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1、利用均值不等式求最值的方法 一均值不等式 1. （1）若Rba,，则abba2 22 (2)若Rba,，则 2 22 ba ab （当且仅当ba时取“ =”） 2. (1)若 * ,Rba，则ab ba 2 (2)若 * ,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“ =”） (3) 若 * ,Rba，则 2 2 ba ab ( 当且仅当ba时取“ =”） 3. 若0x，则 1 2x x ( 当且仅当1x时取“ =”） ; 若0x，则 1 2x x ( 当且仅当1x时取 “=”） 若0x，则 111 22-2xxx xxx 即或 ( 当且仅当ba时取“ =”） 3. 若0ab，则 2 a b b
2、a (当且仅当ba时取“ =”） 若0ab，则 22-2 ababab bababa 即或 ( 当且仅当 ba时取“ =”） 4. 若Rba,，则 2 ) 2 ( 22 2baba （当且仅当ba时取“ =”） 注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们 的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 一、配凑 1. 凑系数 例 1. 当04x时，求yxx()82的最大值。 解析：由04x知，820x，利用均
3、值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个 式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系 数即可。 yxxxx xx ()()()82 1 2 282 1 2 282 2 8 2 当且仅当282xx，即 x2 时取等号。 所以当 x2 时，yxx()82的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最 大值。 2. 凑项 例 2. 已知x 5 4 ，求函数fxx x ( )42 1 45 的最大值。 解析： 由题意知450x，首先要调整符号，又()42 1 45 x x 不是定值，
4、故需对42x进行凑 项才能得到定值。 xx 5 4 540， fxx x x x ( )()42 1 45 54 1 54 3254 1 54 3231()x x 当且仅当54 1 54 x x ，即x1时等号成立。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离 例 3. 求y xx x x 2 710 1 1()的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。 y xx x xx x x x 22 710 1 1514 1 1 4 1 5 ()() () 当x10，即x1时 yx x 21 4 1 59()（当且仅当x1
5、 时取“”号）。 当x10，即x1时 yx x 521 4 1 1()（当且仅当x 3 时取“”号）。 y xx x x 2 710 1 1()的值域为()，19。 评注：分式函数求最值，通常化成ymg x A g x B Am() () ()00，g(x) 恒正或恒负的形式， 然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例 4. 已知abab0021，求t ab 11 的最小值。 解法 1：不妨将 11 ab 乘以 1，而 1 用 a2b 代换。 ()()() 11 1 11 2 abab ab 1 2 2 3 2 32 2 32 2 b a a b b a a b b a a b 当且仅当
6、 2b a a b 时取等号，由 2 21 21 1 2 2 b a a b ab a b ，得 即 a b 21 1 2 2 时，t ab 11 的最小值为322。 解法 2：将 11 ab 分子中的1 用ab2代换。 ab a ab b b a a b b a a b 22 1 2 2 3 2 32 2 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到t b a a b 3 2 ，而 2b a 与 a b 的积为定值，即可用均值不等式 求得t ab 11 的最小值。 三、换元 例 5. 求函数y x x 2 25 的最大值。 解析：变量代换，令tx2，则xtty t t 2 2 20 21 ()，则
7、当 t0 时， y0 当t0时，y t t t t 1 2 1 1 2 2 1 2 4 当且仅当2 1 t t ，即t 2 2 时取等号。 故xy 3 2 2 4 时， max 。 评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而 为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方 例 6. 求函数yxxx2152 1 2 5 2 ()的最大值。 解析：注意到2152xx与的和为定值。 yxx xx xx 22 2152 4221 52 421528 () ()() ()() 又y0，所以02 2y 当且仅当2152xx，即x 3 2 时取等号。 故ymax2 2
8、。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式。 练一练 1. 若02x，求yxx()63的最大值。 2. 求函数y x xx 1 3 3()的最小值。 3. 求函数y x x x 2 8 1 1()的最小值。 4. 已知xy00，且 11 9 xy ，求xy的最小值。 参考答案： 1. 32. 5 3. 8 4. 4 9 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4 基本不等式） 典题精讲 例 1（1）已知 0x 3 1 ，求函数y=x(1-3x) 的最大值 ;