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1、精心整理 七年级数学动点问题专题训练 1、 （09包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点 （1）如果点 P 在线段 BC上以 3 厘米/秒的速度由 B点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A点运动 精心整理 若点 Q 的运动速度与点 P的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理 A Q C D B P 精心整理 由； 若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点C出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发， 都逆时针
2、沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？ 解： （1）1t秒， 3 13BPCQ厘米， 10AB厘米，点D为AB的中点， 5BD厘米 又8PCBCBPBC，厘米， 835PC厘米， PC BD 又 ABAC ， BC ， BPDCQP （4分） PQ vv，BPCQ， 又BPDCQP，BC ，则45BPPCCQBD， 点P，点Q运动的时间 4 33 BP t秒， 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米/秒 （7分） （2）设经过 x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得 15 32 10 4 xx， 精心整理 解得 80 3 x秒 点P共运动了 80
3、 380 3 厘米 8022824， 点P、点Q在AB边上相遇， 经过 80 3 秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 （12分） 2、 （09齐齐哈尔）直线 3 6 4 yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从 O点出发，同 时到达A点，运动停止点Q沿线段 OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线 OB A运动 （1）直接写出 AB、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为 t 秒，OPQ的面积为 S，求出 S与t 之间的函数关系式； 精心整理 （3）当 48 5 S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点 x A O Q P B y 精心整理
4、M的坐标 解（1）A（8，0）B（0，6） 1分 （2）86OAOB， 点Q由 O到A的时间是 8 8 1 （秒） 点P的速度是 610 2 8 （单位 /秒）1分 当P在线段 OB 上运动（或 03t ）时，2OQtOPt， 2 St 1分 当P在线段BA上运动（或 38t ）时，6102162OQtAPtt，, 如图，作 PDOA于点D，由 PDAP BOAB ，得 486 5 t PD， 1分 2 1324 255 SOQPDtt 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分） （3） 8 24 55 P， 1分 123 8 2412 241224 555555 IMM ， 3分 3（0
5、9 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8 分别与 x轴，y 轴相交于 A，B 两点， 点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心， 3 为半径作 P. （1）连结 PA，若 PA=PB，试判断 P与 x轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k为何值时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 解： （1）P 与 x 轴相切 . 直线 y=2x8与 x 轴交于 A（4，0） ， 与 y轴交于 B（0，8） ， OA=4，OB=8. 精心整理 由题意， OP=k， PB=PA=8+k. 在 RtAOP中，k 2+42=(8+k)2， k=3，
6、OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切 . （2）设 P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD当圆心 P 在线段 OB上时,作 PECD 于 E. PCD 为正三角形， DE= 1 2 CD= 3 2 ，PD=3， PE= 3 3 2 . AOB=PEB=90 ，ABO=PBE， AOBPEB， 3 3 4 2 ,= 4 5 AOPE ABPBPB 即， 3 15 , 2 PB 3 15 8 2 POBOPB， 3 15 (0,8) 2 P， 3 15 8 2 k. 当圆心 P在线段 OB延长线上时 ,同理可得 P(0, 3 15 2 8)， k= 3 15 2 8， 当 k
7、= 3 15 2 8 或 k= 3 15 2 8 时， 以P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正 三角形 . 4（09哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点 A 的坐 标为（ 3，4） ， 精心整理 点 C在 x 轴的正半轴上，直线AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC 的解析式； （2）连接 BM，如图 2，动点 P从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点C 匀 速运动，设 PMB 的面积为 S（S0） ，点 P的运动时间为 t 秒，求 S与 t 之间的函数关系式（要 求写出
