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1、中考数学 21.3实际问题与一元二次方程(第 1 课时) 用一元二次方程解决传播问题 1列一元二次方程可以解决许多实际问题,解题的一般步骤是:审题 ,弄清已知量、 _未知量 _;设未知数 ,并用含有 _未知数 _的代数式表示其他数量关系;根据题目 中的 _等量关系 _,列一元二次方程;解方程,求出 _未知数 _的值; 检验解是否符 合问题的 _实际意义 _; 写出答案 2一个两位数 ,个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数为_10ba_,若交换 两个数位上的数字,则得到的新两位数为_10ab_ 知识点 1:倍数传播问题 1某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,若主
2、干、 支干和小分支的总数是91,设每个支干长出小分支的个数为x,则依题意可列方程为_1x x 291_ 2某生物实验室需培育一群有益菌现有60 个活体样本 ,经过两轮培植后,总和达 24000 个 ,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? (2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌? 解: (1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌 , 根据题意得60(1x) 2 24000,解得x119, x2 21(不合题意 ,舍去 ),则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 19 个有益菌(2)60(119) 360 2
3、03480000(个),则经过三轮培植后共有 480000 个有 益菌 知识点 2:握手问题 3(2014天津 )要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队都要比赛一场根据场地和时 间等条件 ,赛程计划安排7 天,每天安排4 场比赛 ,设比赛组织者应邀请x 个队参赛 ,则 x 满足的关系式为( B) A.1 2x(x 1)28 B.1 2x(x 1)28 Cx(x 1)28 D x(x1)28 4在某次聚会上 ,每两人都握了一次手,所有人共握手210 次,设有 x 人参加这次聚 会, 则依题意可列出方程为_x(x1) 2 210_ 5在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,会
4、议结束 后统计共签订了78 份合同 ,问有多少家公司出席了这次交易会? 解:设有 x 家公司出席了这次交易会,根据题意得 1 2x(x 1)78,解得 x 113,x2 12(不合题意 ,舍去 ),故有 13 家公司出席了这次交易会 知识点 3:数字问题 6两个连续偶数的和为14,积为 48,则这两个连续偶数是_6 和 8_ 7已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6,个位上的数与十位上的数的和是13, 求这个两位数 解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(13x),由题意得10(13x)x6 中考数学 x 2,整理得 x29x 1360,解得 x 18,x2 17(不合题意 ,舍去 )
5、,13x5,则这 个两位数是58 8生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠 了 132 件,如果全组有x 名同学 , 则根据题意列出的方程是( B) Ax(x1)132 Bx(x 1)132 Cx(x 1)1322 Dx(x 1) 1322 9某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了15 条航线 ,则这个航空公司共有飞机场( C) A4 个B5 个C6 个D 7个 10如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3 3个位置相邻的9 个 数(如 6,7,8,13,14,15,20,21,22)若圈出的9 个数中 ,最大数与最小
6、数的积为192, 则这 9 个数的和为 ( D) 日一二三四五六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A.32B126C135D144 11一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数,若设较长的直角边长为x,则根据 题意列出的方程为_x2(x1)2(x1)2_ 12某剧场共有1050 个座位 ,已知每行的座位数都相同,且每行的座位数比总行数少 17, 求每行的座位数 解:设每行的座位数为x 个 ,由题意得x(x17)1050,解得 x125,x2 42(不合 题 意
7、,舍去 ),则每行的座位数是25 个 13有人利用手机发微信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信,经过两轮微 信的发送 ,共有 56 人手机上获得同一条微信,则每轮一个人要向几个人发送微信? 解:设每轮一个人要向x 个人发微信 ,由题意得x(x 1)56,解得 x1 7,x2 8(不 合题意 ,舍去 ),则每轮一个人要向7 个人发送微信 14有一人患了流感,经过两轮传染后共有64 人患了流感 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染? 解: (1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 ,则 1xx(x 1)64,解得 x17, x2 9(
8、不合题意 ,舍去 ),即每轮传染中平均一个人传染 7 个人(2)647448(人) 15读诗词解题: (通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 中考数学 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜? 解:设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x3,由题意得10(x3)x x 2,解得 x 15,x26.当 x5 时,周瑜的年龄为 25 岁,非而立之年 ,不合题意 ,舍去; 当 x6 时, 周瑜的年龄为36 岁, 符合题意 ,则周瑜去世时的年龄为36 岁 16(1)n 边形 (n3)其中一个顶点的对角
