八年级数学上册三角形作图题专项训练.pdf

《八年级数学上册三角形作图题专项训练.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册三角形作图题专项训练.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、三角形作图题专项训练 1.已知一个三角形的两条边长a，b 与一个内角为40 （1）请你用 “ 尺规作图 ” 画出一个满足题设条件的三角形 （2） 你是否还能画出既满足题设条件，又与（1） 中所画的三角形不全等的三角形？ 若能，请用 “ 尺规作图 ” 画出，若不能，请说明理由 2.作图题： （1）分别作出点P，使得 PA=PB=PC； （2）观察各图中的点P 与ABC 的位置关系，并总结规律： 当 ABC 为锐角三角形时，点P在ABC 的_ ； 当 ABC 为直角三角形时，点P在ABC 的_ ； 当 ABC 为钝角三角形时，点 P 在 ABC 的_ ；反之也成立， 且在平面内到三 角形各顶点距离

2、相等的点只有一个 3.学之道在于悟希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题 （2） （1）如图， B=C，BD=CE，AB=DC 求证： ADE 为等腰三角形 若 B=60 ，求证： ADE 为等边三角形 （2）如图，射线 AM与BN，MAAB，NBAB，点P是AB上一点，在射线 AM 与 BN 上分别作点C、点 D 满足： CPD 为等腰直角三角形（要求：利用直 尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹） 4.已知一个三角形的两边长分别是1cm 和 2cm，一个内角为 40 （1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； （2） 你是否还能画出既满足题设条件，又与（1） 中所画的三

3、角形不全等的三角形？ 若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由 （3） 如果将题设条件改为“ 三角形的两条边长分别是3cm 和 4cm， 一个内角为40 ， ” 那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？分别画出草图，并在图中相 应位置标明数据（画图请保留作图痕迹，并把符合条件的图形用黑色笔画出来） 5.课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36 的等腰三角形纸片剪两刀，分成 3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法 我们有多少种剪法，图1 是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分 成 3 个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的

4、三分线 请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45 的等腰三角形的三分线，并标注每 个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3 对全等三角形，则视为 同一种） 6.【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即 “ SAS ”“ASA”“AAS”“SSS ” ）和直角三角形全等的判 定方法（即 “ HL“ ）后，我们继续对“ 两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相 等”的情形进行研究 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC 和DEF 中，AC=DF ，BC=EF，B= E，然后， 对 B 进行分类， 可分为 “ B 是直角、 钝角、锐角 ” 三种情况进行探究 【深入探

5、究】 第一种情况：当B 是直角时， ABC DEF （1）如图， 在 ABC 和 DEF 中，AC=DF，BC=EF，B=E=90 ，根据 _ ， 可以知道Rt ABCRt DEF 第二种情况：当B 是钝角时， ABC DEF （2）如图，在 ABC 和 DEF 中， AC=DF ，BC=EF， B=E， B， E 都是 钝角，求证： ABC DEF 第三种情况：当B 是锐角时， ABC 和 DEF 不一定全等 （3）在 ABC 和 DEF 中， AC=DF，BC=EF， B=E，且 B、 E 都是锐角， 请你用尺规在图中作出DEF，使 DEF 和 ABC 不全等（不写作法，保留作 图痕迹）

6、7.我们经常遇到需要分类的问题，画“ 树形图 ” 可以帮我们不重复、不遗漏地分类 【例题】在等腰三角形ABC 中，若 A=80 ，求 B 的度数 分析： A、 B 都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的 3类，这样的 图就是树形图，据此可求出B= 【应用】 （1）已知等腰三角形ABC 周长为 19，AB=7，仿照例题画出树形图，并直接写出 BC 的长度； （2）将一个边长为5、12、13 的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰 三角形，图2就是其中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出 所拼成等腰三角形的腰的长度（选用图 3 中的备用图画图，每种情形用一个图形 单独表

7、示，并用、 编号，若备用图不够，请自己画图补充） 8.如图，已知网格上最小的正方形的边长为 1 （1）分别写出点A、B、C 三点的坐标； （2）作 ABC 关于 y轴的对称图形 ABC （不写作法）； （3）写出 ABC 关于 x 轴对称的三角形的各顶点坐标 9.在等边 ABC 外侧作直线AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为D，连接 BD，CD，其 中 CD 交直线 AP于点 E （1）依题意补全图1； （2）若 PAB=30 ，求 ACE 的度数； （3）如图 2，若 60 PAB120 ，判断由线段AB，CE，ED 可以构成一个含有 多少度角的三角形，并证明 答案和解析 【答案】 1.

