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1、1 中心对称图形 -平行四边形 第一课时：平行四边形定义、性质、判定 知识考点： （一）四边形由一般到特殊的演变示意图 （二） 1、掌握平行四边形的概念和性质；2、四边形的不稳定性；3、掌握平行四边形有关 性质和四边形是平行四边形的条件；4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑 推理证明及计算。 精典例题： 知识点一：平行四边形的性质的应用 例 1：已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O， EF过点 O 与 AB、 CD分别相 交于点 E、F求证： OEOF，AE=CF ，BE=DF 思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查平行四边形的性质应用；2）解题思路 ：求证线段相等
2、 可利用三角形全等，即证出OE、OF所在三角形全等，即AOE COF 。 解答过程 ： 四边形ABCD是平行四边形，AB CD， 1 2 3 4 又 OAOC（平行四边形的对角线互相平分）， AOE COF （AAS ） OEOF，AE=CF （全等三角形对应边相等） 四边形ABCD是平行四边形，AB=CD （平行四边形对边相等） ABAE=CD CF即 BE=DF 解题后的思考： 利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等。其关键是根据所要证明 的全等三角形，选择需要的边、角相等条件。 例 2. 已知四边形ABCD是平行四边形，AB10cm，AD8cm，AC BC，求 BC、CD、AC、
3、OA 的长以及平行四边形ABCD的面积 思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查平行四边形的性质与勾股定理的应用；2）解题思路 ： 由平行四边形的对边相等，可得 BC、CD的长， 在 RtABC中，由勾股定理可得AC的长 再 由平行四边形的对角线互相平分可求得OA 的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四 2 边形的面积 =底高（高为此底上的高），可求得平行四边形ABCD的面积。 解答过程 ：在平行四边形ABCD 中， AB10cm，AD8cm，BC=AD=8cm、CD=AB=10cm。 ACBC，在 Rt ABC中，由勾股定理得： 22 1 6,3 2 ACABBCcm OAACcm。 平行四
4、边形ABCD的面积 =86=48cm 2 解题后的思考： 这道题考查平行四边形面积的计算解题时需要应用勾股定理，先求得平行 四边形一边上的高，然后才能应用该公式计算在以后的解题过程中，还会遇到需要应用勾 股定理来求高或底的问题。 （例 2）（例 3） 知识点二：平行四边形判定定理的应用 例 3. 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD 交于点 O，E、F是 AC上的两点，并 且 AE=CF 求证：四边形BFDE是平行四边形 思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查平行四边形的判定；2）解题思路 ：这道题是平行四边 形的性质与判定的综合运用。此题有多种解法， 其中利用对角线互相平分的性质来
5、证明较为 简单。 解答过程 ：在平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD交于点 O， AO=CO ，BO=DO AE=CF ， AOAE=CO CF，OE=OF 。四边形BFDE是平行四边形 解题后的思考：你还有其他的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单。 例 4. 已知：如图，ABBA，BCCB，CAAC 求证： （1） ABC B ， CAB A ， BCA C ； （2） ABC的顶点 A、B、C 分别是 BCA各边的中点 思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查平行四边形的性质与判定的综合运用；2）解题思路 ： 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知四边形ABCB 是平行四边形
6、，再利用 平行四边形的性质可得所求结论。 解答过程 ： （1） ABBA，CBBC，四边形ABCB 是平行四边形 ABC B （平行四边形的对角相等）同理 CAB A ， BCA C （2）由（ 1）证得四边形ABCB 是平行四边形同理，四边形ABA C是平行四边形 ABBC ， ABAC （平行四边形的对边相等） BC AC 同理 BA CA ， AB CB ABC的顶点 A、B、C分别是 BCA的边 BC、CA、 AB的中点 解题后的思考：本题要求学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问 题。 （例 4）（例 5） 例 5. 已知：如图，平行四边形ABCD中， E、F分别是
7、 AD、BC的中点，求证：BE=DF 思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查平行四边形的判定定理及性质的运用；2）解题思路 ： 3 证明 BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形， 通过比较， 可以看出第二种方法简单 解答过程 ： 四边形ABCD是平行四边形，ADCB，AD=CB E 、F分别是 AD、BC的中点， DEBF，且 DE=1 /2AD，BF=1 /2BC DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形） BE=DF 解题后的思考： 此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判 定另一个四边形是
8、平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂， 但层次分明，且利用知识较多，因此要求学生应具有清晰的证明思路。 例 6. 已知：如图，平行四边形ABCD中， E、F分别是 AC上两点，且BEAC 于 E，DFAC 于 F求证：四边形BEDF是平行四边形 （例 6） 思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查平行四边形的判定定理及性质的运用；2）解题思路 ： 因为 BE AC于 E，DFAC 于 F，所以 BEDF此时需再证明BE=DF ，这需要证明ABE与 CDF全等，由角角边证明即可 解答过程 ：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD ，且 ABCD BAE= DCF BEAC于
9、 E ， DFAC于 F，BEDF， 且 BEA= DFC=90 ABE CDF （AAS ） BE=DF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 解题后的思考： 解题的关键是掌握平行四边形的判定方法，会综合运用平行四边形的判定方 法和性质 会应用这些方法进行几何的推理证明，并通过学习，增强分析问题、寻找最佳解 题途径的能力 探索与创新： 例 7：如图， E、F 分别是ABCD 的 AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1）求证： ABE CDF； （2）若 M、N 分别是 BE、DF 的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE 是怎样的 四边形，并证明你的结论. （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB = CD ， A =C. AE = CF ， ABE CDF. （2）解析：四边形 MFNE 是平行四边形 . ABE CDF， AEB = CFD，BE = DF. 又 M、N 分别是 BE、DF 的中点， ME = FN. 四边形 ABCD 是平行四边形，AEB = FBE. CFD = FBE. EBDF，即 ME FN. 四边形 MFNE 是平行四边形 . 评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.