最新八年级数学全等三角形压轴题提高训练(含答案).pdf

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1、最新八年级数学全等三角形压轴题提高训练 1.如图所示， ABC ADE ，BC 的延长线过点E， ACB= AED=105， CAD=10 ， B=50 ，求 DEF 的度数。 2.如图， AOB 中， B=30 ，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转52 ，得到 A OB ，边 A B 与边 OB 交于点 C（A 不在 OB 上） ，则 ACO 的度数为多少？ 3.如图所示，在 ABC 中， A=90 ，D、E 分别是 AC 、BC 上的点，若 ADB EDB EDC，则 C 的度数是多少？ 4.如图所示，把 ABC 绕点 C 顺时针旋转35 ，得到 A BC，A B交 AC 于点 D，若 A

2、DC=90，则 A= 5.已知，如图所示， AB=AC ， AD BC 于 D， 且 AB+AC+BC=50cm, 而 AB+BD+AD=40cm， 则 AD 是多少？ E F A C B D C A O B A B A C D E D B B C A A DA C B 6.如图， Rt ABC 中， BAC=90，AB=AC ，分别过点B、C 作过点 A 的垂线 BC、 CE， 垂足分别为D、 E，若 BD=3 ，CE=2，则 DE= 7.如图， AD 是 ABC 的角平分线， DEAB ，DFAC ，垂足分别是E、F，连接 EF，交 AD 于 G，AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论。 8

3、.如图所示， 在 ABC 中， AD 为 BAC 的角平分线， DEAB 于 E， DFAC 于 F， ABC 的面积是 28cm 2,AB=20cm ， AC=8cm ，求 DE 的长。 9.已知，如图：AB=AE ， B=E， BAC= EAD ， CAF= DAF ，求证： AFCD 10.如图， AD=BD ，AD BC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于点H，则 BH 与 AC 相等吗？为什么？ 11.如图所示，已知，AD 为 ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC ， FD=CD ，求证： BE AC B D E C A G

4、BC A D E F BC A D E F CD A B E F H BC A D E F BC A D E 12. DAC 、 EBC 均是等边三角形，AF、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，求证：（1） AE=BD （2）CM=CN （3）CMN 为等边三角形（4）MN BC 13.已知：如图1，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点 E，BM 交 CN 于点 F （1）求证： AN=BM （2）求证： CEF 为等边三角形 14.如图所示，已知 ABC 和BDE 都是等边三角形，下列结论：AE=CD ； BF=BG ； BH 平分

5、 AHD ； AHC=60 ； BFG 是等边三角形；FGAD ，其中正确的 有（） A3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个 15.已知：BD、 CE 是ABC 的高，点 F 在 BD 上， BF=AC ， 点 G 在 CE 的延长线上， CG=AB ， 求证： AG AF 16.如图：在 ABC 中， BE、CF 分别是 AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取 BD=AC ，在 CF 的延长线上截取CG=AB ，连结 AD 、AG 求证： （ 1）AD=AG （ 2）AD 与 AG 的位置关系如何 NM AB D E C H G F AD C E B E BC AG D F H F

6、BC A G E D 17如图，已知E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点F 在 BC 上，且 DAE= FAE 求证： AF=AD+CF 18如图所示，已知 ABC 中， AB=AC ， D 是 CB 延长线上一点，ADB=60，E 是 AD 上一点，且DE=DB ，求证： AE=BE+BC 19如图所示， 已知在 AEC 中，E=90 ，AD 平分 EAC ，DFAC ，垂足为 F，DB=DC ， 求证： BE=CF 20已知如图： AB=DE ，直线 AE、BD 相交于 C， B+D=180 ，AFDE，交 BD 于 F， 求证： CF=CD 21如图， OC 是 AOB 的平分

7、线， P 是 OC 上一点， PDOA 于 D，PEOB 于 E，F 是 OC 上一点，连接DF 和 EF，求证： DF=EF A BC D E F D A B C E A E C D F B C B D A E F A B CF O P D E 22已知： 如图， BF AC 于点 F，CEAB 于点 E，且 BD=CD ，求证： （1）BDE CDF （2） 点 D 在 A 的平分线上 23如图， 已知 AB CD，O 是 ACD 与 BAC 的平分线的交点， OEAC 于 E，且 OE=2， 则 AB 与 CD 之间的距离是多少？ 24如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN，使