8、 解：（1）如图1，ABC即为所求作三角形； （ 2）如图 2， DEF 中， D=40 ，DE=a，EF=b，当 ABC 与 DEF 不全等 2. 内部；斜边的中点；外部 3. （1）证明：在 ABD 和 DCE 中， ， ABD DCE （SAS）， DA=DE， 即 ADE 为等腰三角 形； 解： ABD DCE， BAD=CAE， B=60 ， BAD+ADB=120 ， CAE+ ADB=120 ， ADE=60 ，又ADE 为等腰 三角形， ADE 为等边三角形； （ 2）有三种情况，PC=PD、CP=CD、DC=DP， 如图所示： 4. 解：（ 1）如图（ 1）所示： （ 2）如

9、图（ 2）所示： （ 3）如图所示： 5. 解：（ 1）如图所示： （ 2）如图所示： （ 3）如图所示： 6. HL 7. 解：（ 1）树形图如下： 当 AB为底边， BC 为腰时， BC= （19-7）=6； 当 AB为腰， BC 为腰时， BC=AB=7； 当 AB为腰， BC 为底边时， BC=19-2 7=5； 综上所述， BC 的长度是5、6 或 7 （ 2）如图所示，共有6种情况 8. 解：（1）由图可知， A（-3，3），B（-5，1）， C（-1，0）； （ 2）如图所示： （ 3） ABC 关于 x 轴对称的三角形的各顶点坐标 （ -3， -3）、 B（-5，-1）、 C（

10、-1，0） 9. 解：（ 1）所作图形如图1 所示： （ 2）连接 AD， 如图 1点 D 与点 B 关于直线AP 对称， AD=AB，DAP=BAP=30 ， AB=AC，BAC=60 ， AD=AC，DAC=120 ， 2ACE+60 +60 =180 ， ACE=30 ； （ 3）线段 AB，CE，ED 可以构成一个含有60 角 的三角形 证明：连接AD，EB，如图 2 点 D 与点 B 关于直线 AP 对称， AD=AB，DE=BE， EDA=EBA， AB=AC，AB=AD， AD=AC， ADE=ACE， ABE=ACE 设 AC，BE 交于点 F， 又 AFB=CFE， BAC=

11、 BEC=60 ， 线段 AB，CE，ED 可以构成一个含有60 角的三角形 【解析】 1. 解：三角形的周长是它的中点三角形的周长的2 倍是真命题； 三角形的三条中线不能平分它的中点三角形的三边是假命题； 三角形的三条角平分线平分它的中点三角形的三个内角，是真命题； 故选： B 根据中点三角形的性质判断即可 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论 两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“ 如 果 那么 ” 形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 2. （1）设已知角为A，在 A 的一条边上截取AB=b，在

12、另一条边上截取AC=a，连 接 BC，则 ABC 就是要作的三角形； （ 2）先作一个等于已知40 的 D，然后在 D 的一条边上截取DE=a，再以 E 为圆心， b为半径画弧交D的另一边于点F，则 DEF 就是要作的三角形 本题考查了作图-复杂作图，掌握利用 “ 边角边 ” 画三角形的方法与“ 角边边 ” 画三角形是解 题的关键，需要注意，根据画法的不同，因为边角的对应关系发生改变，而导致最后两 个三角形不全等，所以在平时的学习中对定理的记忆一定要准确 3. 解：（ 1）如图所示： 分别作出三角形任意两边垂直平分 线， 根据垂直平分线的性质，可得两直线 的交点，即是P 点 （ 2）结合图象可

