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1、梅州市2015届高三3月总复习质检（一模）数学理试题本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1、设全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，2，4，B3，4，5，则下图中的阴影部分表示的集合为A、4 B、5 C、1，2 D、3，52、是虚数单位，若，则等于A、1B、C、D、3、下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A、B、C、D、4、已知实数满足，则的最小值为A、2B、3C、4D、55、对任意非零实数a，b，若的运算法则如右图的框图所示，则的值等于A、B、C、D、6、若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积
2、等于A、30B、12C、24D、47、动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x2相切，则圆心M的轨迹方程是A、8 B、8 C、4 D、48、在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”， 类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量 当且仅当“”或“”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若 ；若；若，则对于任意；对于任意向量.其中正确命题的个数为A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9、已知等比数列的公比为正数，且，则10、已知分别是ABC三个内角
3、A，B，C所对的边，若，AC2B，则sinA11、以F1（1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M（1，）的椭圆的标准方程为12、二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）13、已知函数，若关于x的不等式0的解集为空集，则实数a的取值范围是（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A（2，）到直线l：的距离为 . 15（几何证明选讲选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线一点，且DFCF，AF：FB：BE4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和
4、演算步骤16（本小题满分12分）已知（）的周期开为，且图象上的一个最低点为M（，1）。（1）求f（x）的解析式；（2）已知，求的值。17（本小题满分12分）东海学校从参加2015年迎新百科知识竞赛的同学中，选取40名同学，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在40，70）记0分，在70，100记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望18（本小题满分14分
5、）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AC2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，得到如图所示的四棱锥，F是的中点。（1）求证：EF平面；（2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值。19（本小题满分14分） 数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为Sn，证明20（本小题满分14分）已知抛物线C：的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴于点D，且有丨FA|FD|，当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形。(1) 求C的方程,(2) 若直线l1/l，且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点，并求出定点
6、坐标 ；ABE的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。21（本小题满分14分）已知函数，设。（1）若g（2）2，讨论函数h（x）的单调性；（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点。求b的取值范围；求证： 梅州市高三总复习质检试卷（2015.03）数学（理科）参考答案与评分意见本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。二、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分DCDAB CBC二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题） 9. 10. 11. 1210. 13.（二）
7、选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 141. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）解：（1）由的周期为，则有， 得. 1分所以，因为函数图像有一个最低点，所以 , 且， 3分则有 , 4分解得， 因为，所以. 5分所以， . 6分 7分, , 又, . 9分 11分= 12分 17（本小题满分12分）解：（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得，所以频率分布直方图如图所示 2分 3分 （2）平均分： 5分（3）学生成绩在的有人，在的有人，并且的可能取值是0，1，2 6分 ，；. 9分所以的分布列为01
8、2 10分所以 12分18（本小题满分14分）（1）证明：取中点，连接.则由中位线定理可得，1分同理，所以，从而四边形是平行四边形， 3分 所以又面，平面，所以平面 5分 （2）在平面内作于点.平面.又，故底面，即就是四棱锥的高 7分由知，点和重合时，四棱锥的体积取最大值 8分分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分设平面的法向量为，由,得，可取 11分平面的一个法向量 12分故， 13分所以平面与平面夹角的余弦值为 14分 (连,可以证明即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)19.（本小题满分14分）解： (1) ， 2分所以 3分 所以是首项为，公差为的等差数列
9、4分 所以所以 6分 (可用观察归纳法求,参照法一给分)（2）设 , 7分 则 . 8分 函数为上的减函数， 9分 所以，即, 10分 从而 11分 所以 12分所以 13分得. 14分(可用数学归纳法证明,参照法一给分)20（本小题满分14分）解：（1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义得：，解得或（舍去）. 2分由,可得，解得.所以抛物线的方程为. 4分 （2）由（1）知.设，因为，则，由,得，故，故直线的斜率为， 5分 因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得由题意方程的判别式，得.代入解得.设，则，. 6分 当时，可得直线的方程为， 7分由，整理可得，直线恒过点
10、. 8分当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点. 9分由知，直线过焦点，由抛物线的定义得 10分 设直线的方程为.因为点在直线AE上，故，设，直线的方程为，由于，可得. 11分 代入抛物线方程得，所以，可求得， 12分 所以点到直线的距离为.则的面积， 13分当且仅当,即时等号成立.所以的面积的最小值为16. 14分21.解：（1） ，其定义域为（0，+）.， 1分若,则函数在区间（0,1）上单调递增；在区间（1,+）上单调递减. 2分若,令,得.当时，则，所以函数在区间（ 0,）和（1,+）上单调递增；在区间（,1）上单调递减. 3分 当时，,所以函数在区间（0，+）单调递增. 4分当时，则，所以函数在区间（0,1）和（,+）上单调递增；在区间（1,）上单调递减.（综上所述略） 5分（2）函数是关于的一次函数 ， ，其定义域为（0，+）. 由,得，记，则. 6分在单调减，在单调增，当时,取得最小值. 7分又，所以时,，而时,. 8分 的取值范围是（，0）. 9分 由题意得，. 不妨设.要证 , 只需要证，即证 , 即 10分 设， ， 11分 ， 12分函数在（1，+）上单调递增，而，所以,即，. 14分19