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1、利用全等三角形证明线段的和差关系 证明形如 a = b+c 的线段等式时，通常有如下三种方法： 1、直接证法（ 线段转换）：三角形或等角对等边进行证明. 若题中出现或可证出两三角形 全等 , 则通过全等把结论中的三条线段转化到同一条直线上，这样证明线段的和差问题就转 化为求证线段相等的问题. 例 1. 如图 , 在 ABC中, BAC=90 , AB=AC,DE过点 A,BD DE, CE DE, 求证 :DE=BD+CE 例 2. 在 ABC中, BAC=90 , AB=AC, AE是过点 A的一条直线 , 且 B、C分别在 AE的异侧 , BD AE于点 D, CEAE于点 E, 求证 :
2、BD=DE+CE 2、截长补短法 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这三条线段不在同一直线上时，一般方 法是截长法或补短法。截长补短法是几何证明题中十分重要的方法, 常用来证明线段之间的 和差关系 . （一）截长法: 在长边上截取一条与某一短边相同的线段, 证剩下的线段与另一线段相等. （二）补短法 (1) 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 (2) 通过旋转等方式使两短边拼合在一起. ED C B A D C B A E D C B A 例 3、如图，在四边形ABCD 中， BC BA,AD CD ，BD平分 ABC， 求证： 0 180CA 例 4
3、. 如图，在梯形 ABCD中，如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求 证;ABAD+BC 例 5、如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分PAD. 求证：AP=BP+DQ. 3、 借助面积：利用几何图形的总面积=各部分面积之和及三角形的面积公式求解 例 6. 如图 , 在 ABC中, 已知 AB=AC,P为 BC上任一点 , PE AB于 E, PF AC于 F. CD 为 AB边上的高 ,D 是垂足 . 求证 :PE+PF=CD. Q P 2 1 DC BA F E P D C B A 训练题： 1. 已知 ABC和 BED都是等边三角形,
4、 且 A、 E 、D在一条直线上. 求证 :AD=BD+CD. 2、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 3. 已知 ABC为等边三角形， D 为 BC的延长线上一点，ADE也是等边三角形 . 求证： CE = AC + DC . 4. 如图 , 在 ABC中, AD 为 BAC的平分线， AB=AC+CD. 求 B： C的值 . D B A C 5. 如图，已知在ABC中， A=108， AB=AC ， B的平分线交AC于 D，求证： AC+CD=BC 6. 已知 : 如图， BDE是等边三角形，A在 BE 的延长线上， C在 BD的延长线上，且AD=AC, 求证 : DE + DC = AE. 7. 已知 RtABC中 ,BAC=90 ,AB=AC,点 D是 AC 的中点 , AE BD于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 F,连结 DF, 求证： BD = AF +DF. D B A C