8、AM BN ，按下列要求画图并回答： 画 MAB 、 NBA 的平分线交于E （1） AEB 是什么角？ （2）过点 E 作一直线交AM 于 D，交 BN 于 C，观察线段DE、 CE，你有何发现？ （3）无论DC 的两端点在AM 、BN如何移动，只要DC 经过点E， AD+BC=AB ； AD+BC=CD谁成立？并说明理由。 25如图， ABC 的三边 AB 、BC、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将ABC 分 为三个三角形，则S ABO：S BCO：SCAO等于？ 26正方形ABCD 中， AC 、BD 交于 O， EOF=90 ，已知 AE=3， CF=4，则S BEF为多

9、 少？ D A C B F E B D A C O E M N A B E D C CA B O O AD BC E F 27如图，在RtABC 中， ACB=45， BAC=90，AB=AC ，点 D 是 AB 的中点， AF CD 于 H，交 BC 于 F，BEAC 交 AF 的延长线于E，求证： BC 垂直且平分DE 28在 ABC 中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D，BEMN 于 E （1）当直线MN 绕点 C 旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN 绕点 C 旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN

10、绕点 C 旋转到图的位置时，试问DE、 AD 、BE 具有怎样的等量关系？ 请直接写出这个等量关系。 P E F BC A E D M 图 1 A C N E D N 图2 A C B D E M D N 图 3 A C B M E 1 解： ABC AED D=B=50 ACB=105 ACE=75 CAD=10 ACE=75 EFA= CAD+ ACE=85 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 同理可得 DEF= EFA- D=85 -50 =35 2 根据旋转变换的性质可得B= B， 因为 AOB 绕点 O 顺时针旋转52 ， 所以 BOB =52， 而 ACO 是 BOC

11、 的外角， 所以 ACO= B+ BOB ，然后代入数据进行计算即可得解 解答：解： AOB 是由 AOB 绕点 O 顺时针旋转得到，B=30 ， B= B=30 ， AOB 绕点 O 顺时针旋转52 ， BOB =52 ， ACO是 BOC 的外角， ACO= B+BOB =30+52=82 故选 D 3 全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理 分析：根据全等三角形的性质得出A=DEB= DEC， ADB= BDE= EDC ，根据邻 补角定义求出DEC、 EDC 的度数，根据三角形的内角和定理求出即可 解答：解： ADB EDB EDC， A=DEB= DEC ， ADB= B

12、DE= EDC， DEB+ DEC=180 ， ADB+ BDE+EDC=180， DEC=90 ， EDC=60 ， C=180 -DEC- EDC， =180 -90 -60 =30 4 分析：根据旋转的性质，可得知ACA =35，从而求得 A 的度数，又因为A 的对应角 是 A ，即可求出 A 的度数 解答：解：三角形 ABC 绕着点 C 时针旋转35 ，得到 AB C ACA =35 ， ADC=90 A=55， A 的对应角是 A ，即 A= A ， A=55 ； 故答案为： 55 点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固 定角度的位置移动其中

13、对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改 变解题的关键是正确确定对应角 5 因为 AB=AC 三角形 ABC 是等腰三角形 所以AB+AC+BC=2AB+BC=50 BC=50-2AB=2(25-AB) 又因为 AD 垂直于 BC 于 D，所以BC=2BD BD=25-AB AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40 AD=40-25=15cm 6 解： BD DE，CEDE D=E BAD+ BAC+ CAE=180 又 BAC=90， BAD+ CAE=90 在 Rt ABD 中， ABD+ BAD=90 ABD= CAE 在 ABD 与 CAE 中 AB

