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1、株洲市二中2015届高三第二学期开学考试试卷 理科数学第1卷 一、选择题.本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数则复数 在复平面内对应点位于（C ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2“”是“”的( A )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3如右图所示的程序框图，若输出的是，则可以为 (C )A B C D4若展开式中的常数项是，则实数的值是（C ）第8题图（A）（B）（C）（D）5已知某几何体的三视图如图所示（单位），则此几何体的体积为（B ）（A）（B）（C）（D）6. 已知正项等比数列满足：
2、，若存在两项，使得，则的最小值为（ A ）A B C D不存在7. 设双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点的横坐标为，若，则双曲线C的离心率的取值范围是 （ B ）A B C D8 已知函数,其中实数k随机选自区间2,.对的概率是(C )A B C D9已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（C ）A.或1 B2或 C2或1 D2或110对于函数和，设，若存在、，使得，则称互为“零点关联函数”若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（C ）（A）（B）（C）（D） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡
3、相应位置上）（一）选考题；考生注意：11至13题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，按前两题给分第第11题图11如图，为圆的两条割线，若，则的长为_12在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于、，则_13若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_ （二）必做题（14至16题）14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为_ _ 15 设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建
4、立的线性回归方程为0.85x85.71，给出下列结论：y与x具有正的线性相关关系；回归直线过样本点的中心(x，y)；若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg.其中，正确结论的序号是_正确16. 向平面区域内随机投掷一点，则该点落在曲线下方的概率为 ；三、解答题：本大题共小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求；（）若，求【解析】（）由，得， 即从而，得 ,故 6 分gkstk.Com（）由，得， gkstk.Com，解得 12分18
5、(本小题满分12分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 .解：（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 学优高考网 （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又gkstk.Com 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是学优高考
6、网X012P X的数学期望学优高考网gkstk19. （本小题满分12分）如图，四边形中（图1），是的中点，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.解；（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。因 1分 因 ， 满足：, 所以是BC为斜边的直角三角形，, 因是的中点,所以ME为的中位线 ， , 2分 是二面角的平面角= 3分 ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线平面AEM 4分 因,为等腰直角三角形， 6分（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，8分则由（1）及已知条件可知B(1,0,
7、0),，,D,C 学优高考网gkstk 设异面直线与所成角为,则 9分由可知满足，是平面ACD的一个法向量, 记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 13分 所以d 12分20（本小题满分12分）已知数列是首项，公比为的等比数列，为数列的前n项和，又，常数，数列满足（）若是递减数列，求的最小值；（）是否存在正整数k，使这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，的值；若不存在，请说明理由 20解：（）由题意知， ，是递减数列，恒成立，即恒成立，是递减函数，当时取最大值，又， 6分（）记，则，且， 若是等比中项，则由得：，化简得：，显然不成立. 若是等比中项，则由得：，
8、化简得：，显然不成立 若是等比中项，则由得：，化简得：，因为不是完全平方数，因而x的值是无理数，与矛盾 综上：不存在适合题意. 13分21. (本小题满分13分)设椭圆，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为.的面积为,以为直径的圆的面积分别为.若恰好构成等比数列,求的取值范围.gkstk.Com.解：（1）由题可知，且，解得：，3分故椭圆的方程为：5分（2）设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：.，.8分此时，即.故又为定值.当且仅当时等号成
9、立.综上：13分22. (本小题满分13分)设,.(1)若，求的单调区间；(2)讨论在区间上的极值点个数；(3)是否存在，使得在区间上与轴相切?若存在，求出所有的值.若不存在，说明理由.解：（1）当时：，（）故2分学优高考网gkstk当时：，当时：，当时：.故的减区间为：，增区间为3分（2）令，故,6分显然，又当时：.当时：.故，.故在区间上单调递增注意到：当时，故在上的零点个数由的符号决定.当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点.学优高考网当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点.综上：当或时：在上无极值点.当时：在上有唯一极值点. 5分（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，由（2）可知：.不妨设极值点为，则有：(*)同时成立.联立得：，即代入（*）可得.令，.则，当 时（2）.故在上单调递减.又，.故在上存在唯一零点.故在上存在唯一零点.即当时，单调递增.当时，单调递减.因为，.故在上无零点，在上有唯一零点.由观察易得，故，即：.综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切- 13 -