8、自变量 t 的取值范围）； （3）在（ 2）的条件下，当 t 为何值时， MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线OP与直线 AC 所夹锐角的正切值 解： 精心整理 5（09河北）在 RtABC 中，C=90 ，AC=3，AB=5点 P从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位 A C B P Q E D 图 16 精心整理 长的速度向点 A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿AC返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每 秒 1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D， 交折线 QB-BC-CP 于点 E 点 P、 Q 同时出发，当
9、点 Q到达点 B时停止运动，点 P也随之停止设 点 P、Q运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t=2时，AP=，点 Q 到 AC 的距离是； （2）在点 P从 C向 A 运动的过程中，求 APQ的面积 S与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接 写出 t 的值 解： （1）1， 8 5 ； （2）作 QFAC于点 F，如图 3，AQ=CP=t，3APt 由AQFABC， 22 534BC， 得 45 QFt 4 5 QFt
10、14 (3) 25 Stt， 即 226 55 Stt （3）能 当 DEQB时，如图 4 DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP=90 由APQ ABC，得 AQAP ACAB ， 即 3 35 tt 解得 9 8 t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形 此时 APQ=90 A C B P Q E D 图 4 A C B P Q E D 图 5 A C(E) B P Q D 图 6 G A C(E) B P Q D 图 7 G 精心整理 由AQP ABC，得 AQAP ABAC ， 即 3 53 tt 解得 15 8 t （4） 5 2
11、 t或 45 14 t 点 P由 C向 A 运动， DE 经过点 C 连接 QC，作 QGBC于点 G，如图 6 PCt， 222 QCQGCG 22 34 (5)4(5) 55 tt 由 22 PCQC，得 22234 (5)4(5) 55 ttt，解得 5 2 t 点 P由 A向 C 运动， DE 经过点 C，如图 7 22234 (6)(5)4(5) 55 ttt， 45 14 t 】 精心整理 6（09河南） ）如图，在Rt ABC 中， 9060ACBB ，2BC 点O是AC的中点，过点O 精心整理 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点 C
12、作 CEAB交 O E C B D A l O C B A （备用图） 精心整理 直线l于点E，设直线l的旋转角为 （1）当度时，四边形 EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； 当度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时AD的长为； （2）当90 时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由 解（1）30，1；60，1.5； 4 分 （2）当 =90 0 时，四边形 EDBC 是菱形 . =ACB=90 0，BC / ED . CE / AB , 四边形 EDBC 是平行四边形 . 6 分 在 RtABC中， ACB =90 0，B=600, BC =2, A=30 0. AB =4,AC
13、=23. AO = 1 2 AC=3. 8 分 在 RtAOD 中， A=30 0，AD =2. BD =2. BD =BC . 又四边形 EDBC 是平行四边形， 四边形 EDBC 是菱形 10 分 精心整理 7（09 济南）如图，在梯形 ABCD中，354 245ADBCADDCABB， 动点M从 A D C B M N 精心整理 B点出发沿线段 BC以每秒 2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒 1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t 秒 （1）求 BC 的长 （2）当 MNAB时，求 t的值 （3）试探究： t为何值时，MNC为等腰三角形 解：
14、（1）如图，过A、D分别作 AKBC 于K， DHBC 于H，则四边形ADHK是矩形 3KHAD 1分 在 RtABK 中， 2 sin 45424 2 AKAB 2 cos454 24 2 BKAB 2分 在 RtCDH中，由勾股定理得， 22 543HC 43310BCBKKHHC 3分 （2）如图，过D作 DGAB交 BC 于 G点，则四边形 ADGB是平行四边形 MNAB MNDG 3BGAD 1037GC 4分 由题意知，当M、 N 运动到 t秒时，102CNtCMt， DGMN NMCDGC 又CC MNCGDC CNCM CDCG 5分 （图） A D C B K H （图） A
15、 D C B G M N 精心整理 即 102 57 tt 解得， 50 17 t 6分 （3）分三种情况讨论： 当 NCMC 时，如图，即102tt 10 3 t 7分 当 MNNC 时，如图，过 N 作 NEMC 于E 解法一： 由等腰三角形三线合一性质得 11 1025 22 ECMCtt 在 RtCEN中， 5 cos ECt c NCt 又在 RtDHC中， 3 cos 5 CH c CD 53 5 t t 解得 25 8 t 8分 解法二： 90CCDHCNEC ， NECDHC NCEC DCHC 即 5 53 tt 25 8 t 8分 当 MNMC 时，如图，过M作 MFCN