14、D= CAE D=E AB=AC ABD CAE （AAS ） BD=AE ，AD=CE DE=AD+AE DE=BD+CE BD=3 ，CE=2 DE=5 7 证明： AD 是 BAC 的平分线 EAD FAD 又 DEAB ，DF AC AED AFD 90 边 AD 公共 Rt AED Rt AFD （AAS ） AEAF 即AEF 为等腰三角形 而 AD 是等腰三角形AEF 顶角的平分线 AD 底边 EF （等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“ 三线合一 ” ） 8 AD 平分 BAC ，则 EAD= FAD ， EDA= DFA=90 度， AD=AD

15、所以 AED AFD DE=DF SABC=S AED+S AFD 28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE) DE=2 9AB=AE ， B= E， BAC= EAD 则ABC AED AC=AD ACD 是等腰三角形 CAF= DAF AF 平分 CAD 则 AFCD 10 解： AD BC ADB ADC 90 CAD+ C90 BEAC BEC ADB 90 CBE+C 90 CAD CBE AD BD BDH ADC （ASA） BH AC 11 解：（ 1）证明： AD BC（已知），BDA= ADC=90 （垂直定义）， 1 2=90 （直角三角形两锐

16、角互余）. 在 RtBDF 和 Rt ADC 中， Rt BDF Rt ADC （H.L ）. 2=C（全等三角形的对应角相等）. 1 2=90 （已证），所以1 C=90 . 1 C BEC=180 （三角形内角和等于180 ）， BEC=90 . BEAC （垂直定义）； 12 证明：（ 1） DAC 、EBC 均是等边三角形， AC=DC ，EC=BC ， ACD= BCE=60 ， ACD+ DCE=BCE+ DCE，即 ACE= DCB 在ACE 和 DCB 中， AC=DC ACE= DCB EC=BC ACE DCB （SAS） AE=BD （2）由（ 1）可知： ACE DCB

17、， CAE= CDB ，即 CAM= CDN DAC 、EBC 均是等边三角形， AC=DC ， ACM= BCE=60 又点 A、C、B 在同一条直线上， DCE=180 -ACD- BCE=180 -60 -60 =60 ， 即 DCN=60 ACM= DCN 在ACM 和DCN 中，CAM= CDN AC=DC ACM= DCN ACM DCN（ASA ） CM=CN (3)由（ 2）可知 CM=CN, DCN=60 CMN 为等边三角形 (4)由(3)知 CMN= CNM= DCN=60 CMN+ MCB=180 MN/BC 13分析：（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，

18、进而可由SAS 得到 CAN MCB ，结论得证； （2）由（ 1）中的全等可得CAN= CMB ，进而得出 MCF= ACE，由 ASA 得出 CAE CMF，即 CE=CF，又 ECF=60 ，所以 CEF 为等边三角形 解答：证明：（ 1） ACM ， CBN 是等边三角形， AC=MC ，BC=NC ， ACM=60 ， NCB=60 ， 在CAN 和 MCB 中， AC=MC ， ACN= MCB ， NC=BC ， CAN MCB （SAS）， AN=BM （2） CAN CMB ， CAN= CMB ， 又 MCF=180 - ACM- NCB=180 -60 -60 =60 ，

19、 MCF= ACE， 在CAE 和 CMF 中， CAE= CMF，CA=CM ， ACE= MCF， CAE CMF （ASA ）， CE=CF， CEF 为等腰三角形， 又 ECF=60 ， CEF 为等边三角形 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟 练运用 14考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质 分析：由题中条件可得 ABE CBD ， 得出对应边、 对应角相等， 进而得出 BGD BFE， ABF CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论 解答：解： ABC 与 BDE 为等边三角形，AB=BC ，

20、BD=BE ， ABC= DBE=60 ， ABE= CBD ， 即 AB=BC ， BD=BE ， ABE= CBD ABE CBD ， AE=CD ， BDC= AEB， 又 DBG= FBE=60 ， BGD BFE， BG=BF ， BFG= BGF=60 ， BFG 是等边三角形， FGAD ， BF=BG ，AB=BC ， ABF= CBG=60 ， ABF CGB ， BAF= BCG， CAF+ ACB+ BCD= CAF+ ACB+ BAF=60 +60 =120 ， AHC=60 ， FHG+ FBG=120 +60 =180 ， B、G、H、F 四点共圆， FB=GB ，

