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1、1 浙江省宁波市金兰合作组织2011-2012 学年高二下学期期中联考试题 （数学理） 考试时间： 120 分钟试题满分： 150 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1复数 5 2i （i为虚数单位）的共轭复数为（） A2i B2i C2i D2i 2若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（） A 3 4 A B 3 4 C C 4 3 D 3 4 3将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14, 20,为“梯形数” 根据图形的构成，数列 的第 10 项为（） A65 B66
2、C76 D77 4设函数( )fx在2x处导数存在，则 0 (2)(2) lim 2 x ffx x （） A / 2(2)f B / 2(2)f C /1 (2) 2 f D /1 (2) 2 f 5某班级有一个8人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余5 人座位不变，则不同的调 整方案的种数有（） A56 B112 C336 D168 6已知函数 322 ( )f xxaxbxa在1x处取极值10，则 (0)f（） A9 B916或 C16 D916 或 7在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为 1 S，外接圆面积为 2 S，则 1 2 1 4 S S ，推广到空间几何中可
3、以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为 1 V， 外接球体积为 2 V，则 1 2 V V （） A 1 4 B 1 8 C 1 16 D 1 27 8 若 * ,xR nN，定义：(1)(2)(1) n x Mx xxxn，例如： 2 5 5 ( 5)( 4)( 3)( 2)( 1)M 120，则函数 15 7 ( ) x f xxM（） A是偶函数 B是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 9 函 数( )f x的 定 义 域 是R，(0)3f， 对 任 意,( )( )1xR f xfx / ， 则 不 等 式 ( )2 xx ef xe的解集为（） A|
4、0x x B|0x x C|1,x xx或1 D|1,1x xx或0 10若多项式： 109102 10910 (1)(1)(1)axaxaxaxx， 则 99 11 ()(1) 1 aa xx 展开式中的常数项为（） A1 B 12 10 ()C C 1 20 C D 10 20 C 二、填空题（本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分，把答案填写在题中横线上） 11已知复数 1 1zi， 2 1zbi，i为虚数单位，若 2 1 z z 为纯虚数，则实数b的值是 12. 正六边形的对角线的条数是，正n边形的对角线的条数是（对角线指不 相邻顶点的连线段） 13. 若点P在曲线 32 3(3
5、3)3yxxx上移动，点P处的切线的倾斜角为， 则角 的取值范围是 14 8 (2)x展示式中不含 4 x项的系数的和为 15在一次演唱会上共有6 名演员，其中4 人能唱歌， 4 人能跳舞，现要演出一个2 人唱歌 2 人伴舞的节目，不同的选派方法有种（最后结果用数字表达）. 16. 已知函数 32 11 ( )221 32 f xaxaxaxa的图象经过四个象限，则实数a的取值范围 是 17已知两个正数,a b，可按规则cabab扩充为一个新数，在, ,a b c中取两个较大的 数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.若 0pq，经过七次操作后扩充所得的
6、数为(1) (1)1 mn qp（,m n为正整数） ，则n 3 三、解答题（本大题共5 小题，共72 分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤） 18 （本小题14 分）已知 2 2 () n x x 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是10:1 ， 求展开式中， （1）含 1 x的项； （2）系数最大的项. 19( 本小题 14 分) 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字组成无重复数字的五位数试分别求出 符合下列条件的五位数的个数（最后结果用数字表达）： （1）总的个数； （2）奇数； （3）能被 6 整除的数； （4）比 12345 大且能被5 整除的数 . 20. （本小题满分
7、14 分）设函数 21 ( )ln 2 f xxx a ，其中 a为大于零的常数 . （1）当4a时，求函数( )f x的单调区间和极值； （2）若在区间1,2上至少存在一点 0 x，使得 0 ()2f x成立，求a的取值范围 . 4 参考答案 三、解答题（本大题共5 小题，共72 分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤） 18 （本小题14 分） 解： 1 10 2 2 22 44 n n C C n=8或 -3 （舍去）（3 分） 由通项公式 r rr r rr r xC x xCT 2 5 4 8 2 8 81 2 2 )(， （6 分） （1）当r=2时，取到含 1 x的项，即T3=1
8、12 1 x（8 分） （2）由 11 88 11 88 22 22 rrrr rrrr CC CC , 得65r, 所以65或r, （12 分） 即系数最大的项为 11 7 2 17 6 17921792xTxT或（14 分） 19( 本小题 15 分) 解： （ 1）600 4 5 1 5A A个（3 分） （2）288 3 4 1 4 1 3 AAA个（ 6 分） （3）末位为0 有24 4 4 A个， 末位为 2 或 4 有84 4 4 1 2 3 3 2 3 AAAA个， 故共有 108 个（ 10 分） （4）末位为0 有1191 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 1 4AA
9、AAAA 个， 5 末位为 5 有86 1 2 2 3 1 2 3 4 1 3 AAAAA个, 故共有 205 个（ 14 分） 20. （本小题满分14 分） 解： (1) 当4a时， 2 1 ( )ln 8 f xxx（0x） 2 /114(2)(2) ( ) 444 xxx fxx xxx （2 分） 令 / ( )0fx，得2x，( )f x的单调增区间为(2,)， 令 / ( )0fx，得02x，( )f x的单调减区间为(0,2)， （4 分） 当2x时，( )f x取极小值 1 ln 2 2 ，无极大值（6 分） （2）法一：原问题等价于在区间1,2上至少存在一点 0 x，使得
10、2 2ln4 x a x 成立， 令 2 ( ) 2ln4 x g x x ，即求 max ( )ag x（ 8 分） / 2 4 ln6 ( ) (2ln4) xxx gx x 又12x， / ( )0gx即( )g x在区间1,2上单调递增， （12 分） max 2 ( )(2) ln 22 g xg 0a 2 ln 22 （14 分） 法二：分类讨论方法按类给分 21. （本小题满分15 分） 解： （ 1）分别令1,2,3n，得 123 1,2,3aaa，猜想得 n an（3 分） 法一：数学归纳法按步给分 法二：由 2 2 nn San，得 2 11 21(2) nn Sann，两
11、式作差得， 22 1 21 nnn aaa 即 22 1 (1) nn aa(2)n（6 分） 0 n a 1 1 nn aa，即 1 1 nn aa n a是首项为1，公差为1 的等差数列， n an（9 分） （2）要证112(2)nxnyn， 只要证 2 ()22()12(2)n xyn xyn xyn 6 代入1xy，即证 22 4(1)(2)n xynn 即证41xy（13 分） 0,0xy，且1xy 1 22 xy xy即41xy得证（ 15 分） 22. （本小题满分15 分） （1）解： 3 ( )g xxax， /2 ( )3gxxa（2 分） 当0a时，( )g x为R上的增函数 ( )g x在区间0,1上的最小值为(0)0g（4 分） 当0a时，( )g x在(,) 3 a ，(,) 3 a 上单调递增，在(,) 33 aa 上单调递减 当1 3 a ，即03a时，( )g x在区间0,1上的最小值为 2 ()3 39 aa ga 当1 3 a ，即3a时，( )g x在区间0,1上的最小值为(1)1ga（8 分） 综上，当0a时，( )g x在区间0,1上的最小值为(0)0g；当03a时，( )g x在 区间0,1上的最小值为 2 ()3 39 aa ga；当3a时，( )g x在区间0,1上的最小值为 (1)1ga。