16、于F点. 11 22 FCNCt A D C B M N （图） （图） A D C B M N H E 精心整理 解法一： （方法同中解法一） 1 3 2 cos 1025 t FC C MCt 解得 60 17 t 解法二： 90CCMFCDHC ， MFCDHC FCMC HCDC 即 1 102 2 35 t t 60 17 t 综上所述，当 10 3 t、 25 8 t或 60 17 t时，MNC为等腰三角形 9分 8（09 江西）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， ADBC，E是AB的中点， 过点E作 EFBC 交 CD 于点F46ABBC，60B. （1）求点E到 BC 的距离
17、； （2） 点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交 BC 于点M， 过M作 MNAB交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EP x. 当点 N 在线段AD上时（如图 2） ，P M N的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长； 若改变，请说明理由； 当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所 有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由. （图） A D C B H N M F A D A D A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25题）
18、 精心整理 解（1）如图 1，过点E作EG BC于点G 1分 精心整理 E为AB的中点， 图 1 A D E B F C G 精心整理 1 2 2 BEAB 在 RtEBG中，60B， 30BEG 2分 22 1 1213 2 BGBEEG， 即点E到 BC 的距离为3 3分 （2）当点 N 在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变 PMEFEGEF， PMEG EFBC， EPGM ，3PMEG 同理4MNAB 4分 如图 2，过点P作 PHMN 于H， MNAB， 6030NMCBPMH， 13 22 PHPM 3 cos30 2 MHPM 则 35 4 22 NHMNMH 在 RtPN
19、H 中， 2 2 2253 7 22 PNNHPH PMN的周长 =374PMPNMN 6分 当点 N 在线段 DC 上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形 当 PMPN 时，如图 3，作 PRMN 于R，则 MRNR 类似， 3 2 MR 23MNMR 7分 MNC是等边三角形，3MCMN 图 2 A D E B F C P N M G H 精心整理 此时， 6 132xEPGMBCBGMC 8分 精心整理 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F （P） C M N G G R G 精心整理 当 MP
20、MN 时，如图 4，这时3MCMNMP 此时，61353xEPGM 当 NPNM 时，如图 5，30NPMPMN 则120PMN， 又60MNC， 180PNMMNC 因此点P与F重合，PMC为直角三角形 tan301MCPM 此时，61 14xEPGM 综上所述，当2x或 4 或53时， PMN为等腰三角形 10分 9（09 兰州）如图，正方形ABCD 中，点 A、B的坐标分别为（ 0，10） ， （8，4） ， 点 C在第一象限动点P在正方形 ABCD 的边上，从点 A出发沿 ABCD匀速运动， 同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当P点到达 D点时，两点同时停止运动， 设运动的
21、时间为 t 秒 (1) 当 P点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象 如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2) 求正方形边长及顶点 C的坐标； (3) 在（1）中当 t 为何值时，OPQ的面积最大，并求此时 P点的坐标； (4) 如果点 P、Q保持原速度不变，当点P沿 ABCD匀速运动时， OP与 PQ能否相等，若 能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由 解： （1）Q（1，0） 1分 点 P运动速度每秒钟 1个单位长度 2分 （2）过点 B作 BFy轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE 1046AF 在 R
22、tAFB 中， 22 8610AB3 分 A B C D FH M P y 精心整理 过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H 90 ,ABCABBCABFBCH 6,8BHAFCHBF 8614,8412OGFHCG 所求 C点的坐标为（ 14，12） 4 分 （3）过点 P作 PMy轴于点 M，PNx轴于点 N， 则APMABF APAMMP ABAFBF 1068 tAMMP 34 55 AMtPMt， 34 10, 55 PNOMtONPMt 设OPQ 的面积为S（平方单位） 213473 (10)(1)5 251010 Stttt（0t10 ） 5分 说明:未注明自变量的取值范
