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1、精心整理 -立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一异面直线所成角：平移法 二线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线， 2）.图形中是否有面面垂直的结构， 找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一： 如图 , 在正方体 1111 ABCDA B C D中,M、N分别是CD、 1 CC的中点 , 则异面直线 1 A M与DN所成的角的 大小是 _90_. 考向二线面角 例二、 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形， AD
2、PD ，BC=1 ，PC=23，PD=CD=2. （I ）求异面直线PA与 BC所成角的正切值； （II ）证明平面PDC 平面 ABCD ； （III）求直线PB与平面 ABCD 所成角的正弦值。 练 习 ： 如 图 ， 在 三 棱 锥 PABC 中 ， PA 底 面 ,6 0 ,9 0A B C P AA BA B CB C A， 点D，E分别在棱,PB PC上，且/DEBC （）求证：BC平面PAC； （）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值； （） PA底面 ABC ， PABC. 又90BCA ， AC BC. BC平面 PAC. （） D 为 PB 的中点， DE
3、/BC ， 1 2 DEBC， 又由（）知，BC平面 PAC， DE平面 PAC，垂足为点E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， PA底面 ABC ， PAAB ，又 PA=A B， ABP 为等腰直角三角形， 1 2 ADAB， 在 RtABC 中，60ABC ， 1 2 BCAB. 精心整理 在 RtADE 中， 2 sin 24 DEBC DAE ADAD ， 考向三：二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三： .定义法（ 2011 广东理 18） 如图 5在椎体P-ABCD 中， ABCD 是边长为1 的棱形， 且 DAB=60 ， 2PAPD ,PB=2, E,F 分
4、别是 BC,PC 的中点 （1）证明： AD平面 DEF; （2）求二面角P-AD-B 的余弦值 法一：（ 1）证明：取AD 中点 G，连接 PG，BG，BD。 因PA=PD ，有 PGAD，在 ABD中， 1,60ABADDAB ，有ABD为等边三角形，因此 ,BGAD BGPGG ，所以AD平面 PBG ,.ADPB ADGB 又 PB/EF ，得AD EF，而 DE/GB 得 AD DE，又FE DEE，所以 AD平面 DEF。 （2） ,PGAD BGAD ， PGB为二面角PADB 的平面角， 在 222 7 , 4 Rt PAGPGPAAG中 在 3 2 Rt ABG中,BG=AB
5、 sin60= 法二：（ 1）取 AD 中点为 G，因为 ,.PAPD PGAD 又 ,60 ,ABADDABABD 为等边三角形，因此， BGAD，从而 AD平面 PBG。 延长 BG 到 O 且使得 POOB，又 PO 平面 PBG，PO AD， ,ADOBG 所以 PO 平面 ABCD 。 以 O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP 分别为 x轴， z 轴，平行于 AD 的直线为 y 轴，建立如 图所示空间直角坐标系。 设 11 (0,0,),( ,0,0),( ,0),( ,0). 22 PmG nA nD n则 精心整理 由于 33 (0,1,0),(,0,0),(,0
6、,) 2242 nm ADDEFE 得 0,0,AD DEAD FEADDE ADFE DEFEE AD平面 DEF。 （2） 13 ( ,),(,0,) 22 PAnmPBnm 取平面 ABD 的法向量 1 (0,0,1),n 设平面 PAD 的法向量 2 ( , , )na b c 由 22 33 0,0,0,0, 2222 bb PA nacPD nac得由得 取 2 3 (1,0,). 2 n 2、三垂线定理法 例四 ( 广东省惠州市2013 届高三第三次调研理) （本小题满分14分）如图，在长方体 1111 ABCDA B C D 中， 1 1ADAA ，2AB，点E在棱AB上移动
7、（1）证明： 11 D EA D ； （2）当E点为AB的中点时，求点E到平面 1 ACD 的距离； （3）AE等于何值时，二面角 1 DECD 的大小为 4？ 18（ 本小题满分14分） （1）证明： 如图，连接 1 D B ，依题意有：在长方形 11 A ADD 中， 1 1ADAA ， 1111 11 11111 11 A ADDA DAD A DAD B ABA ADDABA DA DD E D EAD B ADABA 四边形 平面 又平面 平面 4 分 精心整理 点 E 到 平 面 1 A C D的距离为 1 38分 （3）解： 过D作 DFEC交EC于 F，连接 1 D F 由三垂
8、线定理可知， 1 DFD 为二面角 1 DECD 的平面 角 1 4 DFD ， 1 2 D DF ， 1 11D DDF 10分 1 sin 26 DF DCFDCF DC ， 3 BCF 12分 tan3 3 BE BE BC ， 23AEABBE 故 23AE 时，二面角 1 DECD 的平面角为 4 14分 练习 . 如图，在四面体 ABCD中，2,2,1ABADBDDC , 且BD DC，二面角ABDC大小为 精心整理 60 (1) 求证：平面 ABC 平面BCD； (2) 求直线CD与平面ABC所成角的正弦值 17解： (1) 在四面体 ABCD中，取BDBC、 中点分别为 MN、，连接MN，则/ /MNDC BDDC, 则MNBD 又2ADAB则AMBD AMN中， 1 1, 2 AMMN60AMN, 可知90ANM 又BD面AMN, 则BDAN AN和两相交直线BD及MN均垂直，从而AN面BDC 又面ABC经过直线AN，故面ABC面BCD (6分) (2) 由(1) 可知平面 ABC 平面BDC 过D向BC作垂线于足H，从而DH面ABC 过Rt BDC中，2,1BDDC，则 2 5 DH 于是 DC与平面ABC所成角即DCH 因此直线 CD与平面ABC所成角的正弦值为 2 5 5 . (12分)