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1、定积分应用习题课资料 1.求由曲线 4 , 2 2 x y x y和直线xy2在 x y 2 内所围平面图形的面积。 2.求心形线cos1r所围图形与圆盘cosr的公共部分的面积。 3.设为曲线 2 0 ,sin2 ,cos 2 t ty tx 上的一点，此曲线与直线OM及轴所围图形的面积为，求 dt dS 取得最大值时，点 的坐标。 4.求由曲线 23 xy及 2 2xy所围图形的面积、绕轴旋转所得旋转体的体积。 5.设曲线0,1), 2 0(sinxyxxy围成平面图形记为，求绕直线 2 x旋转而 成的旋转体的体积。 6.设抛物线cbxaxy 2 过原点，当10x时，0y，又已知该抛物线与
2、轴及 直线1x所围图形的面积为 3 1 ，试确定cba,使此图形绕轴旋转而成的旋转体的 体积最小。 7.一 开 口 容 器 的 侧 面 和 底 面 分 别 由 曲 线 弧 段)21( 1 2 xxy和 直 线 段 )10(0xy绕轴旋转而成，坐标轴长度单位为，现以min/2 3 m的速度向容器 内注水，试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度。 8.半径为的半球形水池充满水， 将水从池中抽出， 当抽出的水所作的功为将水全部 抽空所作的功的一半时，水面下降的深度为多少？ 习题解答 1解：解方程组 ,2 , 2 ,2 , 4 , 4 , 2 2 2 xy x y xy x y x y x
3、y 得交点)2, 1(),16,8(),1 , 2(CBA.所求面积为 8 2 2 2 1 2ln221) 4 2() 2 2(dx x xdx x xS 2 解：由 cos1 ,cos r r 得 3 2, 1 ,于是所求面积为 cos 2 1 )cos1 ( 2 1 2 2 3 2 3 0 2 ddS 2 3 3 0 s i n 4 1 2 1 2s i n 4 1 si n2 2 3 3 12 7 3.解:设点的坐标为 )sin2,(cos 2 tt ,此曲线与直线OM及轴所围图形的面积为 1 cos 22 cossin)sin2(cos 2 1 t ydxttttS 1 cos 22
4、)1(2cossin t dxxtt )s i n)(cos1(2sincossin2 232 ttttt dt dS tt 3 s i ns i n2 令0cossin3cos2 2 2 2 ttt dt Sd 得 dt dS 在) 2 ,0(内 的 驻 点 3 2 arcsint, 又 3 2 arcsint为 dt dS 的 极 大 值 点 ,故 3 2 arcsint时 dt dS 取得最大值 ,此时的坐标为) 3 4 , 3 3 ( 4.解: 解方程组 23 2 ,2 xy xy 得交点) 1 , 1(),1 , 1(BA,又由图形关于轴对称 ,故所求面积为 1 0 3 5 2 1
5、0 3 2 2 5 3 2 arcsin2 2 2)2(2x x x x dxxxS 5 1 2 ) 5 3 42 1 (2 旋转体的体积为 21 52 )2(2 1 0 3 4 2 dxxxV 5.解:方法一 (切片法 ) 取为积分变量 ,积分区间为1 ,0,对应于任一小区间,dyyy, 平面区域上有宽度为的窄条,此窄条绕直线 2 x旋转得到厚度为的圆环 ,其体积为 dyyydyxdV)(arcsinarcsin) 2 () 2 ( 222 所求旋转体的体积为 1 0 2 1 0 2 )(arcsinarcsindyyydyV 1 0 221 0 22 2arcsin12)(arcsin1a
6、rcsinyyyyyyyy 2 4 2 3 方法二 (剥壳法 ) 取为积分量 ,区间为 2 ,0,对应于任一小区间,dxxx,平面区域上 有宽为、高为y1的窄条 ,此窄条绕直线 2 x旋转得到高为y1、厚、半径为x 2 的圆筒薄壳 ,其体积为 dxxxdxxydV) 2 )(sin1(2) 2 (2)1( 所求旋转体的体积为 2 0 ) 2 )(sin1 (2dxxxV 2 4 2 3 6.解:因抛物线过原点 ,故 0c 由题设有 1 0 2 3 1 23 )( ba dxbxax,即得 )1( 3 2 ab 而) 3 1 2 1 5 1 ()( 22 1 0 22 babadxbxaxV )
7、1( 27 4 )1 ( 3 1 5 1 22 aaaa 0)1( 27 8 3 2 3 1 5 2 aaa da dV 得 4 5 a,代入的表达式得 2 3 b 此时有 当10x时，0y,且 0 135 4 | 4 52 2 a da Vd ,因此 0, 2 3 , 4 5 cba 7.解:当水深为时 ,水的体积为 HH dyydyyV 00 2 )1 ()1( dt dH H dt dV )1( 当2 dt dV 且 2 3 H时,min)/( 5 4 )1 ( 2 m Hdt dH . 8.以球心坐标原点 ,以过且垂直水平面的直线为轴,正方向向下 , 以过且平行水平面的 直线为轴 , 正方向向右 .取为积分变量 ,对应.dxxx的一薄层水 ,其体积近似为 dxxRdxydV)( 222 把这层水抽出所作的功近似为 22 ()dWgxdVgRxxdx 水面下降的深度为时 ,所作的功为 )2( 4 )()( 2222 0 2 HRH g xdxxRgHW H 将水全部抽空所作的功为 4 4 )(R g RW 由)( 2 1 )(RWHW得0 2 2 4 224 R HRH 解得RH 2 2 1.