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1、2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一）试卷 一、填空题 1函数 x e xx x y )1( sin 2 的连续区间是。 2 )4( 1 lim 2 xxx x 。 3 （ 1）x轴在空间中的直线方程是。 （ 2）过原点且与x轴垂直的平面方程是。 4 设函数 1, 1b 1, 1, )1( 1 )( 2 )1( 1 2 xx xa xe x xf x ,当_,ba时， 函数)(xf在点 1x 处 连续。 5设参数方程 2sin 2cos 3 2 ry rx ， （1）当r是常数 ,是参数时，则 dx dy 。 （2）当是常数，r是参数时，则 dx dy 。 二选择题 1设函数)(
2、xfy在b,a上连续可导，),(bac，且0)( cf，则当（）时，)(xf 在cx处取得极大值。 （A）当cxa时，0)( xf，当bxc时，0)( xf, （B）当cxa时，0)( xf，当bxc时，0)( xf, （C）当cxa时，0)( xf，当bxc时，0)( xf, （D）当cxa时，0)( xf，当bxc时，0)( xf. 2设函数)(xfy在点 0 xx处可导，则 h hxfhxf h )2()3( lim 00 0 （） 。 ).(5)(),(4)(),(x3)(),()( 0 0 0 0 xfDxfCfBxfA 3设函数 0, 00, 0 x, )( 2 2 xe x e
3、xf x x ，则积分 1 1 fx dx（） 。 .2)(, e 1 )(0)(,1)(DCBA 5设级数 1n n a和级数 1n n b都发散，则级数 1 )( n nn ba是（）. （A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（ D）可能发散或者可能收敛 三计算题 1求函数 x xxy) 1( 2 的导数。 2. 求函数12 23 xxy在区间（ 1，2）中的极大值，极小值。 3. 求函数 x exxf 2 )(的 n 阶导数 n n dx fd 。 4计算积分 0 2 1 1 32 dx xx 。 5计算积分dx e x2 1 1 。 6计算积分 1 2 0 2 x xxe dx。 8.
4、把函数 1 1 x y展开成1x的幂级数，并求出它的收敛区间。 9.求二阶微分方程xy dx dy dx yd 2 2 2 的通解。 10.设ba,是两个向量，且, 3, 2 ba求 22 22baba 的值，其中a表示向量a的 模。 四综合题 1计算积分 0 2121 sinsin 22 nm xxdx，其中mn, 是整数。 2已知函数dcxbxaxxf234)( 23 ， 其中常数dcba,满足0dcba， （1）证明函数)(xf在（ 0，1）内至少有一个根， （2）当acb83 2 时，证明函数)(xf在（ 0，1）内只有一个根。 2005 年高数（一）答案（ A）卷 一填空题 1连续区
5、间是), 1()1 ,0()0 ,( - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 密 封 线 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、 - 2 2 1 3 （ 1） 0 0 z y 或者 001 zyx ，或者0,0,zytx（其中t是参数）， （2）0x 41,0 ba 5 （ 1） y xr 2 ，（ 2） x y 2 3 . 二选择题 题 号1 2 3 4 5 答 案B D B D 三计算题。 1解 ：令) 1ln(ln 2 xxxy，（3 分） 则 x xxxx xx xx y) 1)(1ln( 1 )12( 22 2 （7 分） 2解：)43(43 2 xxxxy，驻点为 3 4 ,0 21 xx（2 分） （法一）46 xy， 04)0( y，1)0(y（极大值），（5 分） 04) 3 4 ( y， 27 5
7、) 3 4 (y（极小值） . （7 分） （法二） x1 （ 1，0）0 ),0( 3 4 3 4 2),(3 4 2 y正0 负0 正 y -2 递增1 递减27 5 递增 （5 分） 当0x时，1y（极大值），当 3 4 x时，27 5 y（极小值）（7 分） 3解：利用莱布尼兹公式 x n n ennnxx dx fd )1(2 2 （7 分） 4解： 0 1 0 1 0 1 2 1 1 2 1 )2)(1( 1 23 1 dx xx dx xx dx xx (3 分) 3 4 ln 1 2 ln 0 1 x x (7 分 ) 5解：dx e x2 1 1 dx e ee x xx 2
8、 22 1 1 (3 分) )1ln( 2 1 2x exC （其中 C 是任意常数）（7 分） 6解： 1 0 2 )2(dxexx x dxexexx xx 1 0 1 0 2 ) 12()2(（3 分） 2 1 0 ) 12(dxex x 2)13( e+ 1 0 2 x e= eee12233。（ 7 分） 8：解： 2 1 1 1 2 1 1 1 x x y(2 分 ) ) 2 1 () 1() 2 1 () 2 1 ( 2 1 1 2 132nnxxxx 0 1 2 )1( ) 1( n n n n x ，（5 分） 收敛区间为（-1， 3）. （7 分） 9.解：特征方程为012
9、 2 ，特征值为 1（二重根）， 齐次方程02 2 2 y dx dy dx yd 的通解是 x exccy)( 21 ，其中 21,c c是任意常数 . (3 分) xy dx dy dx yd 2 2 2 的特解是2 xy，（6 分） 所以微分方程的通解是 x exccxyyy)(2 21 ，其中 21,c c是任意常数 （7 分） 10解： 22 22baba)2()2()2()2(babababa(3 分) 26)(2 22 ba. （ 7 分） 四综合题： 1解：（法一） 0 2 12 sin 2 12 sinxdx m xdx n dxxmnxmn)cos() 1(cos 2 1
10、0 （4 分） 0 0 , 2 1 1) 1cos( 2 1 ,0)sin( 1 ) 1sin( 1 1 2 1 mndxxmn mnxmn mn xmn mn （10 分） （法二）当mn时 0 2 12 sin 2 12 sinxdx m xdx n dxxmnxmn)cos() 1(cos 2 1 0 （ 4 分） 0)sin( 1 )1sin( 1 1 2 1 0 xmn mn xmn mn （7 分） 当mn时 0 2 12 sin 2 12 sinxdx m xdx n 0 0 0 2 2 1 ) 12cos(1 2 1 2 12 sinxdxxnxdx n 2 （10 分） 2证明：（1）考虑函数dxcxbxaxxF 234 )(, （2 分） )(xF在0,1 上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(FF，