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1、第5章参数估计 1. 从一个标准差为5 的总体中抽出一个容量为40 的样本，样本均值为25。 （1）样本均值的抽样标准差 x 等于多少？ （2）在 95%的置信水平下，允许误差是多少？ 解：已知总体标准差=5，样本容量n=40，为大样本，样本均值x =25， （1）样本均值的抽样标准差 x = n = 40 5 =0.7906 （2）已知置信水平1=95%，得 /2 Z=1.96 ， 于是，允许误差是E = n /2 Z=1.9 60.7906= 1.5496 。 2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3 周的时间里选取49 名顾客 组成了一个简单随机样本。 （3）假定总体标准
2、差为15 元，求样本均值的抽样标准误差； （4）在 95%的置信水平下，求允许误差； （5）如果样本均值为120 元，求总体均值95%的置信区间。 解：（ 1）已假定总体标准差为=15 元， 则样本均值的抽样标准误差为 x = n = 49 15 =2.1429 （2）已知置信水平1=95%，得 /2 Z=1.96 ， 于是，允许误差是E = n /2 Z=1.9 62.1429= 4.2000 。 （3）已知样本均值为x =120 元，置信水平1=95%，得 /2 Z=1.96 ， 这时总体均值的置信区间为 n /2 xZ=1204.2= 124.2 115.8 可知，如果样本均值为120
3、元，总体均值95%的置信区间为（115.8 ，124.2 ）元。 3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5 求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和 99%。 解：计算样本
4、均值x ：将上表数据复制到Excel 表中，并整理成一列，点击最后数据下面 空格，选择自动求平均值，回车，得到x =3.316667 ， 计算样本方差s： 删除 Excel 表中的平均值， 点击自动求值其它函数STDEV 选 定计算数据列确定确定，得到s=1.6093 也可以利用Excel 进行列表计算： 选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输 入“ (a7-3.316667)2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到： 2 i （ x- x ） =90.65 再对总和除以n-1=35 后，求平方根，即为样本方差的值 s= 1n 2 i （ x -x ） = 90.65 3
5、5 =1.6093 。 计算样本均值的抽样标准误差： 已知样本容量n=36，为大样本， 得样本均值的抽样标准误差为 x = n s = 36 1. 6093 =0.2682 分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间： 置信水平为90%时： 由双侧正态分布的置信水平1=90%，通过 21=0.9 换算为单侧正态分 布的置信水平=0.95，查单侧正态分布表得 /2 Z=1.64 ， 计算得此时总体均值的置信区间为 n /2 s xZ=3.3167 1.64 0.2682= 3.7565 2.8769 可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87 ，3.76） 小时； 置
6、信水平为95%时： 由双侧正态分布的置信水平1=95%，得 /2 Z=1.96 ， 计算得此时总体均值的置信区间为 n /2 s xZ=3.3167 1.96 0.2682= 3.8423 2.7910 可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79 ，3.84） 小时； 置信水平为99%时： 若双侧正态分布的置信水平1=99%，通过21=0.99 换算为单侧正态 分布的置信水平 =0.995，查单侧正态分布表得 /2 Z=2.58 ， 计算得此时总体均值的置信区间为 n /2 s xZ =3.3167 2.58 0.2682= 4.0087 2.6247 可知，当置
7、信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62 ，4.01） 小时。 4. 从一个正态总体中随机抽取容量为8 的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。求 总体均值95%的置信区间。 解：（ 7.1,12.9 ）。 5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16 个人组成的一个随机样本， 他们到单位的距离（公里）分别是： 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。 解：（ 7.18,11.57 ）。 6. 在一项家电市场调查中，随机抽取了200 个居民户，
8、调查他们是否拥有某一品牌的电 视机。 其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比率的置信区间，置信水平分别为90% 和 95%。 解：已知样本容量n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p =23% ， 拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为 p = (1)pp n = 0.230.77 200 =2.98% 双侧置信水平为90%时， 通过 21=0.90 换算为单侧正态分布的置信水平=0.95， 查单侧正态分布表得 /2 Z=1.64 ， 此时的置信区间为 (1)pp p n /2 Z=23% 1.64 2.98%= 27.89% 18.11% 可知，当置信水平为90%时，拥
9、有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为 （18.11% ，27.89% ）。 双侧置信水平为95%时，得 /2 Z=1.96 ， 此时的置信区间为 (1)pp p n /2 Z=23% 1.96 2.98%= 28.8408% 17.1592% 可知，当置信水平为95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为 ；（ 17.16% ，28.84% ）。 7.某居民小区共有居民500 户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否 赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50 户，其中有32 户赞成， 18 户反对。 （1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%； （2
