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1、江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期 高三数学4月质量检测 2014.4.12数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1.已知集合， .2.复数 .3.“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）4.从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 5.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 .6.执行右面的框图，若输出p的值是24，则
2、输入的正整数N应为_.7.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 .8.在直角三角形中，若，则 9.已知，则 10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线xy30相切，则圆C的半径为 11.双曲线右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为 12.已知数列为等差数列，首项，公差，若成等比数列，且，则数列的通项公式 13.已知定义在R上的函数满足：，则方程在区间上的所有实根之和为 .14.若关于x的不等式（组）恒成立，则所有这样的解x构成的集合是_.二、解答题：（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字
3、说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分14分）已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）在中，若的值.16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC，BCAD，PAPD，Q为AD的中点。（1）求证：AD平面PBQ；（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA平面BMQ。17. (本小题满分14分） 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座
4、位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低18（本小题满分16分）已知，数列有（常数），对任意的正整数并有满足。（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。19（本小题满分16分）在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2.（1）求椭圆E的方程；（2)A、B
5、、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且ACCB问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由20（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期 高三数学4月质量检测 2014.4.12数学（附加题） 1.求使等式成立的矩阵M。2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.(
6、1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.3集合中任取三个元素构成子集（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为（如集合3，4，5中3和4相邻，2），求随机变量的分布列及其数学期望E（）。4、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B
7、内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长 高三数学4月质量检测（答案） 1. 2. 3.必要不充分 4. 5.48 6.7、 8、 9、 10、 11、 12.13.由题意知函数的周期为，则函数在区间0B-3-51CAyx上的图象如下图所示：由图形可知函数在区间上的交点为，易知点的横坐标为，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.14.答案，不等式等价于，即又（均值不等式不成立）令故，所以，（因为最小值大于，在中，可以取等号），故，解得或，所以答案为.15.解：（）因为， 所以函数的最小正周期为 6分（）由（）得， 由已知，又角为锐角，所以， 由正弦定理，得 12
8、分16.证明：PAD中，PA=PD，Q为AD中点，PQAD，底面ABCD中，AD/BC，BC=AD,DQ/BC,DQ=BC BCDQ为平行四边形，由ADC=900，AQB=900，ADBQ 由ADPQ,ADBQ,BQPQ=Q,PQ、BQ面PBQAD平面PBQ 7分连接CQ,ACBQ=N,由AQ/BC,AQ=BC,ABCQ为平行四边形，N为AC中点，由DPAC中，M、N为PC、AC中点， MN/PA由MN面BMQ，PA面BMQ 面BMQPA 14分1717（1）设摩天轮上总共有个座位，则，即，2分， 4分定义域 6分（2）当时，令，8分，则，10分， 12分当时，即在上单调减，当时，即在上单调增
9、，在时取到，此时座位个数为个14分18.解：（1）由已知，得， （2）由得则，即，于是有，并且有，即，而是正整数，则对任意都有，数列是等差数列，其通项公式是。 （3）；由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。19（本小题满分16分）在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2.（1）求椭圆E的方程；（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且ACCB问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由19.20（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.20.解：（I）当时，当，当 ，所以函数在和单调递增，在单调递减，所以当时，函数取到极大值为，当时，函数取到极小值为-2. （6分）（II）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，得设且 （10分）当时，在上单调递减，所以当时，；当时，在上单调递减，所以当时，；所以在不存在 “转点”. （13分）当时，即在上是增函数.当时，当时，即点为“转点”.故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. （16分）附加题答案19