某种产品，

18、每件产品的出厂价为1 万元，其原材料成本价(含设 备损耗等 )为 0.55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1 吨的废渣产生.为达到国家环保要 求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择. 方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1 吨废渣所用的原料费为0.05 万元，并且每月设 备维护及损耗费为20 万元 . 方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理 1 吨废渣需付0.1 万元的处理费 . (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与 x 之间的函数关系式(利润 =总收入 -总支出 )； (2)如果你作为工厂负责人

19、，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算. 解析先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解. (1)y1=x-0.55x-0.05x-20 =0.4x-20； y2=x-0.55x-0.1x=0.35x. (2)若 y1 y 2，则 0.4x-200.35x，解得 x400； 若 y 1=y2，则 0.4x-20=0.35x ，解得 x=400； 若 y 1 y 2，则 0.4x-200.35x，解得 x400. 故当月生产量大于400 件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400 件时，两种方 案利润一样；当月生产量小于400 件时，选择方

20、案二所获利润较大. 第 9 页 共 11 页 注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作出的决策更 合理 . 四、最值型 例 4 (2003 年江苏省扬州市)杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“ 润扬 ” 报刊零售点，对经营的某 种晚报，杨嫂提供了如下信息. 买进每份0.2 元，卖出每份0.3 元； 一个月 (以 30 天计 )内，有 20 天每天可以卖出200 份，其余 10 天每天只能卖出120 份. 一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1 元退回给报 社 . (1)填表： 一个月内每天买进该种晚报的份数100 150 当月

21、利润 (单位：元 ) (2)设每天从报社买进这种晚报x 份(120x200)时，月利润为 y 元，试求y 与 x 之间的函数关系 式，并求月利润的最大值. 解析 (1)由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元；当一个月 内每天买进150 份时，有20 天可以全部卖完，其余10 天每天可卖出120 份，剩下30 份退回报社， 计算得当月利润为390 元. (2)由题意知，当120x200 时，全部卖出的20 天可获利润： 20(0.3-0.2)x=2x( 元)； 第 10 页 共 11 页 其余 10天每天卖出120份，剩下(x-120)份退回报社，10天可获利润：

22、10(0.3-0.2)120-0.1(x-120) =-x+240( 元). 月利润为 y=2x-x+240 =x+240(120x200). 由一次函数的性质知，当x=200 时， y 有最大值，为y=200+240=440( 元). 注：对于一次函数y=kx+b ，当自变量 x 在某个范围内取值时，函数值 y 可取最大 (或最小 )值，这 种最值问题往往用来解决“ 成本最省 ” 、“ 利润最大 ” 等方面的问题 . 五、学科结合型 例 5 声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速 )是气温 x()的一次函数 .下表列出了一组不同气 温时的音速： 气温 x() 0 5 10 15 20 音速 y(m/S) 331 334 337 340 343 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)气温 x=22( )时，某人看到烟花燃放 5s 后才听到声响，那么 此人与燃放的烟花所在地约相距多远？ 解析(1)设 y=kx+b ，任取表中的两对数，用待定系数法即可求得 (2)当 x=22 时， 第 11 页 共 11 页 334.2 5=1671(m). 故此人与燃放的烟花所在地约相距1671m. 注：本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.