9、线有_(n3)_条; (2)一个凸多边形共有14 条对角线 , 它是几边形? (3)是否存在有21 条对角线的凸多边形?如果存在,它是几边形?如果不存在,说明理 由 解:(2)设这个凸多边形是n 边形 , 由题意得 n( n3) 2 14, 解得 n17,n2 4(舍去 ), 则这个多边形是七边形(3)不存在理由:假设存在n 边形有21 条对角线 , 由题意得 n(n3) 2 21,解得 n 3 177 2 ,因为多边形的边数为正整数,但 3 177 2 不是正整数 ,故 不合题意 ,所以不存在有21 条对角线的凸多边形 价为 60 元 7小丽为校合唱队购买某种服装时, 商店经理给出了如下优惠
10、条件:如果一次性购买 不超过 10 件,单价为 80 元;如果一次性购买多于10 件, 那么每增加1 件,购买的所有服 装的单价降低2 元 ,但单价不得低于50 元按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了 1200 元请问她购买了多少件这种服装? 解:设购买了x 件这种服装 ,根据题意得 80 2(x10)x 1200,解得 x120,x230. 当 x 30 时,802(3010) 4050,不符合题意 ,舍去 , x20,则她购买了20 件这 种服装。 8某机械厂七月份生产零件50 万个 ,第三季度生产零件196 万个 设该厂八、九月份 平均每月的增长率为x, 那么 x 满足的方程是( C
11、) A50(1x 2)196 B5050(1x 2)196 C5050(1x)50(1x) 2196 D5050(1x)50(12x)196 9(2014泰安 )某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植 3 株时 ,平均 每株盈利4 元;若每盆增加1 株 ,平均每株盈利减少0.5 元,要使每盆的盈利达到15 元 , 每盆应植多少株?设每盆多植x 株 ,则可以列出的方程是( A) A(x3)(40.5x)15 B(x3)(40.5x)15 C(x 4)(30.5x)15 D(x 1)(40.5x)15 10(2014 南京 )某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每
12、年 中考数学 均为 4 万元 ,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1 年的可变成本为2.6 万元 ,设可变成本 平均每年增长的百分率为x. (1)用含 x 的代数式表示第3 年的可变成本为_2.6(1x) 2_万元; (2)如果该养殖户第3 年的养殖成本为7.146 万元 ,求可变成本平均每年增长的百分率 x. 解:根据题意得42.6(1x) 27.146, 解得 x 10.1,x2 2.1(不合题意 ,舍去 ), 可变成本平均每年增长的百分率是10% 11某批发商以每件50 元的价格购进800 件 T 恤,第一个月以单价80 元销售 ,售出了 200 件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出20
13、0 件,批发商为增加销售量,决定降价销 售, 根据市场调查,单价每降低1 元,可多售出10 件, 但最低单价应高于购进的价格;第 二个月结束后 ,批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售,清仓时单价为40 元,设第二个月 单价降低x 元 (1)填表 (不需化简 ): 时间第 1 个月第 2 个月清仓时 单价 (元) 80 80x 40 销售量 (件) 200 20010x 800200 (200 10x) (2)如果批发商希望通过销售这批T 恤获利 9000 元,那么第二个月的单价应是多少元? 解:依据题意,得 80 200(80x)(20010x)40800 200(20010x) 50800
14、9000,整理得 x 220x 1000,解得 x 1x210,当 x10 时,80x7050,则第二 个月的单价应是70 元 12某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售 量有如下关系:若当月仅售出1 部汽车 ,则该部汽车的进价为27 万元 ,每多售出1 部, 所 有售出的汽车的进价均降低0.1 万元 /部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售 量在 10 部以内 (含 10 部),每部返利0.5 万元;销售量在10 部以上 , 每部返利 1 万元 (1)若该公司当月售出3 部汽车 ,则每部汽车的进价为_26.8_万元; (2)如果汽车的售价为28
15、万元 /部,该公司计划当月盈利12 万元 ,那么需要售出多少部 汽车? (盈利销售利润返利) 解:设需要售出x 部汽车 ,由题意可知 ,每部汽车的销售利润为28270.1(x1) (0.1x0.9)(万元 )当 0x10,根据题意 ,得 x(0.1x 0.9) 0.5x12,整理得 x214x 1200,解得 x1 20(不合题意 ,舍去 ),x26;当 x10 时,根据题意 ,得 x(0.1x 0.9) x12,整理得 x 219x1200,解得 x 1 24(不合题意 ,舍去 ),x25,因为 510, 所以 x25 舍去 ,则需要售出6 部汽车 中考数学 第 3 课时用一元二次方程解决几
16、何图形问题 1面积 (体积 )问题属于几何图形的应用题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组 合、平移成规则图形,找出未知量与 _已知量 _的内在联系 ,根据 _面积 (体积 )_公式列 出一元二次方程 2一个正方形的边长增加了3 cm,面积相应增加了39 cm 2,则原来这个正方形的边长 为_5_cm. 知识点 1:一般图形的面积问题 1一个面积为35 m 2 的矩形苗圃 ,它的长比宽多2 m,则这个苗圃的长为( C) A5 mB6 mC7 mD 8 m 2(2014襄阳 )用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2 的长方形设长方形的长 为 x cm,则可列方程为( B) Ax