13、知： 故填：内部；斜边的中点；外部 利用三角形外心的作法，确定 P 点的位置， 根据三角形的形状不同，圆形与三角形有三 种位置关系 此题主要考查了三角形外心的作法，以及外心与不同三角形的位置关系 4. （1）先根据 B=C，BD=CE，AB=DC，判定 ABD DCE，得出 AB=DC，进而 得到 ADE 为等腰三角形； 根据 ABD DCE，得出 BAD=CDE，再根据 ADC=B+BAD， ADC= ADE +EDC，得到 ADE =B=60 ，最后判定等腰ADE 为等边三角形； （ 2）分三种情况讨论：CPD 为直角顶点；PCD 是直角顶点；PDC 是直角顶点， 分别进行画图即可第一种情

14、况：使得AP=BD，BP=AC；第二种情况：使得AC=AB， CE=AP，BD=AE；第三种情况：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判 定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法解题时注意分类 讨论思想的运用 5. （1）利用已知条件画出符合要求的图形即可； （ 2）利用已知条件画出符合要求的图形即可； （ 3）利用已知条件画出符合要求的图形即可 此题主要考查了应用设计与作图，利用三角形的形状不确定得出是解题关键 6. （1）先以底边为腰作顶角为45 的等腰三角形， 然后再作腰的垂线得到含顶角为9

15、0 的等腰三角形和顶角为135 的等腰三角形； （ 2）先过腰上的高得到顶角为90 的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为 135 的等腰三角形和顶角为45 的等腰三角形 本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求， 结合对应几何图形的性质作出草图，然后利用基本作图的方法作图也考查了等腰直角 三角形的性质 7. （1）解： HL； （ 2）证明： 如图，过点 C 作 CGAB 交 AB 的延长线于G， 过点 F 作 FHDE 交 DE 的延长线于 H， B=E，且 B、 E 都是钝角， 180 -B=180 -E， 即 CBG=FEH ， 在 CBG和FE

16、H中， ， CBG FEH （AAS）， CG=FH， 在 Rt ACG 和 Rt DFH 中， ， Rt ACGRt DFH （HL）， A=D， 在 ABC 和DEF 中， ， ABC DEF （AAS）； （ 3）解：如图， DEF 和ABC 不全等； （ 1）根据直角三角形全等的方法“ HL” 证明； （ 2）过点 C 作 CGAB 交 AB 的延长线于G，过点 F 作 FHDE 交 DE 的延长线于 H， 根据等角的补角相等求出CBG=FEH，再利用 “ 角角边 ” 证明 CBG 和 FEH 全等， 根据全等三角形对应边相等可得CG=FH ，再利用 “ HL” 证明 RtACG 和

17、Rt DFH 全等， 根据全等三角形对应角相等可得A=D，然后利用 “ 角角边 ” 证明 ABC 和DEF 全等； （ 3）以点 C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点 D，E 与 B 重合， F 与 C 重 合，得到 DEF 与ABC 不全等； （ 4）根据三种情况结论，B 不小于 A 即可 本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方 法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细 8. （1）分三种情况：当AB 为底边， BC 为腰时， BC= （19-7） =6；当 AB 为腰， BC 为腰时， BC=AB=7；当 AB 为腰， BC 为底边时，

18、 BC=19-2 7=5； （ 2）将一个边长为5、12、13 的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形， 据此可得图形与等腰三角形的腰的长度 本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角； 求等腰三角形的角和边长的计算要注意分 类讨论解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的 性质和基本作图的方法作图 9. （1）根据各点在坐标系中的位置即可得出结论； （ 2）作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可； （ 3）根据关于x 轴对称的点的坐标特点即可得出结论 本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关 键 10. （1）根据题意作出图形； （ 2）根据题意可得DAP=BAP=30 ，然后根据AB=AC， BAC=60 ，得出 AD=AC， DAC=120 ，最后根据三角形的内角和公式求解； （ 3）由线段 AB，CE，ED 可以构成一个含有60 度角的三角形，连接AD，EB，根据对 称可得 EDA=EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出BAC=BEC=60 本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是根据轴对称 的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质