10、）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查？ 解：已知总体单位数N=500 ，重复抽样，样本容量n =50，为大样本， 样本中，赞成的人数为n1=32，得到赞成的比率为p = n 1 n = 32 50 =64% （1）赞成比率的抽样标准误差为 (1)pp n = 0.640.36 50 =6.788% 由双侧正态分布的置信水平1=95%，得 /2 Z=1.96 ， 计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为 ( 1)pp p n /2 Z= 64% 1.96 6.788%= 77.304% 50.696% 可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比
11、率的置信区间为 （50.70%,77.30%）。 （2）如预计赞成的比率能达到80%，即p=80%， 由 ( 1)pp n =6.788%，即 0.80.2 n =6.788% 得样本容量为n = 2 0.80.2 (6.788% ) = 34.72 取整为 35， 即可得， 如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%， 应抽取 35 户进行调查。 8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表： 来自总体1 的样本来自总体2 的样本 14 1 n7 2 n 2.53 1 x4.43 2 x 8.96 2 1 s0.102 2 2 s （1）求 21 90%的置信区间；
12、 （2）求 21 95%的置信区间。 解：（ 1.86,17.74 ）；（ 0.19,19.41 ）。 9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表： 来自总体1 的样本来自总体2 的样本 25 1 x23 2 x 16 2 1 s20 2 2 s （1）设 100 21 nn ，求 21 95%的置信区间； （2）设 10 21 nn ， 2 2 2 1 ，求 21 95%的置信区间； （3）设 10 21 nn ， 2 2 2 1，求 21 95%的置信区间； （4）设 20,10 21 nn ， 2 2 2 1 ，求 21 95%的置信区间； （5）设 20,
13、10 21 nn ， 2 2 2 1，求 21 95%的置信区间。 解：（ 1） 21.176 ；（ 2）23.986 ；（ 3）23.986 ；（ 4）2 3.587 ；（ 5） 23.364 。 10.下表是由4 对观察值组成的随机样本： 配对号来自总体A 的样本来自总体B 的样本 1 2 0 2 5 7 3 10 6 4 8 5 （1）计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和 d s ； （2）设 1和2 分别为总体A 和总体 B 的均值，构造 )( 21d 95%的置信区间。 解：（ 1）75.1d，63.2 d s；（ 2）1.75 4.27 。 11.从两个总体中
14、各抽取一个 250 21 nn 的独立随机样本，来自总体1 的样本比率为 %40 1 p ，来自总体2 的样本比率为 %30 2 p 。 （1）构造 21 90%的置信区间； （2）构造 21 95%的置信区间。 解：（ 1） 10%6.98% ；（ 2）10% 8.32% 。 12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对共需进行改进以减 小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据： 机器 1 机器 2 3.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.35 3.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.30 3.22 3.75 3.28 3.30 3.
15、20 3.05 3.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.33 2.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.27 3.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.28 3.20 3.18 3.25 3.30 3.34 3.25 构造两个总体方差比 2 2 2 1 95%的置信区间。 解：（ 4.06,14.35 ）。 13.根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间， 若要求允 许误差不超过4%，应抽取多大的样本？ 解：已知总体比率=2%=0.02 ，由置信水平1- =95%，得置信度 /2 Z=1.96，允许误差E 4% 即由允许误差公式
16、E= / 2 Z n p 整理得到样本容量n 的计算公式： n= 2 () E /2P Z = 2 () E /2 Z (1- ) = 2 E 2 /2 Z (1 - ) 2 0.020.98 0.04 2 1.96 =47.0596 由于计算结果大于47，故为保证使“”成立，至少应取48 个单位的样本。 14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为 120 元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过 20 元，应抽取多少个顾客作为样本？ 解：已知总体标准差 x =120 ，由置信水平1- =95%，得置信度 /2 Z=1.
17、96，允许误差E20 即由允许误差公式E= / 2 Z n x 整理得到样本容量n 的计算公式： n= 2 () E /2 x Z 2 () 20 1.96120 =138.2976 由于计算结果大于47，故为保证使“”成立，至少应取139 个顾客作为样本。 15.假定两个总体的标准差分别为： 12 1 ， 15 2 ，若要求误差范围不超过5，相应的 置信水平为95%， 假定 21 nn ， 估计两个总体均值之差 21 时所需的样本容量为多大？ 解：57。 16.假定 21 nn ，允许误差 05.0E ，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差 21时所需的样本容量为多大？ 解：769 。