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1、均值不等式 一、基本知识梳理 1. 算术平均值：如果a bR+，那么叫做这两个正数的算术平均值. 2. 几何平均值：如果a bR+，那么叫做这两个正数的几何平均值 3. 重要不等式：如果a bR，那么 a 2 +b 2 ( 当且仅当a=b 时，取“ =”) 均值定理：如果ab R+，那么 2 ab (当且仅当a=b 时，取“ =”) 均值定理可叙述为： 4变式变形： 22 2 2 22 1; 2 2; 2 30 ; 4 2 52. ab ab ab ba ab ab ab ab ； 5. 利用均值不等式求最值， “和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可 求其积的最大值；积为定
2、值，则可求其和的最小值。 注意三个条件： “一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负； （2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。 6. 若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑裂项转化分离常数等变形手段， 创设一个应用均值不等式的情景。 二、常见题型： 1、分式函数求最值，如果)(xfy可表示为B xg A xmgy )( )(的形式，且)(xg在定 义域内恒正或恒负，, 0,0 mA则可运用均值不等式来求最值。 例：求函数)01( 1 1 2 ax x xax y且的最小值。 解： 1 )1( 1 1
3、1 1 2 x a aax x xax ax x xax y 121221 1 )1(aaa x a xa 当 1 ) 1( x a xa即 x=0 时等号成立，1 min y 2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进 行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。 例：已知1 91 ,0,0 ba ba且，求ba的最小值。 解法一：169210 9 91 b a a b ba 思路二：由1 91 ba 变形可得,9,1,9)9)(1(baba然后将ba变形。 解法二： 16109210)9)(1(210)9() 1(bababa 可以验证：两种解法的等号
4、成立的条件均为12,4 ba。 此类题型可扩展为： 设 321 aaa、均为正数，且maaa 321 ，求 321 111 aaa S的最小值。 ) 111 )( 1 321 321 aaa aaa m S )()()(3 1 3 2 2 3 3 1 1 3 2 1 1 2 a a a a a a a a a a a a m mm 9 )2223( 1 ，等号成立的条件是 321 aaa。 3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来 求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x 的取值范围，根据取值范围来进 行逆向转换。 例：求函数3 , 2 1 ,
5、 37 x x x y的最小值。 思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间 3, 2 1 x入手，可得 一个不等式0)3)( 2 1 (xx（当且仅当 2 1 x或3x时取等号），展开此式讨论即可。 解：,0)3)( 2 1 (xx即, 372, 0372 22 xxxx , 37 2, 0 x x x得2 min y 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用， 如：当0ab时，abba2 22 同时除以ab 得2 b a a b 或 b a a b 11。 例：已知a,b,c均为，求证：cba a c c b b a 222 。 证明：cba,均为正数，ac a
6、 c cb c b ba b a 2,2,2 222 ， cbaaccbba a c c b b a )2()2()2( 222 总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域 的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习 】 1、若,0,0 ba求函数 bax x y 2 最值。答案： ab ab y ab ab y 2 , 2 maxmin 2、求函数)0( 1 3 2 x xx x y的值域。答案： -3，0 3、已知正数yx,满足, 12yx求 yx 11 的最小值。答案：223 4、已知zyx,为正数，且2z
7、yx，求 2 111 yx S的最小值。答案： 2 9 5、若)0(, 1 ab a x，求 x bxab y )1( 的最小值。答案：a 6、设cba,为整数，求证： 2 222 cba ba c ac b cb a 。 三、利用不等式解题的典型例题解析： 题型一：利用均值不等式求最值（值域） 例 1、 （1）已知0x，求x x xf3 12 )(的最小值 （2）已知3x，求x x xf 3 4 )(的最大值 变式 1： 1、若Rx，求x x xf 3 4 )(的值域 2、函数02 2 xxxy的最大值为 变式 2： 1、已知0,0 yx且1 91 yx ，求yx的最小值 2、 Rx ，求
8、1sin 5 1sin)( 2 2 x xxf的最小值 3、当bax, 10为正常数时，求 x b x a y 1 22 的最小值 变 式3： 1、 函 数) 1,0( 1)3(lo gaaxy a 的 图象 恒 过 定 点 ， 若点A在 直 线 01nymx上，其中0mn，则 nm 21 的最小值为 2、求 2 )3(2 2 2 x x y的最小值为 3、已知 xx xfx sin1 2009 sin 1 )(, 2 0 的最小值为 变式 4： 1、已知yx,都是正实数，且053xyyx （ 1）求xy的最小值 （ 2）求yx的最小值 题型二：利用均值不等式证明不等式 例 2、已知Rcba,
9、，求证： （ 1）cabcabcba 222 （ 2）cbaaccbba2 222222 （ 3）cbaabcaccbbacba 222222444 变式 5： 1、已知,Rcba 且,cba不全相等，求证：cba c ab b ac a bc 2、已知Rcba,，且1cba，求证： 3 1 222 cba 3、已知1,0,0baba，求证：9 1 1 1 1 ba 题型三：利用基本不等式解应用题 例 3、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1800 元， 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3 元，每次购买面粉需支付运费900 元。 （1）该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ （2）若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 吨时，其价格可享 受 9 折优惠（即原价的90%） ，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由。