21、 FHB= GHB ， BH 平分 GHF， 题中都正确 故选 D 点评：本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握 15 考点：全等三角形的判定与性质分析：仔细分析题意，若能证明 ABF GCA，则可 得 AG=AF 在 ABF 和GCA 中，有 BF=AC 、CG=AB 这两组边相等，这两组边的夹角是 ABD 和 ACG ，从已知条件中可推出ABD= ACG 在 Rt AGE 中， G+GAE=90 ，而 G=BAF，则可得出GAF=90 ，即 AG AF 解答：解： AG=AF ，AG AF BD 、CE 分别是 ABC 的边 AC ，AB 上的高 ADB=

22、 AEC=90 ABD=90 -BAD ， ACG=90 -DAB ， ABD= ACG 在ABF 和 GCA 中 BF=AC ABD= ACG AB=CG ABF GCA （SAS） AG=AF G=BAF 又 G+GAE=90 度 BAF+ GAE=90 度 GAF=90 AG AF 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关 系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力， 范围较广 16 1、证明： BEAC AEB 90 ABE+ BAC 90 CFAB AFC AFG 90 ACF+ BAC 90， G+BAG

23、90 ABE ACF BD AC ，CGAB ABD GCA （SAS） AG AD 2、AG AD 证明 ABD GCA BAD G GAD BAD+ BAG G+BAG 90 AG AD 17 过 E 做 EGAF 于 G，连接 EF ABCD 是正方形 D=C=90 AD=DC DAE= FAE，EDAD ， EGAF DE=EG AD=AG E 是 DC 的中点 DE=EC=EG EF=EF Rt EFG Rt ECF GF=CF AF=AG+GF=AD+CF 18 因为：角EDB=60,DE=DB 所以： EDB 是等边三角形，DE=DB=EB 过 A 作 BC 的垂线交BC 于 F

24、 因为： ABC 是等腰三角形 所以： BF=CF，2BF=BC 又：角 DAF=30 所以： AD=2DF 又： DF=DB+BF 所以： AD=2 （DB+BF ） =2DB+2BF= 【2DB+BC 】 （AE+ED ）=2DB+BC ，其中 ED=DB 所以： AE=DB+BC ，AE=BE+BC 19 补充： B 是 FD 延长线上一点； ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）； BD=CD ； 角 EDB=FDC （对顶角）； 则三角形 EDB 全等 CDF ；则 BE=CF ； 或者补充： B 在 AE 边上； ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）； DB=DC 则两直

25、角三角形EDB 全等 CDF（HL ） 即 BE=CF 20 解： AF/DE D=AFC B D=180 ,， AFC AFB=180 B=AFB AB=AF=DE AFC 和 EDC 中： B=AFB, ACF= ECD(对顶角） ,AF=DE AFC EDC CF=CD 21 证明：点P 在 AOB 的角平分线OC 上， PEOB，PDAO ， PD=PE， DOP=EOP， PDO=PEO=90 ， DPF= EPF， 在DPF 和EPF 中 PD=PE DPF=EPF PF=PF （SAS）， DPF EPF DF=EF 22 考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）

26、根据全等三角形的判定定理ASA 证得 BED CFD； （2）连接 AD 利用（ 1）中的 BED CFD，推知全等三角形的对应边ED=FD 因为角 平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D 在 A 的平分线上 解答：证明：（ 1）BF AC，CEAB ， BDE= CDF（对顶角 相等）， B=C（等角的余角相等）； 在 RtBED 和 Rt CFD 中， B= C BD=CD( 已 知) BDE= CDF ， BED CFD（ASA ）； （2）连接 AD 由（ 1）知， BED CFD， ED=FD （全等三角形的对应边相等）， AD 是 EAF 的角平分线，即点D 在 A 的平分线上