17、(20x)64 Bx(20x)64 Cx(40x)64 Dx(40x)64 3一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm 2,这两条直角边长分别为 _2_cm,7_cm_ 4(2014湘潭 )如图 , 某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙 ,围成一个矩 形花园 ABCD( 围墙 MN 最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料,试设计 一种砌法 ,使矩形花园的面积为300 m 2. 解:设 AB x m,则 BC (502x) m,根据题意得x(502x)300,解得 x110,x2 15,当 x10,BC502103025,故 x110 不合题意 ,舍去
18、 ,x15,则可以 围成 AB 为 15 m,BC 为 20 m 的矩形 知识点 2:边框与通道问题 5如图 ,在宽为 20 m,长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分 ),余 下的部分种上花草若种植花草的面积为540 m2,求道路的宽如果设道路的宽为 x m,根 据题意 ,所列方程正确的是( A) A(20x)(32x)540 B(20x)(32x)100 C(20x)(32x)540 D(20x)(32x)540 ,第 5 题图 ),第 6 题图 ) 6(2014兰州 )如图 , 在一块长为22 米,宽为 17 米的矩形地面上, 要修建同样宽的两 中考数学 条互相垂直的
19、道路(两条道路与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪, 使草坪面积为300 平方米 ,若设道路宽为x 米,则根据题意可列出方程_(22 x)(17x)300_ 7如图 ,某矩形相框长26 cm,宽 20 cm,其四周相框边 (图中阴影部分)的宽度相同 , 都是 x cm,若相框内部的面积为280 cm2,求相框边的宽度 解:由题意得 (262x)(202x)280,整理得 x223x 600, 解得 x13,x220(不 合题意 ,舍去 ),则相框边的宽度为3 cm 8从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条,剩下的面积是48 m 2,则原来这块 木板的面积是 ( B) A100 m 2
20、 B64 m 2 C121 m 2 D144 m 2 9如图 ,正方形 ABCD 的边长是1, E, F分别是 BC,CD 上的点 ,且 AEF 是等边 三角形 ,则 BE 的长为 ( A) A23 B23 C25 D. 52 ,第 9 题图 ),第 11 题图 ) 10在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边,已知地毯中央的矩形图案长6 米、宽 3 米,整个地毯的面积是40 平方米 ,则花边的宽为 _1_米 11如图 ,已知点 A 是一次函数yx4 图象上的一点,且矩形 ABOC 的面积等于3, 则点 A 的坐标为 _(3,1)或(1,3)_ 12如图是一个矩形花园,花园的长为100 米 ,宽
21、为 50 米,在它的四角各建一个同样 大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道,其余部分 (图中阴影部 分)种植的是不同花草已知种植花草部分的面积为3600 平方米 ,那么花园各角处的正方形 观光休息亭的边长为多少米? 解:设正方形观光休息亭的边长为x 米,依题意得 (1002x)(502x)3600,整理得 x 275x3500,解得 x 1 5,x270, x27050, 不合题意 ,舍去 ,x 5,即矩形 花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5 米 中考数学 13小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段,并把每一段各围 成一个正方形 (1)要使这两
22、个正方形的面积之和等于58 cm 2,小林该怎么剪? (2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗?请 说明理由 解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10x) cm,由题意 得 x 2(10 x)258,解得 x 13,x27,4312,47 28,所以小林应把绳子剪成 12 cm 和 28 cm 的两段(2)假设能围成由(1)得,x 2(10x)248, 化简得 x210x26 0, 因为 b24ac(10) 2 4126 40,所以此方程没有实数根 , 所以小峰的说法 是对的 14如图 ,在 ABC 中, B 90,A
23、B 5 cm,BC7 cm,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动 , 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动 (1)如果点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发 ,那么几秒后 ,PBQ 的面积等于4 cm 2? (2)如果点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发 ,那么几秒后 ,PQ 的长度等于5 cm? (3)在问题 (1)中,PBQ 的面积能否等于7 cm 2?说明理由 解: (1)设 x 秒后 ,PBQ 的面积等于4 cm2,根据题意得x(5x) 4,解得 x11,x2 4.当 x 4 时 , 2x87, 不合题意 , 舍去 , x1(2)设 x 秒后 , PQ 的长度等于5 cm, 根据题意得 (5x) 2(2x)225,解得 x 10(舍去 ),x22,x2 (3)设 x 秒后 ,PBQ 的 面积等于7 cm2,根据题意得x(5x)7,此方程无解 ,所以不能