23、围不扣分 3 10 a0当 47 47 10 3 6 2 () 10 t时， OPQ的面积最大 6分 此时 P的坐标为（ 94 15 ， 53 10 ） 7分 （4）当 5 3 t或 295 13 t时，OP与 PQ 相等 9分 10（09 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角DCG 的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 AMEECF，所以 AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提
24、出：如图2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外） 的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正 精心整理 确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点 E 是 BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明 理由 解： （1）正确 （1 分） 证明：在AB上取一点M，使 AMEC，连接ME（2 分） BMBE45BME，135AME CF 是外角平分线， 45DCF， 135E
25、CF AMEECF 90AEBBAE，90AEBCEF， BAECEF AMEBCF（ASA） （5分） AEEF （6分） （2）正确 （7分） 证明：在 BA的延长线上取一点N 使 ANCE ，连接 NE （8分） BNBE 45NPCE 四边形 ABCD是正方形， ADBE DAEBEA NAECEF ANEECF（ASA） （10分） AEEF （11分） A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 A D F C G E B M A D F C G E B N 精心整理 11（09 天津）已知一个直角三角形纸片 OAB，
26、其中9024AOBOAOB ， 如图，将该纸 片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点 C ，与边AB交于点D （）若折叠后使点B与点A重合，求点 C的坐标； （）若折叠后点B落在边 OA上的点为B，设 OBx ，OCy，试写出y关于x的函数解析式， 并确定y的取值范围； （）若折叠后点B落在边 OA上的点为 B，且使 B D OB，求此时点 C 的坐标 解（）如图，折叠后点B与点A重合， 则ACDBCD. 设点 C的坐标为00mm，. 则4BCOBOCm. 于是4ACBCm. 在 RtAOC 中，由勾股定理，得 222 ACOCOA， 即 2 22 42mm，解得 3 2
27、m. 点 C 的坐标为 3 0 2 ，. 4分 （）如图，折叠后点B落在 OA边上的点为 B, 则B CDBCD. 由题设OBxOCy， 则4B CBCOBOCy， 在 RtBOC中，由勾股定理，得 222 B COCOB. 2 22 4yyx， x y B O A x y B O A x y B O A 精心整理 即 2 1 2 8 yx 6分 由点B在边 OA上，有 02x， 解析式 2 1 2 8 yx02x为所求 . 当 02x 时，y随x的增大而减小， y的取值范围为 3 2 2 y. 7分 （）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且B D OB . 则OCBCB D . 又CBD
28、CB DOCBCBD，有 CBBA. RtRtCOBBOA. 有 OBOC OAOB ，得2OCOB . 9分 在 RtB OC中， 设 0 0OBxx，则 0 2OCx. 由（）的结论，得 2 00 1 22 8 xx， 解得 000 84 5084 5xxx，. 点 C 的坐标为0 8 516，. 10分 精心整理 12（09太原）问题解决 图（1） A B C D E F M N 精心整理 如图（ 1） ，将正方形纸片 ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合） ，压 平后得到折痕 MN 当 1 2 CE CD 时，求 AM BN 的值 类比归纳 在图（ 1）中，若 1
29、3 CE CD ，则 AM BN 的值等于；若 1 4 CE CD ，则 AM BN 的值等于；若 1CE CDn （n为 整数） ，则 AM BN 的值等于（用含n的式子表示） 联系拓广 如图（2） ，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点B落在 CD 边上一点E（不与点 CD，重合） ，压平后得到 折痕 MN， 设 11 1 ABCE m BCmCDn ，则 AM BN 的值等于（用含m n， 的式子表示） 解：方法一：如图（ 1-1） ，连接 BMEMBE， 由题设，得四边形ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称 MN 垂直平分 BE BMEMBNEN， 1分 四边形 ABCD是正
30、方形，902ADCABBCCDDA, 1 1 2 CE CEDE CD ，设 BNx， 则 NEx，2NCx 在 RtCNE 中， 222 NECNCE 2 22 21xx解得 5 4 x，即 5 4 BN 3分 在 RtABM 和在 RtDEM 中， 222 AMABBM ， 222 DMDEEM ， 2222 AMABDMDE 5分 设AMy，则2DMy， 2 222 221yy 解得 1 4 y，即 1 4 AM 6分 方法指导： 为了求得 AM BN 的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB=2 图（2） N A B C D E F M N 图 A B C D E F M 精心整理 1 5 AM BN 7分 方法二：同方法一， 5 4 BN 3分 如图（ 12） ，过点 N 做 NGCD， 交AD于点 G ，连接BE ADBC， 四边形 GDCN 是