27、 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质常用的判定方法有：ASA ，AAS，SAS，SSS， HL 等，做题时需灵活运用 23考点：角平分线的性质 分析：要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点O 作 FGAB ，可以得到FGCD， 根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG ，即可求得AB 与 CD 之间的距离 解答：解：过点O 作 FGAB ， AB CD， BFG+FGD=180 ， BFG=90 ， FGD=90 ， FGCD， FG 就是 AB 与 CD 之间的距离 O 为 BAC ， ACD 平分线的交点，OEAC 交 AC 于 E， OE=OF=OG （角平分线上的点，到角两边距

28、离相等）， AB 与 CD 之间的距离等于2?OE=4 故答案为： 4 点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出 AB 与 CD 之间的距 离是正确解决本题的关键 24考点：梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质 专题：作图题；探究型 分析：（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出1+3=90 ，再由三 角形内角和等于180 ，即可得出 AEB 是直角的结论； （2）过 E 点作辅助线EF 使其平行于AM ，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一 步求出边之间的关系； （3）由（2）中得出的结论可知EF 为梯形 ABCD 的中位

29、线， 可知无论DC 的两端点在AM 、 BN 如何移动，只要DC 经过点 E，AD+BC 的值总为一定值 解答：解：（ 1） AM BN， MAB+ ABN=180 ， 又 AE，BE 分别为 MAB 、 NBA 的平分线， 1+3= 1 2 （ MAB+ ABN ） =90 ， AEB=180 -1-3=90 ， 即 AEB 为直角； （2）过 E 点作辅助线EF 使其平行于AM ，如图则EFAD BC， AEF= 4， BEF= 2， 3=4， 1=2， AEF= 3， BEF= 1， AF=FE=FB ， F 为 AB 的中点，又EFAD BC， 根据平行线等分线段定理得到E 为 DC

30、中点， ED=EC ； （3）由（ 2）中结论可知，无论DC 的两端点在AM 、 BN 如何移动，只要DC 经过点 E， 总满足 EF 为梯形 ABCD 中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB 点评：本题是计算与作图相结合的探索对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、 等腰三角形性质， 三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的 要求 25 如图， ABC 的三边 AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三 条角平分线将 ABC 分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于（） A1：1：1 B 1：2：3 C2：3： 4 D3：4：5 考点

31、：角平分线的性质 专题：数形结合 分析：利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别 是 20，30，40，所以面积之比就是2：3： 4 解答：解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C 故选 C 点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式做 题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的 26 解： 正方形 ABCD AB BC，AO BOCO， ABC AOB COB90， ABO BCO45 BOF+COF90 EOF90 BOF+BOE90 COF BOE BOE COF （ASA ） BECF CF4 B

32、E4 AE3 AB AE+BE 3+47 BFBC-CF 7-43 SBEFBE BF/24 3/2 6 27考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：证明出 DBP EBP，即可证明BC 垂直且平分DE 解答：证明：在 ADC 中， DAH+ ADH=90 ， ACH+ ADH=90 ， DAH= DCA ， BAC=90 ，BEAC ， CAD= ABE=90 又 AB=CA ， 在 ABE 与 CAD 中， DAH= DCA CAD= ABE AB=AC ABE CAD （ASA ）， AD=BE ， 又 AD=BD ， BD=BE ， 在 RtABC 中，

33、 ACB=45 ， BAC=90 ，AB=AC ， 故 ABC=45 BEAC ， EBD=90 ， EBF=90 -45 =45 ， DBP EBP（SAS）， DP=EP， 即可得出 BC 垂直且平分DE 点评：此题关键在于转化为证明出 DBP EBP通过利用图中所给信息，证明出两三角 形相似， 而证明相似可以通过证明角相等和线段相等来实现 28 1）证明：ACB=90， ACD+ BCE=90 ， 而 AD MN 于 D，BEMN 于 E， ADC= CEB=90 ， BCE+CBE=90 ， ACD= CBE 在 RtADC 和 RtCEB 中， ADC= CEB ACD= CBE AC=CB ， Rt ADC Rt CEB（AAS ）， AD=CE ，DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD； （2）证明：在 ADC 和CEB 中， ADC= CEB=90 ACD= CBE AC=CB ， ADC CEB（AAS ）， AD=CE ，DC=BE ， DE=CE-CD=AD-BE； （3）DE=BE-AD 证明的方法与（2）相同